浙江省宁波九校2025-2026学年高二上学期期末联考数学试卷含答案（word版）

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二、选择题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错的得 0 分.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 2
13. -1
14. 65≤a0 ,解得 x>ln2a ; 令 f′x0 过点 1,32 ，且离心率为 32 .
所以 1a2+34b2=1 ,且 e=ca=1−b2a2=32 , (2 分)
解得 a2=4,b2=1 ,
所以椭圆 C 的方程为 x24+y2=1 . (4 分)
(2)(i)设 l:y=kx+2 ，联立椭圆方程得: 4k2+1x2+16kx+12=0 ，
由 Δ>0 得, k∈−∞,−32∪32,+∞ .
设 Mx1,y1,Nx2,y2 ,则 x1+x2=−16k4k2+1,x1x2=124k2+1 . (6 分)
因为 kAM=y1−1x1,kAN=y2−1x2
所以 kAM⋅kAN=y1−1y2−1x1x2=kx1+1kx2+1x1x2=k2x1x2+kx1+x2+1x1x2
=12k2−16k2+4k2+112=112 . (9 分)
(ii) 因为直线 AN 的方程为 y=y2−1x2x+1 ,
所以 yp=y2−1x1+x2x2 .
所以 Qx1,12⋅y2x1−x1+x2+y1x2x2 ,即 x1,2kx1x2+x1+3x22x2 . (11 分)
所以直线 AQ 的斜率 kAQ=2kx1x2+x1+x22x1x2 .
因为 kx1x2=−34x1+x2 ,所以 kAQ=23kx2x22x1x2=13k . (13 分)
所以直线 AQ 的方程为 y=13kx+1 ,
联立 y=13kx+1y=kx+2 ,得 xG=−32k,yG=12 .
所以TMGM=yT−yMyM−yG=2−yMyM−12=−yM−12+32yM−12=−1+32⋅1yM−12,
因为 yM∈12,1 ,所以 TMGM∈2,+∞ . (17 分)
19. (本小题 17 分)
解析:
(1) f′x=1x+1−2ax≥0 对 ∀x∈0,+∞ 恒成立, (2 分)
所以 2a≤1xx+1 对 ∀x∈0,+∞ 恒成立,
而 1xx+1∈0,+∞ ,所以 2a≤0 .
所以 a≤0 . (4 分)
(2)(i) f′x=11+x−2ax 在 −1,+∞ 上单调递减，
设 f′x0=0,x0=14+12a−12>0 ,则 fx 在 −1,x0 递增,在 x0,+∞ 递减,
又 f0=0 ,所以不妨设 x1=0 ,则 x2>0 ,
要证明 f′x1+x22x0 ,即 x2>2x0 .
因为 fx 在 x0,+∞ 递减,所以只需证 f2x0>fx2=0 , (7 分)
而 f2x0=ln1+2x0−a⋅4x02=ln1+2x0−2x01+x0 ,
令 φx=ln1+2x−2x1+x,x>0 ,
则 φ′x=21+2x−21+x2=2x21+2x1+x2>0 ,
所以 φx 在 0,+∞ 单调递增, φx>φ0 成立, (10 分)
所以 f2x0=ln1+2x0−2x01+x0>0 成立,证毕!
(ii) 由 (i) 可得, AB=x2>2x0,AC