（人教A版）必修第二册高一数学下册期末复习训练专题11 直线、平面垂直的判定及其性质（2份，原卷版+解析版）

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要点一、直线和平面垂直的定义与判定
1.直线和平面垂直的定义
如果直线和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作.直线叫平面的垂线；平面叫直线的垂面；垂线和平面的交点叫垂足.
2.直线和平面垂直的判定定理
文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
符号语言：
特征：线线垂直线面垂直
要点诠释：
①过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条．
②如果两条平行线中的一条与一个平面垂直，那么另一条也与这个平面垂直．
③如果两个平行平面中的一个与一条直线垂直，那么另一个也与这条直线垂直．
要点二、平面与平面垂直的定义与判定
1.平面与平面垂直定义
定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.
表示方法：平面与垂直，记作.
画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.如图：

2.平面与平面垂直的判定定理
文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
符号语言：
图形语言：
要点三、直线与平面垂直的性质
1.基本性质
文字语言：一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.
符号语言：
图形语言：
2.性质定理
文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行.
符号语言：
图形语言：
3．直线与平面垂直的其他性质
（1）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
（2）若于，，则．
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．
（4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面．
要点诠释：
线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系的枢纽，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转化．
要点四、平面与平面垂直的性质
1．性质定理
文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
符号语言：
要点五、垂直证明方法总结
1、直线和平面垂直的证明
证明线面垂直的基本思路：证明线垂直面内的两条相交直线。
2、直线和直线垂直的证明
类型一：证明异面直线垂直的基本思路
①证明一条线垂直另一条线所在的面，即通过证明线垂直来证明。（常用）
②平行与垂直的传递性质
类型二：共面直线垂直的证明基本思路
①勾股定理逆定理
②等腰三角形三线合一（常用）
3、平面和平面垂直的证明
证明面面垂直的基本思路：证明面内一条直线垂直另一个面。即转化为线面垂直来证明。
注意：证明面面垂直一般都是转化为线面垂直来证明。难点是找准面的垂线。找垂线的基本思路是：在一个面内垂直于面面交线的线即是另一个面的垂线。如果题目内没有出现，则需要自己做出交线的垂线，再证明。
例题分析
考点1 异面直线所成的角
【例1】．已知在三棱锥A﹣BCD中，AB＝CD，且点M，N分别是BC，AD的中点．若直线AB⊥CD，则直线AB与MN所成的角为 ．
解：取AC的中点O，连接OM、ON．
∵M为BC的中点，
∴OM∥AB且OM＝AB；
∴∠OMN为异面直线AB、MN所成的角，
又∵AB⊥CD，AB＝CD，
∴OM＝ON，OM⊥ON，
∴△OMN为等腰直角三角形，
∴∠OMN＝
故答案是：
变式训练
【变1-1】．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝BC＝2，AA1＝5，E为B1C1的中点，则异面直线BD与CE所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
解：取C1D1的中点F，连接EF，CF，B1D1，
根据题意易知EF∥B1D1∥BD，
∴∠CEF为异面直线BD与CE所成的角或其补角，
又，，
∴由余弦定理得．
故选：C．
【变1-2】．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE、DE的中点．将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为（ ）
A．90°B．60°C．45°D．0°
解：将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，
I、J分别为BE、DE的中点，则IJ∥侧棱，
故GH与IJ所成角与侧棱与GH所成的角相等；
AD为折成三棱锥的侧棱，因为∠AHG＝60°，
故GH与IJ所成角的度数为60°，
故选：B．
【变1-3】．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，P为边AB的中点，现将△DAP绕直线DP翻转至△DA'P处，若M为线段A'C的中点，则异面直线BM与PA'所成角的正切值为（ ）
A．B．2C．D．4
解：取A′D中点N，连结PN，MN，
∵M是A′C的中点，∴MN∥CD∥PB，且MN＝PB，
∴四边形PBMN为平行四边形，
∴MB∥PN，
在Rt△A′PN中，tan∠A′PN＝＝，
∴异面直线BM与PA'所成角的正切值为．
故选：A．
【变1-4】．已知四面体ABCD的棱都相等，G为△ABC的重心，则异面直线AG与CD所成角的余弦值为 ．
解：设四面体ABCD的棱长为a，延长AG交BC于点E，取BD的中点F，连接EF、AF，
由题意知，E为BC的中点，
∴CD∥EF，故∠AEF即为异面直线AG与CD所成角．
在△AEF中，AE＝AF＝a，EF＝a，
