浙江省台金七校联盟2025-2026学年高二上学期期中联考数学试题（Word版附解析）

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命题学校：黄岩中学 审题学校：路桥中学
考生须知：
1.本卷共 4 页满分 150 分，考试时间 120 分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一､单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 直线 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题可得直线斜率，即可得倾斜角.
【详解】 ，则直线斜率为 ，
则直线倾斜角 满足 .
故选：B
2. 椭圆 的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据椭圆的定义进行求解即可.
【详解】因为椭圆方程为 ，
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所以 ，所以 .
所以焦点坐标为 .
故选：C
3. 已知空间向量 ， ，若 ，则 （ ）
A. 1 B. C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】由空间向量垂直的坐标表示即可求解.
【详解】因为 ， ，且 ，所以 ，解得 ，
故选：B.
4. 直线 和直线 ，则“ ”是“ ” （ ）
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】由题意先求出 的充要条件，然后根据充分不必要条件的定义判断即可.
【详解】由题设 ，
解得 或 .
故 ， .
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：B.
5. 已知抛物线 上任意一点 ，定点 ，若点 是圆 上的动点，则
的最小值为（ ）
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A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用圆的性质结合抛物线的定义求解即可．
【详解】抛物线焦点 ，准线 ，设点 到准线 的距离为 ，点 到准线 的距离为
．
故选：B
6. 如图，在正方体 中， 是棱 的中点，点 在棱 上，且 ，若
平面 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，求平面 的法向量 ，根据线面平行可得 ，运算求解即可.
或利用线面平行的判定结合条件可得.
【详解】解法一：以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴､ 轴､ 轴，建立如图所示的空间直
角坐标系，设正方体的棱长为 1，
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则 ， ，可得 ，
设 是平面 的法向量，则 ，
令 ，则 ，即 ，
由 ，且 ，可得 ，
又因为 ，则 ，
由 平面 ，可得 ，
解得 .
解法二：如图，取 中点 ，连接 ，易证 ，
所以平面 即 平面 ，
易知当 为 的中点时， ， 平面 ， 平面 ，
从而 平面 ，所以 .
故选：C.
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7. 已知 ，若圆 上存在点 满足 ，则 的取值
范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量数量积的坐标表示求得点 的轨迹方程为圆，再利用两圆相交得到关于 的不等式，解之
即可得解.
【详解】设点 ，则 ， ，
所以 ，则 ，
所以点 的轨迹方程为 ，圆心为 ，半径为 3，
由此可知圆 与 有公共点，
又圆 的圆心为 ，半径为 2，
所以 ，解得 ，即 的取值范围是 ，
故选：A.
8. 已知焦点在 轴上的椭圆 ，点 ，当 时， 上有且仅有一点到点 的距离
最小，则 的离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设椭圆上任意一点 ，可得出 ，可知 在 时取得
最小值，结合二次函数的基本性质可得出 ，可得出 ，再结合 可得出该椭圆离心率的取
值范围.
【详解】设椭圆上任意一点 ，
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则 ，
由对称性可知： 在 时取得最小值，
又因 二次函数 对称轴为 ，
所以 ，即 ，所以 ，又因为 ，所以 .
故选：A.
二､多选题：本题共 3 小题，共 18 分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对得
6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知双曲线 C： ，下列对双曲线 C 判断正确的是（ ）
A. 实轴长是虚轴长的 2 倍 B. 焦距为 4
C. 离心率 D. 渐近线方程为
【答案】BD
【解析】
【分析】根据双曲线的标准方程求出 a、b、c，可以求出实轴长、虚轴长、焦距、离心率、渐近线方程，对
四个选项一一验证即可.
【详解】∵双曲线 C： ∴ . .∴ ∴ .∴双曲线的实轴长是
，虚轴长是 ，A 错误；焦距为 .B 正确；离心率为 ，C 错误：渐近线方程
为 ，D 正确.
故选：BD
10. 已知： ，直线 相交于 ，直线 的斜率分别为 ，则（ ）
A. 当 时， 点的轨迹为除去 两点的椭圆
B. 当 时， 点的轨迹为除去 两点的双曲线
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C. 当 时， 点的轨迹为一条直线
D. 当 时， 的轨迹为除去 两点的抛物线
【答案】ABD
【解析】
【分析】设点 ， ， .
逐个代入选项化简 与 的关系式，来验证选项即可得到答案.
【详解】设点 ， ， .
当 时， ，
.
故 点的轨迹为除去 两点的椭圆，A 正确
；当 时， ，
故 点的轨迹为除去 两点的双曲线，B 正确；
当 时， .
，即不含点 ，
轨迹是一条直线不含 ，C 错误；
当 时，则 .
故 的轨迹为除去 两点的抛物线，D 正确.
故选：ABD.
