（人教A版）必修第二册高一数学下册期末复习训练专题10 直线、平面平行的判定及其性质（2份，原卷版+解析版）

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体系搭建
知识点1直线和平面平行的判定定理
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
符号语言：
知识点2直线和平面平行的性质定理
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
符号语言：
知识点3平面与平面平行的判定定理
如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
符号语言：
知识点4平面和平面平行的性质定理
如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面；
符号语言：
知识点5 相关推论
（1）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号语言：
(2) 如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面。
符号语言：
(3) 平行于同一个平面的两个平面平行。
符号语言：
知识点6、平行关系的综合转化
空间中的平行关系有线线平行、线面平行、面面平行．这三种关系不是孤立的，而是互相联系的．它们之间的转化关系如下：
证明平行关系的综合问题需灵活运用三种平行关系的定义、判定定理、性质定理．
有关线面、面面平行的判定与性质，可按下面的口诀去记忆：
空间之中两直线，平行相交和异面．
线线平行同方向，等角定理进空间．
判断线和面平行，面中找条平行线；
已知线和面平行，过线作面找交线．
要证面和面平行，面中找出两交线．
线面平行若成立，面面平行不用看．
已知面与面平行，线面平行是必然．
若与三面都相交，则得两条平行线．
例题分析
考点1 空间中直线与直线的位置关系
【例1】．梯形ABCD中，AB∥CD，E、F分别为BC和AD的中点，将平面DCEF沿EF翻折起来，使CD到C′D′的位置，G、H分别为AD′和BC′的中点．求证：四边形EFGH为平行四边形．
证明：∵梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC、AD的中点，
∴EF∥AB，且EF＝（AB+CD），
又C′D′∥EF，EF∥AB，∴C′D′∥AB，
∵G，H分别为AD′，BC′的中点，
∴GH∥AB，且GH＝（AB+C′D′）＝（AB+CD），
∴GHEF，∴四边形EFGH为平行四边形．
变式训练
【变1-1】．已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD的棱AB，BC，CD，DA的中点，若对角线BD＝2，AC＝4，则EG2+HF2的值是（ ）
A．5B．10C．12D．不能确定
解：如图所示，因为E，F，G，H分别为空间四边形ABCD的棱AB，BC，CD，DA的中点，
由中位线定理可得，EH∥BD且EH＝BD，FG∥BD且FG＝BD，
所以四边形EFGH为平行四边形，
则EG2+HF2＝2×（12+22）＝10．
故选：B．
【变1-2】．如图，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且．
（1）求证：A′B′∥AB，A′C′∥AC，B′C′∥BC；
（2）求的值．
（1）证明：∵AA′∩BB′＝O，且，
∴A′B′∥AB，
∵AA′∩CC′＝0，且，
∴A′C′∥AC，
∵BB′∩CC′＝O，且，
∴B′C′∥BC．
（2）解：∵A′B′∥AB，A′C′∥AC，且A′B′和AB、A′C′和AC方向相反，
∴∠BAC＝∠B′A′C′，
同理，∠ABC＝∠A′B′C′，∠ACB＝∠A′C′B′，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∵，
∴＝（）2＝．
考点2 直线与平面平行的判定
【例2】．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝1，AC＝，AA1＝4，点D、E、F分别是棱BC、CC1、AA1的中点．求证：FB∥平面ADE；
解：（I）连结CF交AE与G，连结DG，EF
∵E，F是CC1，AA1的中点，
∴四边形ACEF是平行四边形，∴G是CF的中点．
又∵D是BC的中点，
∴DG∥BF．又BF⊄平面ADE，DG⊂平面ADE，
∴FB∥平面ADE．
变式训练