由余弦定理知，cs∠AEF＝＝＝．
∴异面直线AG与CD所成角的余弦值为．
故答案为：．
考点2 直线与直线的垂直
【例2】．如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，若异面直线AD与BC所成角为90°，则EF＝_________
解：取BD中点O，连结EO、FO，
∵在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，
∴EO∥AD，FO∥BC，且EO＝OF＝1，
∴∠EOF是异面直线AD与BC所成角（或所成角的补角），
∵异面直线AD与BC所成角为90°，
∴∠EOF＝90°，
∴EF＝＝＝．
变式训练
【变2-1】．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD是菱形，且，∠ABC＝120°，若异面直线A1B和AD1所成的角是90°，则AA1的长度是 ．
解：连结CD1，AC，
由题意得四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D1＝BC，A1D1∥BC，
∴四边形A1BCD1是平行四边形，
∴A1B∥CD1，
∴∠AD1C（或其补角）为A1B和AD1所成的角，
∵异面直线A1B和AD1所成的角为90°，
∴∠AD1C＝90°，
∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，
∴AC＝2sin60°×2＝6，
∴AD1＝AC＝3，
∴AA1＝＝．
故答案为：．
【变2-2】（多选）．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是（ ）
A．直线CC1与直线B1E相交B．CC1与AE共面
C．AE与B1C1是异面直线D．AE与B1C1垂直
解：由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E相交，A正确；
由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；
同理AE与B1C1是异面直线，C正确；
AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，而E为BC中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，即AE与B1C1所成为90°，D正确．
故选：ACD．
考点3 直线与平面垂直的判定
【例3】．如图，在四面体A﹣BCD中，∠BDC＝90°，AC＝BD＝2，E，F分别为AD，BC的中点，且EF＝．求证：BD⊥平面ACD．
证明：取CD的中点为G，连结EG、FG，
∵F，G分别为BC，CD的中点，∴FG∥BD，
又E为AD的中点，AC＝BD＝2，
∴EG＝FG＝1，
∵EF＝，∴EF2＝EG2+FG2，∴EG⊥FG，
∴BD⊥EG，
∵∠BDC＝90°，∴BD⊥CD，
∵EG∩CD＝G，∴BD⊥平面ACD．
变式训练
【变3-1】．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D为PB的中点，则下列判断不正确的是（ ）
A．BC⊥平面PABB．AD⊥PCC．AD⊥平面PBCD．PB⊥平面ADC
解：∵PA⊥平面 ABC，BC⊂平面ABC，
∴PA⊥BC，又AB⊥BC，AB，PA⊂平面PAB且AB∩PA＝A，
∴BC⊥平面 PAB，故A正确，
由 BC⊥平面 PAB，AD⊂平面 PAB，
得 BC⊥AD，
又PA＝AB，D 是 PB 的中点，
∴AD⊥PB，
又PB∩BC＝B，PB，BC⊂平面 PBC，
∴AD⊥平面 PBC，PC⊂平面 PBC，
∴AD⊥PC，故B，C正确，
由 BC⊥平面 PAB，PB⊂平面 PAB，
得 BC⊥PB，
因为BC与CD不平行，
因此 PB 与 CD 不垂直，
从而PB不与平面 ADC 垂直，D错误，故选：D．
【变3-2】．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB＝3，AD＝2，PA＝2，，∠PAB＝60°．
（1）证明：AD⊥平面PAB；
（2）求异面直线PC与AD所成角的正切值．
证明（1）：底面ABCD是矩形，∴AD⊥AB，
又∵AD＝2，PA＝2，，
在△PAD中，AD²+PA²＝PD²，
∴AD⊥AP
AP⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，AD⊄平面PAB，
∴AD⊥平面PAB；
解（2）：因为AD∥BC，异面直线PC与AD所成角即为PC与BC所成角，即∠PCB，
由（1）可知AD⊥平面PAB；
∴BC⊥平面PAB；
那么△PBC是直角三角形，
tan∠PCB＝，
∵AB＝3，PA＝2，∠PAB＝60°．
由余弦定理可得PB＝，
那么tan∠PCB＝＝
故得异面直线PC与AD所成角的正切值为．
考点4 线面角问题
【例4】．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AC的中点．若AB＝BC＝BB1，∠ABC＝，求CC1与平面BC1D所成角的正弦值．
解：因为D为AC的中点，AB＝BC，所以BD⊥AC，
因为ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，所以平面ABC⊥平面AA1C1C，
又因为平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，所以BD⊥平面AA1C1C，
又因为BD⊂平面BDC1，所以平面BDC1⊥平面AA1C1C，
所以CC1在平面BDC1内投影为DC1，所以∠DC1C为CC1与平面BC1D所成角，
设∠DC1C＝θ，AB＝a，则tanθ＝＝＝，sinθ＝＝．
故CC1与平面BC1D所成角的正弦值为．
变式训练
【变4-1】．如图，已知△ABC是顶角为C＝120°的等腰三角形，且AC＝2，点D是AB的中点．将△ACD沿CD折起，使得AC⊥BC，则此时直线BC与平面ACD所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
解：如图∵CD⊥AD，CD⊥DB，∴CD⊥面ADB．
过B作BH⊥AD于H，易得BH⊥面ADC，
