重庆市第十八中学2026届高三上学期期中数学试卷（Word版附解析）

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命题人：李海 审题人：甘雨菲
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 设集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用并集的定义可得正确的选项.
【详解】 ，
故选：D.
2. 设 ，则 （ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意结合复数的运算法则即可求得 z 的值.
【详解】由题意可得： .
故选：C.
3. 设 均为单位向量，且 ，则 （ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】对 两边平方，代入已知条件，再开方可得答案.
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【详解】因为 均为单位向量，则 ，且 ，
所以
.
故选：B.
4. 我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为“刍童”.如图，在刍童 中，
，平面 与平面 之间的距离为 3，则此“刍童”的体积为（
）
A. 36 B. 46 C. 56 D. 66
【答案】C
【解析】
【分析】首先说明几何体为四棱台，再代入台体体积公式，即可求解.
【详解】由 ， ， ， ，且 ，
则 交于同一点 ，该“刍童”为四棱台，矩形 的面积为 ,
矩形 的面积为 ,
且上下底面的高为 3，所以四棱台的体积 .
故选：C
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5. 若 ，则 （ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知表示出 ，再由换底公式可求.
【详解】 ， ，
.
故选：C.
6. 过直线 上的点 作圆 的两条切线 ，当直线 关于直线
对称时，则点 的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由直线 关于直线 对称，则直线 与直线 垂直，再联立直线 与直线
即可求解.
【详解】圆 的圆心为 ，半径为 ,
因为直线 关于直线 对称，
则直线 与直线 垂直，
所以直线 的方程为 ，即 ，
由 解得， ，
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所以点 的坐标为 .
故选：D.
7. 在端午小长假期间，某办公室要从 4 名职员中选出若干人在 3 天假期坚守岗位，每天只需 1 人值班，则
不同的排班方法有（ ）
A. 12 种 B. 24 种 C. 64 种 D. 81 种
【答案】C
【解析】
【分析】分析每天排班方法数，再由分步计数原理求解即可
【详解】根据题意，第一天值班可以安排 4 名职员中的任意 1 人，有 4 种排班方法，
同理第二天和第三天也有 4 种排班方法，
根据分步计数原理可知，不同的排班方法有 种，
故选：C
8. 在正四棱锥 中， ，则正四棱锥 体积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【 分 析 】 设 正 四 棱 锥 的 高 为 h， 底 面 边 长 为 x， 由 题 可 得 及
，后由导数知识可得答案.
【详解】过顶点 P 向平面 ABCD 作垂线，垂足为 O，则 PO 为正四棱锥的高，设为 h.
设底面边长为 x，则 ，则 ，则 .
所 以 正 四 棱 锥 的 体 积 为 ： ， 则
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.
当 时， ；当 时， .
即 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 .
故选：B
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.（全选
对得 6 分，选对但不全得部分分，有选错得 0 分）
9. 已知 是等差数列，其前 项和为 ，满足 ，则下列四个选项中正确的有（ ）
A. B. C. 最小 D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】
由条件可得 ，然后逐一判断每个选项即可
【详解】因为 是等差数列，
所以 ，所以
即 ，即
所以
所以正确的有 ABD
故选：ABD
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【点睛】本题考查的是等差数列的性质及其前 项和的性质，属于典型题.
10. 已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 在定义域内是增函数 B. 是奇函数
C. 的最小正周期是 D. 图像的对称中心是
【答案】BCD
【解析】
【分析】以 为整体，结合正切函数的相关性质逐项分析判断.
【详解】A 选项：∵ ，则
∴ 的定义域是 ，
其在定义域内的每一个区间上都是单调递增函数，但在整个定义域上没有单调性，故 A 错误；
B 选项： ，
∵ ，则 是奇函数，故 B 正确；
C 选项：函数 的最小正周期为 ，故 C 正确；
D 选 项 ： 令 ， 解 得 ， 所 以 图 像 的 对 称 中 心 是
，故 D 正确．
故选：BCD．
11. 圆锥曲线具有丰富的光学性质．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点 处发出的光线，经过双曲
线在点 处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点 ，且双曲线在点 处的切线平分 ．如图，
对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线 过点 ，其左、右焦点分别为 ．若从 发出的光线经双曲
线右支上一点 反射的光线为 ，点 处的切线交 轴于点 ，则下列说法正确的是（ ）
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A. 双曲线 的方程为
B. 过点 且垂直于 的直线平分
C. 若 ，则
D. 若 ，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】选项 A，利用条件，设双曲线方程为 ，再利用双曲线过点 ，即可求解；
选项 B，根据条件，借助图形，即可求解；选项 C，利用余弦定理及双曲线的定义，得到
，再结合条件，即可求解；选项 D，利用 C 中结果 ，再结合条
件，即可求解.
