山东省聊城市2026届高三上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份山东省聊城市2026届高三上学期期中考试数学试卷（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题
一、单选题
1．已知集合，若，则的值可以是（ ）
A．B．C．2D．3
2．已知命题，，则是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．设等比数列前项和为，若，，则（ ）
A．16B．31C．32D．63
5．已知函数在点处的切线方程为，则（ ）
A．B．C．1D．2
6．记内角、、的对边分别为，，，若，，则（ ）
A．B．C．D．或
7．若，，满足，且，则有序实数组可能是（ ）
A．B．C．D．
8．定义在上的奇函数满足，若为偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知向量，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．向量与的夹角为
C．若，则D．
10．已知函数是奇函数，若，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．在区间上单调递增D．是函数的一个极值点
11．若质点在以坐标原点为圆心，1为半径的圆上逆时针做匀速圆周运动，的角速度大小为2rad/s，起点为圆与轴非负半轴的交点，经过秒后到达点，设关于，的表达式分别为，，则下列说法正确的是（ ）
A．函数最小正周期为
B．是函数的一个极值点
C．函数的最大值为
D．若函数在只有一个零点，则
三、填空题
12．已知函数若，则 .
13．已知，，则 .
14．已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围 .
四、解答题
15．已知复数，.
(1)若，求；
(2)若，，复数在复平面内对应点位于实轴上，求的最小值.
16．如图，在斜坐标系中，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，且，的夹角为，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记作.在斜坐标系中，完成下列问题：
(1)若，求；
(2)已知，，设，将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若是函数的一个对称中心，求函数的单调递增区间.
17．某市有一座重兴塔，它从北宋走来，历经宋、元、明、清，依旧屹立不倒.如今，它是全国重点文物保护单位，也是研究北方古建筑与佛教遗迹的实物标本，如图1，测量重兴塔高度时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点，，且在，两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°.在水平面上测得，，两地相距36米.
(1)求重兴塔高；
(2)如图2，塔顶为点，距离塔顶点竖直向下5米处有点，若在离地面竖直高度为2米的点处用测角仪器测得，求的最大值.
18．已知数列的前项和为，且.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)定义集合，记的元素个数为.
（ⅰ）求；
（ⅱ）设，求数列的前项和.
19．已知函数的最小值为0.
(1)求实数的值；
(2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围；
(3)设，，证明：.
参考答案
1．B
【详解】，
，则，则的值可以是.
故选：B
2．D
【详解】命题，，则是“，”，
故选：D
3．A
【详解】由可得，故充分性满足；
由不一定得到，比如，故必要性不满足，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选:A
4．B
【详解】设的公比为，则，可得，
所以，则.
故选：B
5．A
【详解】对函数求导得，
因为函数在点处的切线方程为，
所以有，解得.
所以.
故选：A.
6．B
【详解】因为，由正弦定理可得：，因为，
所以，则,
因为，当且仅当时取等号，
所以，则.
故选：B
7．C
【详解】令且，则，
所以，则，
结合各选项知、、不符合，符合.
故选：C
8．D
【详解】为偶函数，故，故，
为奇函数，故，所以，
故，故的一个周期为4，
其中，，故，即，
又，同理，
当为奇数时，，当为偶数时，，
当时，，
所以.
故选：D
9．BC
【详解】对于A，因为，则，故A不正确；
对于B，由题可得：，因为向量夹角范围为，
所以向量与的夹角为，故B正确；
对于C，由于，，则，解得：；
故C正确；
对于D，由于，所以，故D错误；
故选：BC
10．ABD
【详解】A选项，是奇函数，故，
即，即，故，
解得，A正确；
B选项，，，定义域为，
当时，，，故，
当时，，
当时，，，故，
综上，，B正确；
CD选项，，显然，
当时，，
当时，，则，
故在上单调递减，在上单调递增，
故是函数的一个极小值点，C错误，D正确.
故选：ABD
11．ACD
【详解】A选项，由题意得，，
，故最小正周期为，A正确；
B选项，，则，
不是函数的一个极值点，B错误；
C选项，，不妨设，即，
，
由于恒成立，令得，，
令得，，
故在上单调递增，在上单调递减，
极大值，又，
所以的最大值为，C正确；
D选项，，
令得，
其中，则，
同一坐标系内画出，及的图象，如下：
要想函数在只有一个零点，
即，与只有1个交点，
则，D正确.
故选：ACD
12．1
【详解】由题意得，
所以，
故答案为：1
13．
【详解】因为，且，
所以，
所以，
所以
.
故答案为：
14．
【详解】由题意，
当且仅当，即时取等号，
所以在R上单调递增，
因为有两个零点，
所以有两个根，
所以有两个根，
令，
则上式可化为，
因为，
所以在R上为奇函数，
所以，
因为在R上单调递增，所以在R上也单调递增，
所以，即，
设，则，
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
所以，
当时，，
当时，，
所以，
因为有两个零点，即方程有两个根，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
15．(1)；
(2).
【详解】（1）由题意得，，
所以，则；
（2）设复数，
因为复数在复平面内对应点位于实轴上，
所以，即，则
所以，
当且仅当，即时，等号成立
所以的最小值是.
16．(1)
(2)()
【详解】（1）由已知得，
所以，
故.
（2），
由的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则，
因为是的一个对称中心，
所以()，所以()，
因为，所以，所以，
由()，解得()，
所以的单调增区间为().
17．(1)米
(2)
【详解】（1）由题意得，设米，
在中，，则；
在中，，则.
在中，由余弦定理得，，
整理得，解得或（舍）
所以重兴塔高米
（2）过点作交于，设，
则在中，，
在中，，
.
当且仅当，即等号成立
所以的最大值为
18．(1)证明见解析
(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【详解】（1）由题意得，当，，解得，
因为①，所以②
由①-②得，，
整理得，所以，
因为，
所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列.
（2）（ⅰ）由（1）知，，
所以，
因为且，所以，
所以.
（ⅱ）由题意得
①
两边同时乘以3
②
①-②得
解得，
故数列的前项和.
19．(1)；
(2)；
(3)证明见解析.
【详解】（1）由题意知：，
①当时，与的最小值为0矛盾，不合题意，
②当时，由得，由得，
所以在单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，解得；
（2）设，易知
，
①当时，在恒成立，所以在单调递增，
所以，满足题意.
②当时，设函数，则，
由得，由得，
所以在单调递减，在单调递增，且，
（ⅰ）当时，即时，在单调递增，，
所以在恒成立，所以在单调递增，
所以，满足题意.
（ⅱ）当时，即时，在单调递减，在单调递增，且，
所以在恒成立，即在恒成立，
所以在单调递减，且，
所以存在，使得成立，与已知矛盾，不合题意.
综上实数的取值范围是；
（3）由（2）知，当时，，
所以，
即，
两边取对数得，，
令得，，
，
左边
，