∴∠BCH就是直线BC与平面ACD所成角．
∵AC＝BC＝2，∠ACB＝120°，∴AD＝DB＝，CD＝1．
折叠后，∵AC⊥BC，∴．
在△ADB中，设AB边上的高为h，h＝
由AB×h＝AD×BH⇒BH＝，
在Rt△BHC中，sin∠BCH＝＝
故选：A．
【变4-2】．如图所示，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成角的度数为 45° ；点Q在PB的延长线上，则直线QB与平面ABC所成角的度数为 45° ．
解：三棱锥P﹣ABC中，∵PA⊥平面ABC，且AB⊂平面ABC，
∴PA⊥AB，即∠PAB＝90°，
∠PBA就是直线PB与平面ABC所成的角，
又PA＝AB，∴∠PBA＝45°，即直线PB与平面ABC所成角的度数为45°；
∵直线QB与直线PB共线，∴直线QB与平面ABC所成角的度数为45°．
故答案为：45°；45°．
考点5 直线与平面垂直的性质
【例5】．如图，PA⊥平面ABD，PC⊥平面BCD，E，F分别为BC，CD上的点，且EF⊥AC．求证：＝．
证明：∵PA⊥平面ABD，BD⊂平面ABD，∴PA⊥BD，
∵PC⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，EF⊂平面BCD，
∴PC⊥BD，PC⊥EF，
又PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC，
又EF⊥AC．PC∩AC＝C，
∴EF⊥平面PAC，
∴EF∥BD，
∴＝．
变式训练
【变5-1】．如图平面α∩平面β＝PQ、EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G、H，为使PQ⊥GH，则需要增加一个条件是（ ）
A．EF⊥平面αB．EF⊥平面βC．PQ⊥GED．PQ⊥FH
解：由平面α∩平面β＝PQ、EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G、H，知：
在A中，EF⊥平面α，EF∥EG∥FH，与题意不符，故A错误；
在B中，EF⊥平面β，则EF⊥PQ，EG⊥PQ，且EF∩EG＝E，
∴PQ⊥平面EFHG，∵GH⊂平面EFHG，∴PQ⊥GH，故B正确；
在C中，由平面α∩平面β＝PQ、EG⊥平面α，能得到PQ⊥GE，故C 错误；
在D中，由平面α∩平面β＝PQ，FH⊥平面α，能得到PQ⊥FH，故D 错误．
故选：B．
【变5-2】．如图所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于E，F，G．求证：AE⊥SB，AG⊥SD．
解：∵SA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥SA，
∵四边形ABCD为正方形，∴BC⊥AB，
∵AB、SA是平面SAB内的相交直线，∴BC⊥平面SAB．
∵AE⊂平面SAB，∴BC⊥AE．
∵SC⊥平面AEFG，AE⊂平面AEFG，∴SC⊥AE，
∵BC、SC是平面SBC内的相交直线，∴AE⊥平面SBC．
∵SB⊂平面SBC，∴AE⊥SB．
同理可证AG⊥SD．
考点6 二面角问题
【例6】．如图，三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥平面ABC，PA＝3，PB＝PC＝BC＝6，求二面角P﹣BC﹣A的正弦值．
解：取BC的中点D，连接PD，AD，
∵PB＝PC，∴PD⊥BC
∵PA⊥平面ABC，由三垂线定理的逆定理得 AD⊥BC
∴∠PDA就是二面角P﹣BC﹣A的平面角
∵PB＝PC＝BC＝6，∴PD＝
sin∠PDA＝ 即二面角P﹣BC﹣A的正弦值是
变式训练
【变6-1】．A是锐二面角α﹣l﹣β的α内一点，AB⊥β于点B，AB＝，A到l的距离为2，则二面角α﹣l﹣β的平面角大小为 60° ．
解：由题意可知A是二面角α﹣l﹣β的面α内一点，AB⊥平面β于点B，AB＝，A到l的距离为2，
如图：AO⊥l于O，因为AB⊥平面β于点B，连结OB，所以∠AOB是二面角α﹣l﹣β的平面角，或补角，所以sin∠AOB＝，
∴∠AOB＝60°或120°．
∵α﹣l﹣β是锐二面角，
∴二面角α﹣l﹣β的平面角大小为60°．
故答案为：60°
【变6-2】．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2，则侧面与底面所成的二面角等于 60° ．
解：正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2，
底面边长为2，底面积为12，
设正四棱锥的高为h，
则，解得h＝3，
则侧面与底面所成的二面角的正切tanα＝，
∴二面角等于60°，
故答案为：60°．
【变6-3】．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA＝PD，且平面PAD⊥平面ABCD．
（1）若E，F分别为棱PC，AB的中点，求证：CD⊥EF；
（2）若直线PC与AB所成角的正弦值为，求二面角P﹣BC﹣A的余弦值．
（1）证明：如图，
取PD中点G，连接EG，AG，
∵E是PC的中点，∴EG∥CD∥AB，EG＝，
又AF＝，∴EG∥AF且EG＝AF，
则四边形AFEG为平行四边形，得AG∥EF．
取AD中点O，连接PO，∵PA＝PD，∴PO⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴PO⊥平面ABCD，则PO⊥CD，
又CD⊥AD，PO∩AD＝O，∴CD⊥平面PAD，得CD⊥AG，
∵AG∥EF，∴CD⊥EF；
（2）解：由（1）知，CD⊥PD，
在Rt△PDC中，设PD＝2a，
∵直线PC与AB所成角的正弦值为，即sin∠PCD＝，
∴cs，即tan，
∴CD＝．
则AD＝CD＝．
在Rt△PDO中，PO＝．
取BC中点M，连接OM，则OM⊥BC，
由（1）知PO⊥BC，PO∩OM＝O，则BC⊥平面POM，∴BC⊥PM．
则∠PMO为二面角P﹣BC﹣A的平面角．
在Rt△POM中，PO＝，OM＝CD＝，PM＝．
∴cs∠PMO＝＝．
∴二面角P﹣BC﹣A的余弦值为．
考点7 平面与平面垂直的判定