【详解】对于 A，因为双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为 ，
所以 ，解得 ，得到双曲线的方程为 ，正确，
对于 B，如图，由题知 ， ，所以 ，
若 ，所以 ， 正确，
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对于 C，记 ，所以
，
又 ，得到 ，又 ，
所以 ，又 ，
由 ，得 ，错误，
对于 D，因为 ， ，
由 ，得 ，
又 ，得到 ，得到 ，
从而有 ，得到 ，
由 ，得到 ，
从而有 ，解得 ，正确，
故选：ABD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 用半径为 4 cm 的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高是_____cm.
【答案】
【解析】
【分析】先求半圆的弧长，就是圆锥的底面圆周长，即可得到底面圆半径，然后利用勾股定理即可得到本
题答案.
【详解】因为半径为 4 的半圆弧长为 ，所以圆锥的底面周长为 ，则底面半径为 ，
其轴截面为等腰三角形如下图：
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所以圆锥的高 .
故答案为：
13. 若斜率为 的直线与 轴交于点 ，与圆 相切于点 ，则 ____________．
【答案】
【解析】
【分析】设直线 的方程为 ，则点 ，利用直线 与圆 相切求出 的
值，求出 ，利用勾股定理可求得 .
【详解】设直线 的方程为 ，则点 ，
由于直线 与圆 相切，且圆心为 ，半径为 ，
则 ，解得 或 ，所以 ，
因为 ，故 .
故答案为： .
14. 若 恒成立，则实数 ______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】设 ，则原式等价于 ，进而得到 恒成立，再根据
切线不等式得解．
【详解】因为 恒成立，即 恒成立，
即 恒成立，
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设 ，则 恒成立，
又 ，则 在 上单调递增，
可得 恒成立，即 恒成立，
令 ，则 ，所以当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ，
即 恒成立（当且仅当 时取等号），
所以 ，解得
故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知 ．
（1）求函数 的最小正周期和图象的对称轴方程；
（2）求 的单调增区间；
（3）当 时，求函数 的最大值和最小值．
【答案】（1）最小正周期为 ，对称轴方程为
（2）单调增区间为
（3）最大值为 ，最小值为
【解析】
【分析】（1）结合函数的图象与性质即可求出结果；
（2）利用整体代入法即可求出函数单调区间；
（3）根据 求得 ，进而根据函数 的图象与性质即可求出结果.
【小问 1 详解】
最小正周期 ，令 ，
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所以 ，所以对称轴方程为 ；
【小问 2 详解】
令 ，
所以 ，所以 的单调增区间为 ；
【小问 3 详解】
当 时 ，
所以 ，所以 ，
当 ，即 时取得最大值，
当 ，即 时取得最小值，
所以当 时，函数 的最大值为 ，最小值为 .
16. 灵活就业的岗位主要集中在近些年兴起的主播、自媒体、配音，还有电竞、电商这些新兴产业上．只要
有网络、有电脑，随时随地都可以办公．这些岗位出现的背后都离不开互联网的加速发展和短视频时代的
大背景．甲、乙两人同时竞聘某公司的主播岗位，采取三局两胜制进行比赛，假设甲每局比赛获胜的概率
为 ，且每局比赛都分出了胜负．
（1）求比赛结束时乙获胜的概率；
（2）比赛结束时，记甲获胜的局数为随机变量 X，求随机变量 X 的分布列．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据三局两胜制可知，乙获胜则有三种情况，分类即可求解.（2）根据随机变量所有取值的
可能以及计算对应的概率，即可求解,
【小问 1 详解】
比赛结束时，乙获胜有三种情况：
①第一局甲胜，第二局乙胜，第三局乙胜，②第一局乙胜，第二局甲胜，第三局乙胜，③第一局，第二局 2
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胜，
∴比赛结束时乙获胜的概率 ；
【小问 2 详解】
由题意可得，X 的所有可能取值为 0，1，2，
，
，
．
∴X 的分布列为
X 0 1 2
17. 在 中， ， ， ， 分别是 上的点，满足 且
经过 的重心，将 沿 折起到 的位置，使 ， 是 的中点，如
图所示.
（1）求证： 平面 ；
（2）求 与平面 所成角的大小；
（3）在线段 上是否存在点 ，使平面 与平面 成角余弦值为 ？若存在，求出 的长
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度；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在， 或
【解析】
【分析】（1）应用线面垂直的判定定理证明线面垂直关系，再由性质定理得到线线垂直关系，进而再利用
判定定理证明所求证的线面垂直关系；
（2）以 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系.用向量法求 与平面 所成角
的大小；
（3）假设存在点 ，使平面 与平面 成角余弦值为 ，设 ，分别求解两平面的法
向量，用 表示余弦值解方程可得.