【变2-1】．在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE：EB＝AF：FD＝1：4，又H，G分别为BC，CD的中点，则（ ）
A．BD∥平面EFG，且四边形EFGH是矩形
B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形
C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形
D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形
解：如图所示，在平面ABD内，∵AE：EB＝AF：FD＝1：4，
∴EF∥BD．
又BD⊂平面BCD，EF⊄平面BCD，
∴EF∥平面BCD．
又在平面BCD内，
∵H，G分别是BC，CD的中点，
∴HG∥BD．∴HG∥EF．
又，∴EF≠HG．
在四边形EFGH中，EF∥HG且EF≠HG，
∴四边形EFGH为梯形．
故选：B．
【变2-2】．如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM∥平面BDE．
证明：设AC∩BD＝O，连接OE，如图所示，
∵O、M分别为AC、EF的中点，四边形ACEF为矩形，
∴EM∥OA，且EM＝OA，
∴四边形AOEM为平行四边形，∴AM∥OE，
又AM⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，
∴AM∥平面BDE．
考点3 直线与平面平行的性质
【例3】．如图，已知E，F分别是菱形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，点P在平面ABCD外，M是线段PA上一动点，若PC∥平面MEF，试确定点M的位置．
解：如图，连接BD交AC与点O1，连接OM，
∵PC∥平面MEF，PC⊂平面PAC，平面PAC∩平面MEF＝OM，
∴PC∥OM，
∴，
在菱形ABCD中，∵E，F分别为BC，CD的中点，
∴，
又AO1＝O1C，
∴，
∴，即点M为线段PA上靠近点P的四等分点．
变式训练
【变3-1】．如图，a∥α，A是α的另一侧的点，B、C、D∈a，线段AB、AC、AD分别交α于E、F、G．若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝ ．
解：∵a∥α，平面α∩平面ABD＝EG，
∴a∥EG，即BD∥EG，
∴由平行线等分线段定理得：
＝＝＝，
∴EG＝＝＝．
故答案为：．
【变3-2】．如图，已知在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC的中点，连接BD，MD，MB，在DM上取一点G，过G和AP作平面，交平面BDM于GH．求证：AP∥GH．
证明：连接AC交BD于点O，连接MO，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，
又M是PC的中点，∴AP∥OM．
而PA⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，
∴AP∥平面BMD．
∵AP⊂平面PAHG，平面PAHG∩平面BMD＝GH，
∴AP∥GH．
考点4 平面与平面平行的判定
【例4】．如图，四边形ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．
（1）求证：BE∥平面DMF；
（2）求证：平面BDE∥平面MNG．
证明：（1）如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，
连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，
又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF．
（2）因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，
又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG．
又M为AB中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，
又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD∥平面MNG，
又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，
所以平面BDE∥平面MNG．
变式训练