【例7】．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，∠PDC＝90°，E为棱AP的中点，且AD⊥CE．求证：平面PAD⊥平面ABCD．
证明：取AD的中点O，连OE，OC，CA，
∵∠ABC＝60°，∴△ACD为等边三角形，得AD⊥OC，
又AD⊥CE，∴AD⊥平面COE，得AD⊥OE，
又OE∥PD，∴AD⊥PD，
又∠PDC＝90°，∴PD⊥平面ABCD，
又PD⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD．
变式训练
【变7-1】．已知AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于A，B的一点，D为下底面圆周上一点，且AD⊥圆柱的底面，则必有（ ）
A．平面ABC⊥平面BCDB．平面BCD⊥平面ACD
C．平面ABD⊥平面ACDD．平面BCD⊥平面ABD
解：因为AB是圆柱上底面的一条直径，所以AC⊥BC，又AD垂直圆柱的底面，
所以AD⊥BC，因为AC∩AD＝A，
所以BC⊥平面ACD，因为BC⊂平面BCD，
所以平面BCD⊥平面ACD．
故选：B．
【变7-2】．如图梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD：BC：AB＝2：3：4，E、F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折．给出四个结论：
①DF⊥BC，
②BD⊥FC
③平面DBF⊥平面BFC，
④平面DCF⊥平面BFC．
在翻折过程中，可能成立的结论是 ②③ ．（填写结论序号）
解：①：因为BC∥AD，AD与DF相交不垂直，所以BC与DF不垂直，则①不成立；
②：设点D的在平面BCF上的射影为点P，当BP⊥CF时就有BD⊥FC，而AD：BC：AB＝2：3：4可使条件满足，所以②正确；
③：当点P落在BF上时，DP⊂平面BDF，从而平面BDF⊥平面BCF，所以③正确．
④：因为点D的射影不可能在FC上，所以平面DCF⊥平面BFC不成立．
故答案为：②③．
【变7-3】．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，P，Q分别是AA1，B1C1上的点，且AP＝3A1P，B1C1＝4B1Q．
（1）求证：PQ∥平面ABC1；
（2）若AB＝AA1，BC＝3，AC1＝3，BC1＝，求证：平面ABC1⊥平面AA1C1C．
证明：（1）在BB1取点E，使BE＝3EB1，连结PE、QE，
∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，P，Q分别是AA1，B1C1上的点，且AP＝3A1P，B1C1＝4B1Q，
∴PE∥AB，QE∥BC1，
∵AB∩BC1＝B，PE∩QE＝E，AB、BC1⊂平面ABC1，
PE、QE⊂平面PQE，
∴平面ABC1∥平面PQE，
∵PQ⊂平面PQE，∴PQ∥平面ABC1．
解：（2）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，
∴AB⊥CC1，BC⊥CC1，
∵AB＝AA1，BC＝3，AC1＝3，BC1＝，
∴AB＝AA1＝CC1＝＝2，AC＝＝＝，
∴AB2+AC2＝BC2，∴AB⊥AC，
又AC∩CC1＝C，∴AB⊥平面AA1C1C，
∵AB⊂平面ABC1，∴平面ABC1⊥平面AA1C1C．
考点8 平面与平面垂直的性质
【例8】．如图，平行四边形ABCD中，∠ABD＝90°，AB＝2，AD＝4，将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EDB⊥平面ABD．
（1）求证：AB⊥DE；
（Ⅱ）求三棱锥E﹣ABD的侧面积．
解：（Ⅰ）∵∠ABD＝90°，∴AB⊥BD，AB∥CD，∴CD⊥BD，∴DE⊥BD；
∵平面EDB⊥平面ABD，平面EDB∩平面ABD＝BD，DE⊂平面EDB，DE⊥BD；
∴DE⊥平面ABD，AB⊂平面ABD；
∴DE⊥AB，即AB⊥DE；
（Ⅱ）AB⊥DE，AB⊥BD，DE∩BD＝D；
∴AB⊥平面EDB，BE⊂平面EDB，∴AB⊥BE，∴△ABE为Rt△；
ED⊥平面ABD，AD⊂平面ABD，∴ED⊥AD，∴△ADE为Rt△；
前面知道ED⊥BD，∴△BDE为Rt△；
在RtABD中，BD＝，∴；
；
在Rt△BDE中，BE＝，∴；
∴三棱锥E﹣ABD的侧面积为：8+2．
变式训练
【变8-1】．如图，点P为四边形ABCD外一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E为AD的中点，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．PE⊥ACB．PE⊥BC
C．平面PBE⊥平面ABCDD．平面PBE⊥平面PAD
解：因为PA＝PD，E为AD的中点，
所以PE⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
所以PE⊥平面ABCD，
所以PE⊥AC，PE⊥BC，
所以A，B结论一定成立，
又PE⊂平面PBE，
所以平面PBE⊥平面ABCD，
所以C结论一定成立，
若平面PBE⊥平面PAD，
则AD⊥平面PBE，必有AD⊥BE，此关系不一定成立．
故选：D．
【变8-2】．等边三角形ABC的边长为2沿平行于BC的线段PQ折起，使平面APQ⊥平面PBCQ，设点A到直线PQ的距离为x，AB的长为d．
（Ⅰ）x为何值时，d2取得最小值，最小值是多少；
（Ⅱ）若∠BAC＝θ，求csθ的最小值．
解：（Ⅰ）如图（1）为折叠前对照图，图（2）为折叠后的空间图形．
∵平面APQ⊥平面PBCQ，又∵AR⊥PQ，
∴AR⊥平面PBCQ，∴AR⊥RB．
在Rt△BRD中，BR2＝BD2+RD2＝，
AR2＝x2．
故d2＝BR2+AR2＝．
∴当时，d2取得最小值．
（Ⅱ）∵AB＝AC＝d，BC＝2，
∴在等腰△ADC中，由余弦定理得，即，
∴当时，csθ取得最小值．
考点9 垂直关系的综合问题
【例9】．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．
（1）若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD．
（2）求证：AD⊥PB．
