人教版（2024）七年级上册（2024）第六章 几何图形初步阅读与思考角的度量练习题

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题型一、旋转中求的角定值问题
1．已知：如图，直线和相交于点O（为锐角），点M在直线上方，，平分．
(1)若，求的度数；
(2)试说明：的度数是一个定值，并求出这个定值的度数；
(3)若，试求的度数．
2．如图1，先画出直线，然后将一副三角板拼接在一起，其中角（）的顶点与角（）的顶点重合，且边，都在直线上．
(1) 度；
(2)如图2，固定三角板不动，将三角板绕点按顺时针方向旋转一个角度，当边第一次落在射线上时停止．
①当平分时，求旋转角α的度数；
②如图3，当运动到内部时，是定值，求这个定值；
③当时， 直接写出旋转角α的度数为 ．
3．已知．
(1)如图1，若射线，分别为，的角平分线，则 ．
(2)如图2，射线从出发绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，射线从出发绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，设运动时间为，且平分．
①当时，若分为两个部分，求满足时，的值．
②如图3，若平分，当且时，试判断是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
4．【问题初探】
（1）数学活动课上，李老师让同学们准备一副三角尺，并利用它们作出一些角，例如．
①小明利用三角尺作出了一个的角；
②小乐利用三角尺作出了一个的角；
除上述提到的这些度数之外，你还能用三角尺作出 度的角（写出一种即可）．
【提出问题】
（2）如图1所示，李老师将两个三角尺放置在一起，于是产生了新的数学问题，，，，在，（，）内作射线，，且，，则 度；
【学以致用】
（3）如图2，小亮忘记了带三角尺，用纸片制作了任意两个三角形，其中，，他把这两个三角形的顶点及边，重合在一起，三角形固定，将三角形绕点顺时针旋转，当边与重合时，停止运动．在此过程中，在，内作射线，，使，．这时，小明说“的度数是一个定值，并且可以用，表示出来”；小乐说“的度数是一个随机值，无法用，表示出来”，请你帮小亮判定一下谁的说法正确，并说明理由．

题型二、旋转中探究角的数量关系问题
5．如图，点在直线上，，．
(1)若，求的度数；
(2)试猜想和的数量关系，并说明理由．
6．【问题发现】
如图①，将一副三角尺的直角顶点重合在点O处；
（1）①与的数量关系是____________．
②与的数量关系是____________．
【问题探究】
（2）若将这副三角尺按图②摆放，三角尺的直角顶点重合在点O处；
①和有怎样的数量关系？说明理由．
②和有怎样的数量关系？说明理由．
7．如图1，点是直线上一点，将一个直角三角形板如图1放置，使其中一条直角边在直线上，射线在内部．
(1)如图2，将三角板绕点逆时针旋转，当时，请判断是否平分，并说明理由；
(2)若，将三角板绕点逆时针旋转，每秒旋转．
①多少秒时？
②如图3，当在内部，另一边在直线的另一侧，请探索与的数量关系，并说明理由．
8．【探索新知】
（1）如图1，将两把直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．
①若，则_______________；若，则_______________．
②猜想与的数量关系，并说明理由．
【深入探究】
（2）如图2，将两把同样的三角尺的角的顶点A重合在一起，则与有何数量关系？请说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图3，已知，作（都是锐角，且），若在的内部，请直接写出与的数量关系．
题型三、旋转中求角的运动时间问题
9．如图，若是平角，，将直角三角板的直角顶点与点O重合，与重合．将三角板绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转，设旋转的时间是t秒．
(1)当平分时，计算与t的值
(2)在三角板旋转的同时，以每秒的速度顺时针旋转，当平分时，求t的值．
10．如图1，直线和直线相交于，且，点分别是射线、上一点，射线绕点以的速度逆时针旋转，射线绕点以的速度顺时针旋转，旋转时间为，其中为的角平分线．
(1)当时， ．
(2)如图2，当为多少秒时，恰好分别为的角平分线？并求出此时的度数．
(3)当，且时，求旋转时间的值？
11．如图1，将两块直角三角板（一块含有、角，另一块含角）摆放在直线上，三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转．当第一次与射线重合时三角板停止转动，设旋转时间为秒．
(1)当秒时，___________，___________，___________；
(2)如图2，若两块三角板同时旋转，三角板以每秒的速度绕点顺时针旋转，当第一次与射线重合时三角板立即停止转动．
①射线和射线重合前，当时，求出相应的的值；
②整个旋转过程中，当满足时，直接写出相应的的值___________．
12．已知如图1，点O是直线上的一点，，．
(1)求的度数；