【变4-1】．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为（ ）
A．B．C．D．
解：取B1C1的中点E，C1D1的中点F，连接EF，BE，DF，B1D1，
则EF∥B1D1，B1D1∥BD，所以EF∥BD，故EFBD在同一平面内，
连接ME，因为M，E分别为A1D1B1C1的中点，
所以ME∥AB，且ME＝AB，
所以四边形ABEM是平行四边形，
所以AM∥BE，又因为BE⊂平面BDFE，AM不在平面BDFE内，
所以AM∥平面BDFE，
同理AN∥平面BDFE，
因为AM∩AN＝A，
所以平面AMN∥平面BDFE，
即平面a截该正方体所得截面为平面BDFE
BD＝，EF＝＝，DF＝，梯形BDFE如图：
过E，F作BD的垂线，则四边形EFGH为矩形，
∴FG＝＝＝，
故四边形BDFE的面积为＝．
故选：B．
【变4-2】．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，G是A1C1的中点，过点G的截面与侧面ABB1A1平行，若侧面ABB1A1是边长为4的正方形，则截面的周长为 12 ．
解：如图，取 B1C1的中点 M，BC 的中点 N，AC 的中点 H，
连接 GM，MN，HN，GH，则 GM∥HN∥AB，MN∥GH∥AA1，
所以有GM∥平面 ABB1A1，MN∥平面 ABB1A1．
又 GM∩MN＝M，所以平面GMNH∥平面ABB1A1，
即平面 GMNH 为过点 G 且与平面 ABB1A1平行的截面，
易得此截图的周长为4+4+2+2＝12．
故答案为：12．
【变4-3】．如图（甲），在直角梯形ABED中，AB∥DE，AB⊥BE，AB⊥CD，F，H，G分别为AC，AD，DE的中点，现将△ACD沿CD折起，如图（乙）．求证：平面FHG∥平面ABE．
证明：∵F，H，G分别为AC，AD，DE的中点，
∴FH∥CD，HG∥AE，
∵AB⊥CD，AB⊥BE，
∴CD∥BE，∴FH∥BE，
∵BE⊂平面ABE，FH⊄平面ABE，
∴FH∥平面ABE，
∵AE⊂平面ABE，HG⊄平面ABE，∴HG∥平面ABE，
∵FH∩HG＝H，
∴平面FHG∥平面ABE．
考点5 平面与平面平行的性质
【例5】．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点．
（1）求证：平面A1C1G∥平面BEF；
（2）若平面A1C1G∩BC＝H，求证：H为BC的中点．
证明：（1）如图，
∵E，F分别为B1C1，A1B1的中点，∴EF∥A1C1，
∵A1C1⊂平面A1C1G，EF⊄平面A1C1G，∴EF∥平面A1C1G，
又F，G分别为A1B1，AB的中点，∴A1F＝BG，
又A1F∥BG，∴四边形A1GBF为平行四边形，则BF∥A1G，
∵A1G⊂平面A1C1G，BF⊄平面A1C1G，∴BF∥平面A1C1G，
又EF∩BF＝F，
∴平面A1C1G∥平面BEF；
（2）∵平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，
平面A1C1G与平面ABC有公共点G，则有经过G的直线，设交BC＝H，
则A1C1∥GH，得GH∥AC，
∵G为AB的中点，∴H为BC的中点．
变式训练
【变5-1】（多选）．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱BB1，B1C1，C1D1的中点，则（ ）
A．FG∥平面AED1B．BC1∥平面AED1
C．点C1在平面AED1内D．点F在平面AED1内
解：如图，
连接B1D1，∵F，G分别是棱B1C1，C1D1的中点，∴GF∥B1D1，
若FG∥平面AED1，则B1D1⊂平面AED1或B1D1∥平面AED1，这与B1D1∩平面AED1＝D1矛盾，故A错误；
连接EF，由题意可知EF∥BC1，而EF⊂平面AED1，BC1⊄平面AED1，∴BC1∥平面AED1，故B正确；
由EF⊂平面AED1，BC1∥平面AED1，可得点C1不在平面AED1内，点F在平面AED1内，故C错误，D正确．
故选：BD．
【变5-2】．如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为 平行四边形 ．
解：∵平面ABFE∥平面DCGH，
且平面EFGH分别截平面ABFE与平面DCGH得直线EF与GH，
∴EF∥GH．
同理，FG∥EH，
∴四边形EFGH为平行四边形．
故答案为：平行四边形．
【变5-3】．过两平行平面α、β外的点P两条直线AB与CD，它们分别交α于A、C两点，交β于B、D两点，若PA＝6，AC＝9，PB＝8，则BD的长为 12 ．
解：当两个平面在点P的同侧时，由面面平行的性质定理可得AC与BD平行，∴