（3）若E为BC边的中点，能否在PC上找出一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？
解：（1）证明：连接PG，BD
因为△PAD是等边三角形，G为AD边的中点，所以PG⊥AD．
因为平面PAD⊥平面ABCD，所以PG⊥平面ABCD，所以PG⊥BG．
因为四边形ABCD是菱形，所以AB＝AD．
又因为∠BAD＝60°，所以△ABD是等边三角形，所以BG⊥AD．
又因为PG∩AD＝G，所以BG⊥平PAD．
（2）证明：因为AD⊥PG，AD⊥BG，PG∩BG＝G，
所以AD⊥平面BPG．
又因为BP⊂平面BPG，所以AD⊥PB
（3）解：存在点F，且F为PC的中点．
证明如下：
连接CG，交DE于M，连接FM，
因为AD∥BC且AD＝BC，又E，G分别是BC，AD的中点，
连接EG，所以CE∥DG且CE＝DG，
所以四边形CEGD是平行四边形，所以CM＝MG．
又因为CF＝FP，所以MF∥PG．
由（1）知PG⊥平面ABCD，所以MF⊥平面ABCD．
又MF⊂平面DEF，所以平面DEF⊥平面ABCD．
变式训练
【变9-1】．如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA＝PB，AD＝DB，则（ ）
A．PD⊂平面ABC
B．PD⊥平面ABC
C．PD与平面ABC相交但不垂直
D．PD∥平面ABC
解：∵PA＝PB，AD＝DB，∴PD⊥AB，
又平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，
∴PD⊥平面ABC，
因此B正确．
故选：B．
【变9-2】．已知α，β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α．以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： m⊥α，n⊥β，α⊥β⇒m⊥n或m⊥n，m⊥α，n⊥β⇒α⊥β ．
解：m⊥α，n⊥β，α⊥β⇒m⊥n，由面面垂直的性质定理得m⊥n正确；
m⊥n，m⊥α，n⊥β⇒α⊥β，由面面垂直的判定定理得α⊥β正确；
α⊥β，n⊥β，m⊥n⇒m⊥α，这里m与α相交、平行或m⊂α，故m⊥α不正确；
m⊥n，α⊥β，m⊥α⇒n⊥β，这里n与β相交、平行或n⊂β，故n⊥β不正确．
故答案为：m⊥α，n⊥β，α⊥β⇒m⊥n或m⊥n，m⊥α，n⊥β⇒α⊥β．
【变9-3】．已知△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且＝λ（0＜λ＜1）．
（1）求二面角A﹣BE﹣F的大小；
（2）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？
解：（1）∵AB⊥平面BCD，CD⊂面BCD，∴AB⊥CD，
又∵CD⊥BC且AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC．
又∵，∴EF∥CD，
∴EF⊥平面ABC，又EF⊂平面BEF，
∴平面BEF⊥平面ABC，∴二面角A﹣BE﹣F的大小为900．
（2）由（1）知，BE⊥EF，
若平面BEF⊥平面ACD，
又∵平面BEF∩平面ACD＝EF
BE⊂平面BEF，则BE⊥平面ACD，…（6分）
∴BE⊥AC． …（7分）
∵BC＝CD＝1，∠BCD＝90°，∠ADB＝60°，
∴，，
∴，
由AB2＝AE•AC得，∴，
故当时，平面BEF⊥平面ACD．

1．已知m，n，l为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥nB．l⊥β，α⊥β⇒l∥α
C．m⊥α，m⊥n⇒n∥αD．α∥β，l⊥α⇒l⊥β
解：若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m与n可能平行与可能异面，故A错误；
若l⊥β，α⊥β，则l∥α或l⊂α，故B错误；
若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故B错误；
若α∥β，l⊥α根据线面垂直的判定方法，易得l⊥β，故D正确；
故选：D．
2．在正四面体ABCD中，点E，F，G分别为棱BC，CD，AC的中点，则异面直线AE，FG所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
解：连接DE，因为点F，G分别为棱CD，AC的中点，
所以FG∥AD，
所以∠EAD或其补角为异面直线AE，FG所成角，
设正四面体的边长为a，
则，AD＝a，
由余弦定理得：，
所以异面直线AE，FG所成角的余弦值为．
故选：C．
3．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是A1D的中点，则（ ）
A．直线MB与直线B1D1相交，直线MB⊂平面ABC1
B．.直线MB与直线D1C平行，直线MB⊥平面A1C1D
C．直线MB与直线AC异面，直线MB⊥平面ADC1B1
D．直线MB与直线A1D垂直，直线MB∥平面B1D1C
解：对于选项A，连接B1D1，BD，如图，
在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1D1∥BD，
BD⊂面MBD，所以B1D1∥平面MBD，
又MB⊂面MBD，MB∩BD＝B，
所以直线MB与直线B1D1不相交，故选项A错误；
对于选项B，连接A1B，D1C，如图，
在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B∥D1C，
A1B⊂面MBD，所以D1C∥面MBD，
又MB⊂面MBD，MB∩A1B＝B，
所以直线MB与直线D1C不平行，故选项B错误；
对于选项C，连接AB1，DC1，A1B，
在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB1⊥A1B，A1B⊥B1C1，
AB1∩B1C1＝B1，所以A1B⊥面ADC1B1，又∵BM∩A1B，
所以BM与平面ADC1B1不垂直，故选项C错误；
对于D选项，连接AD1，BC1，B1D1，B1C，CD1，
在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD1⊥A1D，A1D⊥AB，
