浙江省宁波市2025-2026学年高二上学期九校联考数学试题（原卷+解析）

这是一份浙江省宁波市2025-2026学年高二上学期九校联考数学试题（原卷+解析），共26页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知函数满足，则（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 4
2. 已知双曲线方程为，则该双曲线的渐近线方程是（ ）
A. B. C. D.
3. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 直线与圆的位置关系是（ ）
A. 相离B. 相交C. 相切D. 无法确定
5. 已知数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，已知二面角的棱上有两点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，则平面与平面的夹角为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知椭圆左、右焦点为，点在上且位于第一象限，且，延长交轴于点，记的内切圆为，的内切圆为．若圆与外切，求椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知数列、、的通项公式为．若对任意的；、、的值均能构成三角形，则满足条件的正整数的个数是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知直线，直线，则（ ）
A. 直线过定点
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则直线与坐标轴围成的三角形面积的最小值为
10. 设曲线，则（ ）
A. 曲线关于轴对称
B. 曲线上的点到坐标原点的距离的最大值为2
C. 曲线上点的纵坐标的取值范围是
D. 曲线的内部有9个整点（横纵坐标均为整数）
11. 在直三棱柱中，，是底边上一点，且，则（ ）
A. 直三棱柱外接球的表面积为
B. 当时，平面平面
C. 直线与所成角的余弦的最大值为
D. 点是的中点，点是线段上的一个动点，则的最小值为
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 记为等比数列的前项和，若，则公比___________．
13. 已知抛物线，直线过点，且与交于两点，其中点在第一象限，若，则直线的斜率为___________．
14. 已知函数在上既有最大值，又有最小值，则实数取值范围为___________．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数．
（1）若，求函数在点处的切线方程；
（2）讨论函数的极值．
16. 已知数列前项和为，若数列满足，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
17. 如图，在三棱台中，平面平面，为的中点，．

（1）证明：；
（2）当三棱台的体积为时，求直线与平面所成角的正弦值．
18. 已知椭圆过点，且离心率为.
（1）求椭圆标准方程；
（2）为椭圆上顶点，过点作直线交椭圆于两点，在第一象限，直线的斜率为，直线的斜率为.
（i）证明为定值；
（ii）过作垂直于轴的直线与交于点，为的中点，延长交直线于点，求的取值范围.
19. 已知函数．
（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）当时，有两个不同的零点和一个极值点．记．
（i）证明：；
（ii）判断是否可能为等腰三角形，并说明理由．
宁波市2025学年第一学期期末九校联考
高二数学试题
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知函数满足，则（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据导数的定义及极限的运算性质计算可得.
【详解】已知满足，
则，即.
故选：B
2. 已知双曲线的方程为，则该双曲线的渐近线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先化方程为标准方程，利用渐近线求法直接计算即可.
【详解】由得，所以，所以；
所以该双曲线的渐近线方程为；
故选：A
3. 若构成空间一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间向量共面的定义逐项判断即可求解.
【详解】对于A选项，有，所以共面；
对于B选项，有，所以共面；
对于C选项，，所以共面.
对于D选项，假设共面，则有，
即，由此有共面，与已知条件矛盾，
所以不共面；
故选：D
4. 直线与圆的位置关系是（ ）
A. 相离B. 相交C. 相切D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】计算圆心到直线的距离并与半径比较.
【详解】圆，则圆心，半径，
则圆心到直线的距离为，
故直线与圆的位置关系是相交.
故选：B
5. 已知数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据递增数列的定义建立不等式组，解之可得选项.
详解】已知，
时，，是斜率为的一次函数，单调递增，
，函数为开口向下的二次函数，
对正整数，递增，即相邻的项满足：，
代入得：，解得：，
故要使时数列递增，需，
同时分段点处需满足，
即，
综上取值范围是.
故选：C
6. 如图，已知二面角的棱上有两点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，则平面与平面的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可知，结合数量积运算可得，即可得面面夹角.
【详解】由题意可知：，，
因为，
则，
即，解得，
且，则，
所以平面与平面的夹角为.
故选：C.
7. 已知椭圆的左、右焦点为，点在上且位于第一象限，且，延长交轴于点，记的内切圆为，的内切圆为．若圆与外切，求椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用直角三角形的内切圆的几何性质，可得到两内切圆全等，从而可得为的中点，即可得的坐标，再通过斜率乘积为，可得到齐次方程来求离心率.
【详解】
由于圆与外切，且都与相切，所以切点在两圆连心线上，
设两圆,与分别相切于点，因为，
所以可得四边形与四边形都是正方形，且它们的边长相等，
即四边形与四边形是全等四边形，
则两内切圆,的半径相等，从而可得到，
所以为的中点，即的横坐标为，
设的纵坐标为，则有，
由于，可得，
即，
化简得：，解得或（舍去），
因为，所以可解得，
故选：A
8. 已知数列、、的通项公式为．若对任意的；、、的值均能构成三角形，则满足条件的正整数的个数是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形三边关系列出不等式，结合数列的单调性求解不等式，确定满足条件的正整数的个数.