11. 如图，底面半径为 的圆柱体量杯倾斜固定在桌面上，加入一定量的水使得上表面的形状是椭圆.再
加入体积为 的水，使得水面高度增加 ，沿杯壁高度增加 ，下列四个结论中，正确的是（ ）
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A. 椭圆的离心率为
B.
C. 水平面与圆柱底面所成的角为
D. 水面面积为 cm2
【答案】BCD
【解析】
【分析】由水面增加高度与杯壁增加高度得出水平面与圆柱底面所成的角，进而计算得椭圆长轴长，结合
短轴长为底面直径，即可求出离心率，由割补法求出增加水的体积，再由柱体体积公式求出水面面积即可.
【详解】如图， 为初始水面椭圆长轴， 为上升后的水面椭圆长轴， 为 之间的垂线段，
为平行于圆柱底面的圆的直径，
因为 ，则 ，则 ，
则 ，即水平面与圆柱底面所成的角为 ，
则 ，
则 ， ，
将增加的部分沿着 切开，再将含 与 的两部分拼凑，可得 ，
则 ， ，
由以上可得 A 错误，BCD 正确，
故选：BCD.
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非选择题部分
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 过点 且与直线 平行的直线记为 ，则两平行线 ， 之间的距离为_________．
【答案】 ##2.4
【解析】
【分析】利用两直线的平行关系先求 ，再由平行线的距离公式计算即可.
【详解】由题意不妨设 ，则 ，
所以两平行线 ， 之间的距离 .
故答案为：
13. 把正方形 沿对角线 翻折，使得二面角 的大小为 ，则直线 与平面 所
成角的正弦值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由二面角的定义找出其平面角，由线面角的定义作辅助线，由几何法求解即可.
【详解】设正方形 边长为 1，取线段 的中点 ，连接 ，则有 ，
又 平面 ，所以 平面 ，
则 为二面角 的平面角，即 ，
则 ，
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取 的中点 ，连接 ， ，
则 ， ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 ，又 平面 ，
所以 平面 ，
则 为直线 与平面 所成角，
，
故答案为： .
14. 若对圆 上任意一点 ， 的取值与 无关，则
实数 的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】通过换元法对条件表达式进行变形，得出其几何意义，再利用表达式与 无关的条件得出解集
的包含关系，进而得出实数 的取值范围．
【详解】
令 ，表达式化为 ，表示数轴上点 到点 和点 的距离之和，
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当 位于 和 之间，即 或 时，该距离之和为常数 ，否则会随着 变化，
圆 的圆心为 ，半径为 1，
对于直线 ，圆心到直线的距离需满足 ，即 ，解得
，
当 ，即 时，要使 完全包含于 ，需满足 ，即 ；
当 ，即 时， 与 无包含关系，不合题意，舍去；
综上，实数 的取值范围为 ．
故答案为： ．
四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知圆
（1）求过点 且与圆 相切的直线方程；
（2）已知直线 被圆 截得的弦长为 ，求实数 的值.
【答案】（1） 或
（2）
【解析】
【分析】（1）分直线斜率存在和不存在，利用点到直线的距离公式可得答案；
（2）圆心到直线的距离、弦长的一半、圆的半径利用勾股定理可得答案..
【小问 1 详解】
当直线斜率存在时，设直线 ，
即 ，
圆心 到直线的距离为 ，
解得 ，
此时直线方程为 ，
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当直线斜率不存在时，直线方程为 ，此时直线与圆相切，
综上，所求直线方程为 或 .
【小问 2 详解】
记圆心 到直线 的距离为 ，则 ，
又弦长为 ，圆的半径为 2，则 ，
解得 ，所以 .
16. 如图， 分别是三棱锥 的棱 、 的中点， 是线段 上一点且 ，
记 ， ， ．
（1）用 ， ， 表示 ， ， ；
（2）若 ， ， ， ，求异面直线 与 所成角的余弦
值．
【答案】（1） ， ， ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）利用向量的线性运算及向量基本定理，将 ， ， 用 ， ， 表示出来即可；
（2）由（1）得 ， ，可求得 ， 以及 ，再结合空间夹角公式，代入求值即可.
【小问 1 详解】
如图，连接 ，结合向量线性运算及向量基本定理，可得
，
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，
．
【小问 2 详解】
由题意，得 ， ， ，
又由（1）得， ， ，
所以 ，
，
所以 ，
设异面直线 与 所成角为 ，则 ，
即异面直线 与 所成角的余弦值为 ．
17. 已知抛物线 的焦点 到其准线的距离为 .
（1）求抛物线的准线方程；
（2）设过焦点 的直线 与抛物线 交于 两点， 为坐标原点，记 的面积为 ，当
时，求直线 的方程.
【答案】（1）
（2） 或 .