AD1∩AB＝A，所以A1D⊥面ABC1D1，BM⊂面ABC1D1，
所以AD1⊥BM，设B1C∩BC1＝O，连接D1O，如图，
∵BC1∥AD1，∴D1M∥OB，OB＝D1M，
所以四边形BMD1O为平行四边形，所以BM∥D1O，
又因为D1O⊂面B1D1C，所以BM∥面B1D1C，故选项D正确，
故选：D．
4.（多选）如图，在棱长为1的正方体中，下列结论成立的是（ ）
A．若点F是平面CD1的中心，则点F到直线AC的距离为
B．二面角A﹣B1C﹣B的正切值为
C．直线AB1与平面ABC1D1所成的角为45°
D．若E是平面A1C1的中心，点F是平面CD1的中心，则EF∥面AB1C
解：对A选项，如图，连接D1C，则F为D1C的中点，再连接AD1，
则易知△ACD1为边长为的正三角形，
∴F到直线AC的距离为△ACD1的底边AC上的高线长的一半，
即F到直线AC的距离为＝，∴A选项正确；
对B选项，易证B1C⊥平面ABC1D1，
且平面ABC1D1∩平面AB1C＝AH，平面ABC1D1∩平面B1CB＝BH，
∴∠AHB即为二面角A﹣B1C﹣B的平面角，
又tan∠AHB＝＝＝，∴B选项正确；
对C选项，由B选项的分析知B1C⊥平面ABC1D1，
∴直线AB1与平面ABC1D1所成的角为∠AHB1，
而sin∠AHB1＝＝，∴∠AHB1＝30°，∴C选项错误；
对D选项，连接D1B1，则E为D1B1的中点，又F为D1C的中点，
∴EF∥B1C，又EF⊄面AB1C，B1C⊂面AB1C，
∴EF∥面AB1C，∴D选项正确．
故选：ABD．
5.将∠B＝60°，边长为1的菱形ABCD沿对角线AC折成二面角θ，B转到B′，若θ∈[60°，120°]，则折后两条对角线AC，B′D之间的距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
解：依题意作图：
解：设菱形的对角线交点为O，由菱形的性质可知AC⊥BD，
即AC⊥B′O，AC⊥OD，AC⊥平面B′OD，并且∠B′OD＝θ，
OB′＝OD，△B′OD是以O为顶点的等腰三角形，
取B′D的中点G，则有OG⊥B′D，AC⊥OG，
∴OG是AC与B′D的公垂线，
在Rt△OCD中，OD＝，在Rt△ODG中，OG＝OD•cs，
θ∈[60°，120°]，∴，
∴OG的最小值为．
故选：A．
6.（多选）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AB＝4，BC＝2，M，N分别为棱C1D1，CC1的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．M，N，A，B四点共面
B．直线BN与平面ADM相交
C．直线BN和B1M所成的角为60°
D．平面ADM和平面A1B1C1D1的夹角的正切值为2
解：A：连接AD1，BC1，如图AM⊂面ABC1D1，而B∈面ABC1D1，N∉面ABC1D1，
所以M，N，A，B四点不共面，错误；
B：若F为DD1中点，连接AF，N为棱CC1的中点，
由长方体性质知：AF∥BN，显然BN⊄面ADM，
若BN∥面ADM，而AF∩面ADM＝A，显然有矛盾，
所以直线BN与平面ADM相交，正确；
C：若H，G分别是a，b，c中点，连接HD1，GD1，
由长方体性质易知：HD1∥AF，GD1∥B1M，
而AF∥BN，故HD1∥BN，即直线BN和B1M所成的角为∠GD1H，
由题设A1G＝A1H＝A1D1＝2，易知，即△HD1G为等边三角形，
所以∠GD1H为60°，正确；
D：若G分别是A1B1中点，显然MG∥A1D1∥AD，易知A，D，M，G共面，
所以平面ADM和平面A1B1C1D1的夹角，即为面ADMG和面A1B1C1D1的夹角，
而面ADMG∩面A1B1C1D1＝MG，长方体中AA1⊥A1G，AA1⊥MG，
如图，∠AGA1为ADMG和面A1B1C1D1夹角的平面角，，正确．
故选：BCD．
7.如图，PA垂直于圆所在平面，AC为圆的直径，B为圆周上不与点A，C重合的点，AS⊥PC，AN⊥PB，且S，N都为垂足，请写出一个与平面ANS垂直的平面 平面PAC（或平面PBC） ．
解：因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，
又因为AC是直径，所以AB⊥BC，且PA∩AB＝A，
所以BC⊥平面PAB，AN⊂平面PAB，所以BC⊥AN，
又因为AN⊥PB，且BC∩PB＝B，所以AN⊥平面PBC，
又PC⊂平面PBC，所以AN⊥PC，又AS⊥PC，AN∩AS＝A，
所以PC⊥平面ANS，PC⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面ANS，PC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面ANS，
所以与平面ANS垂直的平面是平面PAC和平面PBC．
故答案为：平面PAC（或平面PBC）．
8.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，E、F分别为B1C1、C1D1的中点，则异面直线A1D与EF所成角的大小为 ．
解：连接B1D1、BD、A1B，
易知EF∥B1D1∥BD，∠A1DB即为异面直线A1D与EF所成角或其补角，
易知△A1BD为等边三角形，
故异面直线A1D与EF所成角的大小为，
故答案为：．
9.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA＝CB＝4，AB＝2，E，F分别为AC，CC1的中点，则直线EF与平面AA1B1B所成角的大小为 30° ．
解：连接AC1，则EF∥AC1，
直线EF与平面AA1B1B所成的角，就是直线EF与平面AA1B1B所成的角，AC1与平面AA1B1B所成的角，
作CD⊥A1B1于D，连接AD，因为直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA＝CB＝4，
所以底面是等腰三角形，则C1D⊥平面AA1B1B，
可知∠C1AD就是直线EF与平面AA1B1B所成的角，CA＝CB＝4，AB＝2，CC1＝2，
可得CD＝＝3，AD＝，
所以tan∠C1AD＝＝，
所以∠C1AD＝30°，
故答案为：30°．