∵PA＝6，AC＝9，PB＝8，
∴BD＝12；
同理，当点P在两个面的中间时，BD＝12．
故答案为：12．

1．条件“△ABC的三个顶点到平面α的距离相等”是“△ABC所在平面与平面α平行”的（ ）．
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
解：如图示，若“△ABC的三个顶点到平面α的距离相等”，
此时“△ABC所在平面与平面α不平行”，充分性不成立；
而“△ABC所在平面与平面α平行”，则“△ABC的三个顶点到平面α的距离相等”，必要性成立．
所以“△ABC的三个顶点到平面α的距离相等”是“△ABC所在平面与平面α平行”的必要非充分条件．
故选：B．
2．下列四个正方体图形中，A、B、M、N、P分别为正方体的顶点或其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是（ ）
A．B．
C．D．
解：对于A，由题意得MN∥AC，NP∥BC，而MP∩NP＝P，AC∩BC＝C，
MP⊂平面MNP，NP⊂平面MNP，AC⊂平面BC，BC⊂平面ABC，
故平面MNP∥平面ABC，而AB⊂平面ABC，故AB∥平面MNP，故A正确；
对于B，取MP的中点Q，底面中心O，则NO∥AB，故AB与NQ相交，故B错误；
对于C，MB∥NP，故B∈平面MNP，则AB∩平面MNP＝B，故C错误；
对于D，作平行四边形MNPQ，则AB与MQ相交，故D错误．
故选：A．
3．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别为A1B1，BC的中点，设过点E，F，D1的平面为α，则下列说法正确的是（ ）
A．在正方体AC1中，存在某条棱与平面α平行
B．在正方体AC1中，存在某条面对角线与平面α平行
C．在正方体AC1中，存在某条体对角线与平面α平行
D．平面α截正方体AC1所得的截面为五边形
解：对于A：因为BC∩α＝F，BC⊄α，所以BC，AD，A1D1，B1C1都不与α平行，
又A1B1∩α＝E，A1B1⊄α，所以A1B1，AB，CD，C1D1都不与α平行，
因为DD1∩α＝D1，DD1⊄α，所以DD1，CC1，BB1，AA1都不与α平行，
故不存在棱与平面α平行，故A错误；
对于B：由D作截面图形为五边形D1EPFM可判断不存在某条面对角线与平面α平行，
对于C：由D作截面图形为五边形D1EPFM可判断不存在某条体对角线与平面α平行，
对D：如图，取AB中点G，易得D1E∥DG，取CD中点H，
连接BH，则易得BH∥DG，
再取CH中点M，连接FM，则FM∥BH，
所以FM∥D1E，所以FM是平面α与正方体底面ABCD的交线，
延长MF，与AB的延长线交于N，连接EN，交BB1于P，
则可得五边形D1EPFM即为平面α交正方体ABCD﹣A1B1C1D1的截面，故D正确；
故选：D．
4.（多选）．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，M、N分别为AC、PC上的点，且MN∥平面PAD，则（ ）
A．MN∥PDB．MN∥平面PABC．MN∥ADD．MN∥PA
解：四棱锥P﹣ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，
MN⊂平面PAC，平面PAC∩平面PAD＝PA，
由直线与平面平行的性质定理可得：MN∥PA．
MN⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，所以MN∥平面PAB．
故选：BD．
5.（多选）．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AB＝4，BC＝2，M、N分别为棱C1D1，CC1的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．A，D，B1，C1四点共面B．AM与BN是异面直线
C．平面B1MA1∥平面ABCDD．B1C1∥平面ADM
解：由AD∥B1C1，知AD，B1C1共面，即A，D，B1，C1四点共面，A正确；
取DD1中点P，连接AP，PN，易得AB∥PN，AB＝PN，则四边形ABNP为平行四边形，
AP∥BN，又M∉平面ABNP，故AM与BN是异面直线，B正确；
取DC中点Q，连接BQ，MQ，易得BB1∥MQ，BB1＝MQ，则四边形BB1MQ为平行四边形，B1M∥BQ，
又B1M⊄平面ABCD，BQ⊂平面ABCD，则B1M∥平面ABCD，又A1B1∥AB，同理可得A1B1∥平面ABCD，
又A1B1，B1M⊂平面B1MA1，A1B1∩B1M＝B1，则平面B1MA1∥平面ABCD，C正确；