【解析】
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【分析】（1）根据已知条件求出 ，进而求出准线方程；
（2）联立直线与抛物线方程，结合韦达定理将 的表达式求出来，进而可求得直线方程.
【小问 1 详解】
抛物线 焦点为 ，准线为 ，
由题意得 ，故准线方程为 .
【小问 2 详解】
由（1）可得抛物线的方程为 ，焦点 ，
显然直线 的斜率不可能为零，故可设直线 的方程为 ，
代入抛物线方程整理得 ， ，
设 ，则 ，
，
，
由 ，得 ，解得 ，
∴直线 的方程为 或 .
18. 如图，在三棱柱 中，底面是边长为 2 的等边三角形， ，D，E 分别是线段 ，
的中点， 在平面 ABC 内的射影为 .
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（1）求证： 平面 BDE；
（2）若点 F 为棱 的中点，求点 到平面 BDE 的距离；
（3）若点 F 为线段 上的动点（不包括端点），求平面 FBD 与平面 BDE 夹角的余弦值的取值范围.
【答案】（1）证明过程见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）作出辅助线，得到 ⊥平面 ， ⊥ ，又平行四边形 为菱形，故
⊥ ，又 ，从而得到线面垂直，
（2）建立空间直角坐标系，由（1）知， ⊥平面 ；故平面 的一个法向量为
，利用点到平面的距离向量公式求出答案；
（3）设 ，求出 ，求出平面 的法向量，结合平面 的一个
法向量为 ，从而得到 ，换元后，得到
.
【小问 1 详解】
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连接 ，因为 在平面 ABC 内的射影为 ，
所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ， ⊥ ，
因为 为边长为 2 的等边三角形，D 是线段 的中点，
所以 ⊥ ，
因为 ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ，
因为 ，四边形 为平行四边形，
所以平行四边形 为菱形，故 ⊥ ，
因为 D，E 分别是线段 ， 的中点，所以 ，
故 ⊥ ，
因为 ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ；
【小问 2 详解】
由（1）知， 两两垂直，
以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，
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因为 ⊥ ，D 是线段 的中点，
所以由三线合一可得 ，
又 ，故 为等边三角形，
，
由（1）知， ⊥平面 ；故平面 的一个法向量为 ，
点 到平面 BDE 的距离 ；
【小问 3 详解】
点 F 为线段 上的动点（不包括端点），设 ，
，则 ，故 ，故 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，
解得 ，令 ，则 ，故 ，
又平面 的一个法向量为 ，
故 ，
令 ，
则 ，
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因为 ，故 ，
，
平面 FBD 与平面 BDE 夹角的余弦值取值范围是 .
【点睛】立体几何二面角求解方法：
（1）作出辅助线，找到二面角的平面角，并结合余弦定理或勾股定理进行求解；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量相关公式求解.
19. 已知椭圆 的离心率为 ，左焦点为 ，左､右顶点分别为 ，上顶点为
，且 的外接圆半径为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设斜率存在的直线 交椭圆 于 两点（ 位于 轴的两侧），记直线 的斜率分别为
，若 .
（i）试判断直线 是否过定点，若是，求出此定点坐标；若不是，请说明理由；
（ii）设直线 与 轴的交点为 ，记 与 的面积分别为 ，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）（i）直线 恒过定点 ；（ii） .
【解析】
【分析】（1）由离心率推出 的关系式，再由题设求得 和 ，借助于正弦定理求出 ，
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即得椭圆方程；
（2）（i）设直线 ，将其与椭圆方程联立，写出韦达定理，设直线 的斜率为 ，计
算得 ，再由 可得 ，利用斜率公式，结合韦达定理，化简计算求得 或
，验证取舍后即得直线 的方程，即可证得结论；（ii）根据（i）的结论可推得 ，令
，结合韦达定理推得 ，由 可得 ，
进而求出 ，即可求得 的取值范围.
【小问 1 详解】
如图，连接 ，因椭圆 的离心率为 ，则 ，即 ，
在 中， ，则 ，
在 中， ，由正弦定理得 ，
解得 故 ，则椭圆 的标准方程为 .
【小问 2 详解】
（i）由题知直线 的斜率存在，且不为 0，设直线 ，
联立 ，消去 ，可得 ，
依题意， ，即 ，
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设 ，则 ，
设直线 的斜率为 ，因为 ，且 ，
则 ，即 ，
又因为 ，故 ，
即有 ，即 （*），
又 ，所以 ，
代入（*），可得 ，
化简得 ，解得 或 ，
又 位于 轴的两侧，所以 ，解得 ，
所以 ，故直线 的方程 ，故必过定点 .
（ii）由（i）已得直线 过定点 ，
则 ， ，
于是 ，令 ，则 ，由（i）可得 ，
由 ，解得 ，
再代入 ，可得 ，
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化简得 ，
因为 ，所以 ，即： ，
解得 ，即 ，
则 ，故 .
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