【详解】因，，则介于和之间，
即，
因为、、的值均能构成三角形，所以需满足，
即，
当时，，所以，不满足；
当时，，所以，不满足；
当时，，所以，不满足；
当时，，所以，不满足；
当时，，所以，满足；
当时，，所以，满足；
当时，，所以，满足；
当时，，所以，不满足；
当时，增长速度比快，所以不满足，
综上，满足条件的正整数为，共个，
故选：B
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知直线，直线，则（ ）
A. 直线过定点
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则直线与坐标轴围成的三角形面积的最小值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据直线过定点、两条直线平行与垂直以及三角形面积公式逐一分析即可.
【详解】可将直线化为，令，解得，故直线过定点，故A正确.
若，则，解得，当时，直线，直线，符合题意；
当时，直线，直线，符合题意；故B正确，
若，则，解得，当时，直线，直线，符合题意；故C正确,
令直线中，则，令，
坐标轴围成的三角形面积为，
，，，当且仅当，即时等号成立，
此时，故D错误.
故选：ABC.
10. 设曲线，则（ ）
A. 曲线关于轴对称
B. 曲线上的点到坐标原点的距离的最大值为2
C. 曲线上点的纵坐标的取值范围是
D. 曲线的内部有9个整点（横纵坐标均为整数）
【答案】ACD
【解析】
【分析】讨论与的大小关系，化简即可得到曲线关于轴对称，曲线上点的纵坐标的取值范围，由纵坐标的取值范围得到曲线上的点到坐标原点的距离最大值，列举可得曲线的内部的整点.
【详解】，
当时，，平方整理得，，
当时，，平方整理得，，
曲线关于轴对称，A正确；
则曲线上点的纵坐标的取值范围是，C正确，
，当时取等号，则曲线上的点到坐标原点的距离的最大值为3，B错误；
由C知，曲线的内部的整点纵坐标可能为，
当时，令，得，
当时，令得，
当时，令得，
结合图像可得曲线内部的整点为：共9个，D正确；
故选：ACD.
11. 在直三棱柱中，，是底边上一点，且，则（ ）
A. 直三棱柱外接球的表面积为
B. 当时，平面平面
C. 直线与所成角的余弦的最大值为
D. 点是的中点，点是线段上的一个动点，则的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】把直三棱柱补形为长方体，利用长方体的体对角线即外接球的直径，后计算外接球的表面积判断A选项；以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，通过判断法向量是否垂直判断B选项；构建关于的函数，分析其最大值判断C选项；取的中点，记为，取的中点，记为，因为点是的中点，所以点的轨迹是线段.因为点是线段上的一个动点，所以的最小值，即为线段上的点到线段的距离的最小值，结合长方体的性质可求得此距离，判断D.
【详解】直三棱柱的底面中，，所以可将直三棱柱补为如图所示长方体，则其外接球直径为长方体体对角线.
因为，所以.
因为所以，所以.
所以直三棱柱外接球直径，
半径，表面积：，A选项正确；
以为原点，方向为轴建立空间坐标系，
，，，，，
则，，.
当时，.
，，.
设平面的一个法向量，则，
令则,,即，
设平面的一个法向量，由，
令，则1，，即
因为，
故平面平面，B选项正确.
设,
设直线与所成的角为，则,
设，，
因为，所以，所以，所以，
所以，
当时，，
即在，取得最大值，最大值为，所以C选项错误；
对于选项D，如图所示，取的中点，记为，取的中点，记为，
因为点是的中点，所以点的轨迹是线段.
因为点是线段上的一个动点，所以的最小值，即为线段上的点到线段的距离的最小值.
过作的平行线，交长方体的棱于点，由长方体的性质知，分别为所在棱的中点.
因为平面，所以，
所以与间的距离为.
因为均在平面的同侧，
所以点到的距离（即与间的距离）即为所求最小值.
所以的最小值为.所以D正确.
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 记为等比数列的前项和，若，则公比___________．
【答案】2
【解析】
【分析】直接根据等比数列前n项和的性质,即前n项和的片段和性质可得.
【详解】因为数列为等比数列，且，
所以
，即，解得.
故答案为：2
13. 已知抛物线，直线过点，且与交于两点，其中点在第一象限，若，则直线的斜率为___________．
【答案】
【解析】
【分析】设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由向量关系可得出，代入韦达定理求出的值，即可得出直线的斜率.
【详解】由于过点的直线与抛物线相交于、两点，故直线斜率不为，
设直线的方程为，设点、，
联立，可得，，
由韦达定理可得，，
因为，所以，可得，
则，解得，，
解得，所以直线的方程为，即，
所以直线的斜率为.