【小问 1 详解】
因为在 中， ， ，且 ，
所以 ， ，则折叠后， ，
又 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
又已知 ， 且都在面 内，所以 平面 ；
【小问 2 详解】
由（1），以 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系 .
因为 ，故 ，
由几何关系可知， ， ， ，
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故 ， ， ， ， ， ，
， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
不妨令 ，则 ， ， .
设 与平面 所成角的大小为 ，
则有 ，
设 为 与平面 所成角，故 ，
即 与平面 所成角的大小为 ；
【小问 3 详解】
假设在线段 上存在点 ，使平面 与平面 成角余弦值为 .
在空间直角坐标系中， ， ， ，
设 ，则 ， ，
设平面 的法向量为 ，则有 ，即 ，
不妨令 ，则 ， ，所以 ，
设平面 的法向量为 ，则有 ，即 ，
不妨令 ，则 ， ，所以 ，
若平面 与平面 成角余弦值为 .
则满足 ，
化简得 ，解得 或 ，即 或 ，
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故在线段 上存在这样的点 ，使平面 与平面 成角余弦值为 . 此时 的长度为 或
.
18. 已知椭圆 的短轴长为 ，离心率为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 的直线 交 于 M，N 两点，
①若 ，求直线 的方程；
②若点 ，求 的面积的取值范围．
【答案】（1）
（2）① ；②
【解析】
分析】（1）由题，联立方程组求出 a，b 即可得解；
（2）①将直线与椭圆联立，得到韦达定理式，再根据共线向量得到 ，代入计算即可；②利用弦
长公式和点到直线的距离公式得到面积表达式 ，再利用换元法及二次函数得到其范围即
可．
【小问 1 详解】
由题可得： ，解得： ，
所以椭圆 的方程为： ；
【小问 2 详解】
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设直线 交 于 ， 两点，点 在椭圆 内，
①若直线 的斜率不存在，易得 ， ，不满足 ，
故设直线 的方程为 ，
联立 ，化简得： ，
所以 ， （1），
又 ， ， ，
所以 （2），
由（1）（2）两式解得： ，所以直线 的方程为 ；
②当直线 的斜率不存在时，直线 与 的交点为 ， ，则 ，
当斜率为 0 时，直线 过点 ，故不能构成三角形，
当斜率存在且不为 0 时，
由①知，
，
点 到直线 的距离 ，
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所以 ，
令 ，则 ， ，
则 ，
，
因为 ，所以 ，
综上， 的面积的取值范围为 ．
【点睛】关键点睛：本题主要考查了直线与椭圆相交问题以及椭圆中三角形面积范围问题，难度较大，解
答本题的关键在于联立直线与椭圆方程，结合韦达定理以及三角形面积公式代入计算.
19. 已知函数 ，其中 ，e 为自然对数的底数.
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）若函数 存在极小值点 ，且 ，求实数 a 的取值范围；
（3）若函数 有两个零点 ， ，求证： .
【答案】（1）答案见详解
（2）
（3）证明见详解
【解析】
【分析】（1）求导可得 ，利用导数判断原函数的单调性；
（2）求导构建 ，可知 在 存在零点 ，结合题意整理可得 ，
构建 ，求导，利用导数分析单调性和符号，即可得结果；
（3）整理可得 ，构建 ， ， ，利用导
数结合单调性可得 ， ，结合单调性分析证明.
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【小问 1 详解】
当 时， ，
可知 的定义域为 ，且 ，
设 ，则 ，
可知 在 单调递增，且 ，
当 时， ，即 ；当 时， ，即 ；
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
小问 2 详解】
由题意可知： 的定义域为 ，且 ，
设 ，则 ，可知 在 单调递增，
因为函数 存在极小值点 ，所以 在 存在零点 ，
即 ，可得 .
则 ，可得 ，
设 ，且 ，
当 ， ，则 ；
当 ， ，则 .
可得 ， ，
所以实数 a 的取值范围为 .
【小问 3 详解】
令 ，可得 ，
由题意可得： ，
构建 ，则 ，
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不妨设 ，可得 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
可知函数 在 上单调递增，在 上单调递减，且 ，
可得 ，
构建 ， ，
则 ，
可知函数 在 上单调递增，则 ，即 ，
则 ，且 ，
又因为 在 上单调递减，所以 ，即 .
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