由B1C1∥AD，又B1C1⊄平面ADM，AD⊂平面ADM，则B1C1∥平面ADM，D正确．
故选：ABCD．
6.（多选）．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点．在此几何体中，给出下列结论，其中正确的结论是（ ）
A．平面EFGH∥平面ABCDB．直线PA∥平面BDG
C．直线EF∥平面PBCD．直线EF∥平面BDG
解：作出立体图形如图所示，连结E，F，G，H四点构成平面EFGH，
对于A，因为E，F分别是PA，PD的中点，所以EF∥AD，又EF⊄平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以EF∥平面ABCD，同理EH∥平面ABDCD，又EH∩EF＝E，EF，EH⊂平面EFGH，所以平面EFGH∥平面ABCD，故选项A正确；
对于B，连结AC，BD，DG，BG，设AC的中点为M，则M也是BD的中点，所以MG∥PA，又MG⊂平面BDG，PA⊄平面BDG，所以PA∥平面BDG，故选项B正确；
对于C，由A中的分析可知EF∥AD，AD∥BC，所以EF∥BC，因为EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC，故选项C正确；
对于D，根据C中的分析可知，EF∥BC，再结合图形可得，BC∩BD＝B，则直线EF与平面BDG不平行，故选项D错误．
故选：ABC．
7．如图所示，P为▱ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，＝ ．
解：连接AC交BE于点M，
连接FM．
∵PA∥平面EBF，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面EBF＝EM，
∴PA∥EM，
∴＝＝＝，
故答案为：．
8．如图所示，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝ a ．
解：∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，MN⊂平面A1B1C1D1
∴MN∥平面ABCD，又PQ＝面PMN∩平面ABCD，
∴MN∥PQ．
∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点
∴MN∥A1C1∥AC，
∴PQ∥AC，又AP＝，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为a的正方体，
∴CQ＝，从而DP＝DQ＝，
∴PQ＝＝＝a．
故答案为：a
9．棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C、M、D1作正方体的截面，则截面的面积是 ．
解：如图，由面面平行的性质知截面与平面AB1的交线MN是△AA1B的中位线，所以截面是梯形CD1MN，
易求其面积为．
10．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE：EB＝AF：FD＝1：5，又H，G分别为BC，CD的中点，则下列结论正确的是 ①②③ （请填写正确命题的序号）
①BD∥平面EFGH；
②EF∥平面BCD；
③HG∥平面ABD；
④EH∥平面ADC．
解：∵在△ABD中，AE：EB＝AF：FD＝1：5，∴，
又∵EF⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，
BD⊂平面BCD，EF⊄平面BCD，
∴BD∥平面EFGH；EF∥平面BCD；
∵HG分别为BC，CD的中点，∴，
又∵HG⊄平面ABD，BD⊂平面ABD，
∴HG∥平面ABD，∴EF∥HG，EF≠HG，
∴四边形EFGH是梯形，∴EH与GF必相交，
∵GF⊂平面ADC，∴EH与平面ADC有公共点，
即EH与平面ADC不平行．
综上，正确的是：①②③，
故答案为：①②③．
11．如图，四边形EFGH为四面体ABCD的一个截面，若四边形EFGH为平行四边形，AB＝4，CD＝6，则四边形EFGH的周长的取值范围是 （8，12） ．
解：设EF＝x（0＜x＜4），
∵四边形EFGH为平行四边形，
∴＝，
则＝＝＝1﹣，
从而FG＝6﹣，
∴四边形EFGH的周长l＝2（x+6﹣）＝12﹣x，
又0＜x＜4，则有8＜l＜12，
∴四边形EFGH周长的取值范围是（8，12）．
故答案为：（8，12）．
12．如图，已知空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、DA的中点，且AB＝BC＝CD＝DA＝BD＝AC，求证：四边形EFGH是正方形．