故答案为：.
14. 已知函数在上既有最大值，又有最小值，则实数的取值范围为___________．
【答案】
【解析】
【分析】先对函数求导，根据导数判断函数的单调性，再结合函数在给定区间既有最大值又有最小值，建立不等式，求解.
【详解】，令，即，
解得或，
要使函数在上既有最大值，又有最小值，
则必须满足两个极值点都在内，且极值点处的函数值必须为区间内的最大值和最小值；
若，此时，则需要，解得；
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
所以，，，，
则需满足，即，
解得，
所以；
若，此时，则需要，解得；
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
所以，，，，
则需满足，即，无解；
若，则恒成立，所以函数在上单调递增，
无最大值和最小值，
综上所述：的取值范围为.
故答案为：
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数．
（1）若，求函数在点处的切线方程；
（2）讨论函数的极值．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，然后利用点斜式直线方程求解即可；
（2）按照，，分类讨论研究函数的单调性，进而求出极值.
【小问1详解】
当时，，因为，所以切点为，
又，所以切线斜率，
故切线方程为，即；
【小问2详解】
函数的定义域为，且，
当时，恒成立，所以在上单调递减，无极值．
当时，令，解得；令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，，
所以的极小值为，无极大值．
16. 已知数列的前项和为，若数列满足，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据的关系得到数列的递推关系，再根据求出的通项公式；
（2）利用裂项相消法求和.
【小问1详解】
当时，，
整理得，即，
又，所以，
所以，从而．（累乘法也可）
【小问2详解】
因为，
所以
．
17. 如图，在三棱台中，平面平面，为的中点，．

（1）证明：；
（2）当三棱台的体积为时，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，进而得，进而根据菱形的性质可得，即可根据线面垂直的判定求解，
（2）根据体积公式可求解长度，进而建立空间直角坐标系，求解平面法向量，利用向量的夹角即可得解.
【小问1详解】
证明：取中点，连接．
由得，．
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
又因为平面，所以．
又，所以四边形是菱形，从而．
又，所以平面．
又平面，所以．
【小问2详解】
取的中点，连接，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
所以三棱台的高．
设，则，，
从而，解得．
以为原点，直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图，
则 ，
设平面的法向量，
则即令，则，
设直线与平面所成角为，
则．
故直线与平面所成角的正弦值为．

18. 已知椭圆过点，且离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）为椭圆上顶点，过点作直线交椭圆于两点，在第一象限，直线的斜率为，直线的斜率为.
（i）证明为定值；
（ii）过作垂直于轴的直线与交于点，为的中点，延长交直线于点，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析，（ii）
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的离心率公式和椭圆中的关系列出方程即可求解；
（2）（i）联立直线方程与椭圆的方程，根据根与系数的关系和斜率公式即可求解；
（ii）利用直线与的方程求出直线的方程，然后与直线的方程联立，可求得点的坐标，最后将转化为，结合的范围即可求解.
【小问1详解】
因为椭圆过点，且离心率为；
所以，，即；
解得，
所以椭圆的方程为；
【小问2详解】
（i）依题意，直线的斜率存在，设，，
由，得，
所以，所以，即，
，
，解得，
又在第一象限，所以；
由（1）知，，所以，
所以；
（ii）
因为直线的方程为，令，则；
又为的中点，所以，所以；
所以直线的斜率；
又，所以，所以直线的方程为；
由，得；
又，所以，
当时，，此时，所以，
所以，，所以，即，
即的取值范围.
19. 已知函数．
（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）当时，有两个不同的零点和一个极值点．记．
（i）证明：；
（ii）判断是否可能为等腰三角形，并说明理由．
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析（ii）不能，理由见解析
【解析】
【分析】（1）先对函数求导，根据函数在上单调递增，得到恒成立，进而求出的取值范围；
（2）（i）先求出函数极值点，再根据函数有两个不同零点得到相关等式，通过构造函数并分析其单调性来证明不等式；
（ii）假设为等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到等式，通过分析等式是否成立来判断是否可能为等腰三角形.
【小问1详解】
依题意可得对恒成立，
所以对恒成立，
而，所以，
所以．
【小问2详解】
（i）当时，可知在上单调递减，
设，则在上单调递增，在上单调递减，
又，所以不妨设，则，
要证明，只需证明，即．
因为在上单调递减，所以只需证，
而，
令，则，
所以在单调递增，成立，
所以成立，
证毕！
（ii）由（i）可得，，
①先证明：，即证，
由可得，因此，
所以，
其中，
所以．所以．
因此，若构成等腰三角形，只可能为．
②下面证明．假设，
，
若，则，即．
而，所以，矛盾！
综上所述，不能构成等腰三角形．