10．如图，若PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA＝AB，则二面角P﹣BC﹣A的大小为 45° ．
解：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，
又∵ABCD是正方形，∴BC⊥AB，
又∵AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB，∴∠PBA是二面角P﹣BC﹣A的平面角．
在Rt△PAB中，PA＝AB，∴∠PBA＝45°，∴二面角P﹣BC﹣A的大小为45°，
故答案为：45°．
11．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若长方体的体对角线AC1与过点A的相邻三个面所成的角分别为α，β，γ，则sin2α+sin2β+sin2γ＝ 1 ．
解：连接AB1，AD1，AC，∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1C1⊥面ABB1A1，
∴AC1与面ABB1A1所成的角为∠C1AB1＝α，
∴，
同理AC1与面ADD1A1所成的角为∠C1AD1＝β，
∴，AC1与面ABCD所成的角为∠C1AC＝γ，∴，
∴sin2α+sin2β+sin2γ＝．
故答案为：1．
12．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ADD1A1，ABCD均为矩形，已知AB＝AA1＝2AD＝2，且二面角C﹣AD﹣A1的平面角为60°，连接AC，A1C1，则四边形ACC1A1的面积为 ．
解：因为四边形ADD1A1，ABCD均为矩形，所以BA⊥AD，A1A⊥AD，
又因为二面角C﹣AD﹣A1的平面角为60°，所以∠A1AB＝60°．
又因为AB＝AA1＝2AD＝2，所以＝2×＝2．
因为ABCD为矩形，且AB＝AA1＝2AD＝2，所以cs．
由题意易知，CB⊥面ABB1A1，所以cs，即，解得＝．
故答案为：．
13．如图，已知四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为2的菱形，且，PD＝AD，PD⊥平面ABCD，F，O分别是PA，BD的中点，E是线段PB上的动点，给出下列四个结论：
①AC⊥OE；②FC＝PO；③直线PO与底面ABCD所成角的正弦值为；④△AEC面积的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是 ①③④ ．
解：对①，菱形ABCD中AC⊥BD，由PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD得AC⊥PD，又BD∩PD＝D，BD、PD⊂平面PBD，所以AC⊥平面PBD，
因为OE⊂平面PBD，所以AC⊥OE，①对；
对②，菱形ABCD中，，，，PO⊂平面PBD，所以AC⊥PO，，，，所以，②错；
对③，由线面角定义知，∠POD就是直线PO与底面ABCD所成的角，，③对；
对④，由AC⊥平面PBD得AC⊥OE，，PB⊥OE时OE最小，为，OE最大时与OP重合，故，④对．
故答案为：①③④．
14．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，，Q为PA中点，下列说法中正确的是 ①②③④ ．
①∠PBA+∠PCA+∠BPC＜π；
②记二面角P﹣BC﹣A，Q﹣BC﹣A的平面角分别为θ1，θ2，θ1＜2θ2；
③记△ABC，△QBC，△PBC的面积分别为；
④cs∠PBC＜cs∠PBQ⋅cs∠QBC．
解：对于①：依题意，由最小角定理可得∠PBA＜∠PBC，∠PCA＜PCB，
则∠PBA+∠PCA+∠BPC＜∠PBC+∠PCB+∠BPC＝π，故①正确；
对于②：如图，过A作AM⊥BC于M，
因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
所以PA⊥BC，
又AM∩PA＝A，AM⊂平面APM，PA⊂平面APM，
所以BC⊥平面APM，
又PM⊂平面APM，
所以PM⊥BC，
则θ1＝∠PMA，θ2＝∠QMA，
过M作∠PMA的角平分线交PA于点E，则，
∴点E在点Q的下方，故，即θ1＜2θ2，故②正确；
对于③：如图，，，，
∴，，
而，
所以4MQ2≥MA2+MP2，
所以，故③正确；
对于④：在直角△PBM中，，
在直角△QBM中，，
在△PBQ中，由余弦定理可得，，
∴，
而PB2+BQ2﹣PQ2﹣2BQ2＝PB2﹣PQ2﹣BQ2，
又∠PQB是钝角，
所以cs∠PQB＜0，所以PB2﹣PQ2﹣BQ2＞0，则PB2+BQ2﹣PQ2＞2BQ2，
∴，
∴，
所以cs∠PBC＜cs∠PBQ⋅cs∠QBC．故④正确．
故答案为：①②③④．
15．如图所示，六棱锥P﹣ABCDEF的底面ABCDEF是一个正六边形，P1是这个正六边形的中心．已知PP1⊥平面ABCDEF．
（1）求证：平面PAD⊥平面PCE；
（2）若AB＝4，且PP1＝6．求异面直线PF与BC的夹角的正弦值．
解：（1）证明：根据题意，连接AD、CE，
底面ABCDEF是一个正六边形，P1是这个正六边形的中心，则PP1⊂平面PAD，
PP1⊥平面ABCDEF，则PP1⊥EC，
又由底面ABCDEF是一个正六边形，则AD⊥EC，
则有EC⊥平面PAD，而EC⊂平面PCE，
故平面PAD⊥平面PCE；
（2）根据题意，底面ABCDEF是一个正六边形，则EF∥AB，
则异面直线PF与BC的夹角就是∠PFE，
在正六边形ABCDEF中，AB＝4，则EF＝4，P1F＝AB＝4，
故PF＝PE＝＝2，
故cs∠PFE＝＝＝，则sin∠PFE＝＝，
故异面直线PF与BC的夹角的正弦值为．
16.在斜三棱柱（侧棱不垂直于底面）ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，底面△ABC是边长为2的正三角形，A1A＝A1C，A1A⊥A1C．
（1）求证：A1C1⊥B1C；
（2）求二面角B1﹣A1C﹣C1的正弦值．
（1）证明：取AC中点O，
∵A1A＝A1C，∴A1O⊥AC，
∵底面△ABC是正三角形，∴BO⊥AC，
取A1C1 中点G，连接CG，B1G，
则A1C1⊥CG，A1C1⊥B1G，
又CG∩B1G＝G，∴A1C1⊥平面B1CG，