证明：取BD中点O，连接OA，OC，
∵AB＝AD，BC＝DC，∴AO⊥BD，CO⊥BD，
又AO∩CO＝O，∴BD⊥平面AOC，
∴BD⊥AC，
∵E，F，G，H为AB，BC，CD，DA的中点，
∴EH∥BD，且EH＝BD，FG∥BD，且FG＝BD，EF∥AC，
∴EH∥FG，且EH＝FG，∴四边形EFGH是平行四边形，
又AC＝BD，故EH＝HG，故四边形EFGH是菱形，
∵AC⊥BD，又EF∥AC，EH∥BD，∴EF⊥EH，
∴四边形EFGH为正方形．
13．如图所示，在四棱锥C﹣ABED中，四边形ABED是正方形，点G，F分别是线段EC，BD的中点．
（1）求证：GF∥平面ABC；
（2）线段BC上是否存在一点H，使得面GFH∥面ACD．若存在，请找求出点H并证明；若不存在，请说明理由．
证明：（1）由四边形ABED为正方形可知，连接AE必与BD相交于中点F
故GF∥AC
∵GF⊄面ABC
∴GF∥面ABC
解：（2）线段BC上存在一点H满足题意，且点H是BC中点
理由如下：由点G，H分别为CE，CB中点可得：GH∥EB∥AD
∵GH⊄面ACD
∴GH∥面ACD
由（1）可知，GF∥面ACD
且GF∩GH＝G
故面GFH∥面ACD
14．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别为线段AC1，A1C1的中点．
（1）求证：EF∥平面BCC1B1；
（2）在线段BC1上是否存在一点G，使平面EFG∥平面ABB1A1？请说明理由．
（1）证明：因为E，F分别为线段AC1A1C1的中点，
所以EF∥A1A，
因为B1B∥A1A，所以EF∥B1B，
又因为EF⊄平面BCC1B1，B1B⊂平面BCC1B1，所以EF∥平面BCC1B1．
解：（2）取BC1的中点G，连接GE，GF，
因为E为AC1的中点，所以GE∥AB，
因为GE⊄平面ABB1A1，AB⊂平面ABB1A1，所以GE∥平面ABB1A1，
同理可得，EF∥平面ABB1A1，
又因为EF∩EG＝E，EG，EF⊂平面EFG，所以平面EFG∥平面ABB1A1，
故在线段BC1上存在一点G，使平面EFG∥平面ABB1A1．
15．如图，在三棱锥A﹣BCD中，点E，F分别是AD，BD的中点．
（1）证明：EF∥平面ABC；
（2）若三棱锥A﹣BCD是底边长为3的正三棱锥，且该体积与表面积为24的正方体的体积相等，求该正三棱锥的高．
（1）证明：因为点E，F分别是AD，BD的中点．
所以EF∥AB，
又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，
∴EF∥平面ABC；
（2）解：设正方体的棱长为a，则6a2＝24，解得a＝2，
故正方体的体积为V＝a3＝8，
设正三棱锥的高为h．
根据题意得VA﹣BCD＝S△CBD•h＝8，又S△CBD＝×3×3×sin60°＝．
∴h＝．
16．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是线段B1D1上的一个动点，E，F分别是BC，CM的中点．
（1）求证：EF∥平面BDD1B1；
（2）设G为棱CD上的中点，求证：平面GEF∥平面BDD1B1．
证明：（1）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，连接BM，如图，
因E，F分别是BC，CM的中点，则有EF∥BM，
又EF⊄平面BDD1B1，BM⊂平面BDD1B1，
所以EF∥平面BDD1B1；
（2）G是DC中点，使得平面GEF∥平面BDD1B1，理由如下：
取CD的中点G，连接EG，FG，而E是BC的中点，于是得EG∥BD，
而EG⊄平面BDD1B1，BD⊂平面BDD1B1，
从而得EG∥平面BDD1B1，
由（1）知EF∥平面BDD1B1，
EF∩EG＝E，且EF、EG⊂平面GEF，
因此，平面GEF∥平面BDD1B1，
所以当G是DC的中点时，平面GEF∥平面BDD1B1．
17．如图所示，正四棱锥P﹣ABCD的各棱长均为13，M为PA上的点，且PM：MA＝5：8．
（1）在线段BD上是否存在一点N，使直线MN∥平面PBC？，如果存在，求出BN：ND的值，如果不存在，请说明理由；
（2）假设存在满足条件（1）的N点，求线段MN的长．
解：（1）存在，BN：ND＝5：8；理由如下：
连接AN并延长，交BC于E，连接PE．
因为正方形ABCD中，AD∥BC，所以；
又因为，所以MN∥PE；
PE⊂平面PBC，MN⊄平面PBC，所以MN∥平面PBC．
（2）由（1）得BE：AD＝5：8，所以；
△PBE中，PE2＝PB2+BE2﹣2PB⋅BEcs60°＝，
所以；
因为MN∥PE，所以MN：PE＝8：13，
所以．