则A1C1⊥B1C；
（2）解：∵侧面AA1C1C⊥底面ABC，
∴侧面AA1C1C⊥底面A1B1C1，
∵B1G⊥A1C1，且侧面AA1C1C∩底面A1B1C1＝A1C1，
∴B1G⊥平面AA1C1C，过G作GE⊥A1C，垂足为E，连接B1E，
则∠B1EG为二面角B1﹣A1C﹣C1的平面角，
∵AC＝2，A1A＝A1C，A1A⊥A1C，∴，
则A1O＝CG＝1，∴，
，则．
∴sin∠B1EG＝．
17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA＝PB＝AB＝2，平面PAB⊥底面ABCD，N是CD的中点．
（1）若点M为线段PD上一点，且PB∥平面AMN，求的值；
（2）求二面角B﹣PA﹣C的正弦值；
（3）求点N到面PAC的距离．
解：（1）连接BD交AN于点E，连接EM，
由于PB∥平面AMN，PB⊂平面PBD，平面PBD∩平面AMN＝ME，
则PB∥ME，
又△ABE∽△NDE，N是CD的中点，
所以，则；
（2）由于ABCD为正方形，则AB⊥BC，
又平面PAB⊥底面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，BC⊂平面ABCD，
则BC⊥PAB，
作BF⊥PA交PA于点F，连接CF，
则由三垂线定理可知，∠BFC即为二面角B﹣PA﹣C的平面角，
又PA＝PB＝AB＝2，则，，
所以；
（3），
则，
由面面垂直的性质可知，点P到平面ABCD的距离即为正△PAB中AB边长的高，即，
又，设点N到面PAC的距离为h，
则由VN﹣PAC＝VP﹣ACN，可得，
解得，即点N到面PAC的距离为．
18．三棱锥P﹣ABC中，PC、AC、BC两两垂直，BC＝PC＝1，AC＝2，E、F、G分别是AB、AC、AP的中点．
（1）证明：平面GFE∥平面PCB；
（2）求二面角B﹣AP﹣C的正切值；
（3）求直线PF与平面PAB所成角的正弦值．
（1）证明：因为E、F、G分别是AB、AC、AP的中点，
所以EF∥BC，GF∥CP．
因为EF⊂平面PCB，GF⊄平面PCB，
所以EF∥平面PCB，GF∥平面PCB．
又EF∩GF＝F，所以平面GFE∥平面PCB．
（2）解：过点C在平面PAC内作CH⊥PA，垂足为H，连接HB．
因为BC⊥PC，BC⊥AC，且PC∩AC＝C，
所以BC⊥平面PAC，所以HB⊥PA，
所以∠BHC是二面角B﹣AP﹣C的平面角．
因为BC＝PC＝1，AC＝2，E、F、G分别是AB、AC、AP的中点．
所以CH＝，所以tan∠BHC＝，
所以二面角B﹣AP﹣C的正切值是．
（3）解：如图，设PB的中点为K，连接KC，AK，
因为△PCB为等腰直角三角形，所以KC⊥PB，
又AC⊥PC，AC⊥BC，且PC∩BC＝C，
所以AC⊥平面PCB，所以AK⊥PB，
又因为AK∩KC＝K，所以PB⊥平面AKC，
又PB⊂平面PAB，所以平面AKC⊥平面PAB．
在平面AKC内，过点F作FM⊥AK，垂足为M．
因为平面AKC⊥平面PAB，所以FM⊥平面PAB，连接PM，
则∠MPF是直线PF与平面PAB所成的角．
由题意PF＝，FM＝，所以sin∠MPF＝＝．
即直线PF与平面PAB所成的角的正弦值是．
19．如图，在半圆柱W中，AB为上底面直径，DC为下底面直径，AD为母线，AB＝AD＝2，点F在上，点G在上，BF＝DG＝1，P为DC的中点．
（1）求三棱锥A﹣DGP的体积；
（2）求直线AP与直线BF所成角的余弦值；
（3）求二面角A﹣GC﹣D的正切值．
解：（1）由题意知，△DPG为正三角形，DP＝DG＝PG＝1，
所以，
因为AD为圆柱的母线，
所以AD⊥平面DCG，
所以VA﹣DGP＝．
（2）过F点作圆柱的母线FH交于H
因为FH与BC均为圆柱的母线，所以FH∥BC且FH＝BC，
所以四边形BCHF为平行四边形，所以FB∥HC且FB＝HC＝1，所以△PCH为正三角形，
又因为△DPG为正三角形，所以∠HCP＝∠GPD＝60°，CH∥GP，
所以BF∥CH∥GP，所以∠APG为直线AP与BF所成的角，
在△APG中，，
所以由余弦定理知：，
所以直线AP与直线BF所成角的余弦值为．
（3）因为AD⊥平面DCG，CG⊂平面DCG，所以CG⊥AD，
又因为CG⊥DG，AD∩DG＝D，
所以CG⊥平面ADG，
所以CG⊥AG，CG⊥DG，因此∠AGD为二面角A﹣GC﹣D的平面角，
在Rt△ADG中，AD＝2，DG＝1，，
所以二面角A﹣GC﹣D的正切值为2．
20．如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的菱形，，平面BDD1B1⊥平面ABCD，点O1，O分别为B1D1，BD的中点，O1B＝1，∠A1AB，∠O1BO均为锐角．
（1）求证：AC⊥BB1；
（2）若异面直线CD与AA1所成角正弦值为，四棱锥A1﹣ABCD的体积为1，求二面角B﹣AA1﹣C的平面角的余弦值．
解：（1）证明：∵底面ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
又平面BDD1B1⊥平面ABCD，平面BDD1B1∩平面ABCD＝BD，AC⊂平面ABCD，
∴AC⊥平面BDD1B1，
又BB1⊂平面平面BDD1B1，
∴AC⊥BB1；
（2）由（1）知AC⊥面BDD1B1，又AC⊂平面ACC1A1，
∴平面ACC1A1⊥平面BDD1B1，
作BE⊥交线O1O，垂足为E，
∵平面ACC1A1∩平面BDD1B1＝OO1，BE⊂平面BDD1B1，
则BE⊥面ACC1A1，又AA1⊂平面ACC1A1，∴AA1⊥BE，
再作BF⊥AA1，垂足为F，BE⊂面BEF，BF⊂面BEF，BE∩BF＝B，
∴AA1⊥面BEF，又EF⊂面BEF，则EF⊥AA1，
∴∠BFE为二面角B﹣AA1﹣C的平面角，
设点A1到平面ABCD的距离为，
则＝＝1，
解得＝，
∵A1C1∥平面ABCD，∴O1到底面ABCD的距离为，
作O1H⊥OB，∵平面BDD1B1⊥平面ABCD，平面BDD1B1∩平面ABCD＝OB，
O1H⊂平面BDD1B1，∴O1H⊥平面ABCD，∴，
∵∠O1BO为锐角，∴BH＝，∠O1BO＝60°，
∵OB＝O1B＝1，∴△BOO1为等边三角形，∴OO1＝1，∴BE＝，
∵AB∥CD，∴sin∠BAA1＝，BF＝ABsin∠BAA1＝，
∴sin＝，cs，
∴二面角B﹣AA1﹣C的平面角的余弦值为．