(2)若绕着点O顺时针旋转（与重合即停止），如图2，分别平分，则在旋转过程中的大小是否变化？若不变，求出的大小；若改变，说明理由；
(3)若的边从图1的位置同时开始，分别绕着点O以每秒和每秒的速度顺时针旋转（当其中一边与重合时两边都停止旋转），分别平分平分．设旋转时间为t秒．
求：①当旋转时间 时，；②当旋转时间 时，．
题型四、旋转中探究角的新定义型问题
13．如果+2=180°我们称是的“倍补角”．例如若，则是的“倍补角”，请注意：此时不是的“倍补角”．
(1)若是的“倍补角”，且，给出下列四个式子：①；②；③；④．其中可以表示余角的式子有（写出所有正确结论的序号）；
(2)如图1，已知，若在直线的上方存在射线，使得是的“倍补角”，且与互余，求的大小；
(3)如图2，已知，射线从出发绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点O从出发以每秒的速度顺时针旋转，平分，平分，运动时间为t秒（），当是的“倍补角”时，求此时t的值．
14．如图1，射线在同一个平面内，则图中共有三个角，，其中每个角都是小于的角．设．
(1)若时，则称线为的“倍比线”．
①若射线为的“倍比线”，且，则___________．；
②如图2，若，射线从出发，绕点以每秒的速度逆时针方回旋转，旋转一周至时停止，设旋转的时间为，当时，射线是的“倍比线”；
③在②的条件下，如图3，射线从出发，绕点以每秒的速度顺时针方向旋转．射线同时旋转，当旋转一周至时，射线同时停止运动，设旋转的时间为，求当为何值时，射线是的“倍比线”；
(2)如图4，在同一个平面内，，射线在内部或边上．将射线关于的所有可能的的最小值记为，当在平面内运动时，的最大值为___________．
15．若，我们则称是的“绝配角”．例如：若，，则是的“绝配角”，请注意：此时不是的“绝配角”．
(1)如图1，已知，在内存在一条射线，使得是的“绝配角”，此时__________；（直接填写答案）
(2)如图2，已知，若平面内存在射线、（在直线的上方），使得是的“绝配角”，，求大小；
(3)如图3，若，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点从出发以每秒的速度顺时针旋转，平分，平分，运动时间为秒（）．若是的“绝配角”，求出此时的值．
16．如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“和谐线”．
(1)若射线是的平分线，那么射线______的“和谐线”；（填“是”或“不是”）
(2)若射线是的“和谐线”，当时，则______．（用含的代数式表示出所有可能的结果）
(3)如图2，为直线上一点，点C在射线上，现将一直角三角尺的角的顶点放置在点处（即），其中边在射线上，另一边在直线的上方．若图2中的射线绕点从位置开始，以每秒的速度沿顺时针方向旋转，同时直角三角尺也绕着点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，当与重合时都停止旋转，设旋转的时间为秒．问：当为何值时，是的“和谐线”．
17．射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的伴随线．例如，如图1，，则，称射线是射线的伴随线；同时，由于，称射线是射线的伴随线．
(1)如图2，，射线是射线的伴随线，则 ；
(2)如图3，若，射线与射线重合，并绕点O以每秒的速度逆时针转动，射线与射线重合，并绕点O以每秒的速度顺时针转动，当射线与射线重合时，运动停止．
①是否存在某个时刻t（秒），使得的度数是？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
②当t的值为多少时，射线中恰好有一条射线是其余两条射线中任意一条射线的伴随线？
18．如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的奇妙线．
(1)如图1，若，，求．
(2)如图2，若，射线从射线位置开始，绕点O以每秒的速度逆时针旋转，当射线与射线重合时停止旋转．设旋转的时间为t秒，当射线是的奇妙线时，求t的值．
(3)如图3，若，射线分别从位置同时出发，射线绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当射线旋转与射线重合时两条射线都停止旋转．设旋转的时间为t秒，当射线是的奇妙线时，求t的值．
一、单选题
1．生活情境·水车图①中的水车是一种古老的提水灌溉工具，图②是它的示意图，水车的主体是一个圆形，且被等分成了8份，三角形是水车的支架，．水车的支架固定不动，水车的主体可绕着圆心旋转．在图②中，若平分，则的度数为（ ）
A．B．C．D．无法确定
2．题目： “一块含角的直角三角板和一块含角的直角三角板拼成如图1所示的图案后， 三角板固定不动， 将三角板绕顶点B旋转一周， 如图2． 当时（注： 均指图中不超过的角）， 求旋转角的度数．”对于其答案， 甲答：， 乙答：， 则正确的是 （ ）
A．只有甲答的对
B．只有乙答的对
C．甲、乙答案合在一起才完整
D．甲、乙答案合在一起也不完整
3．如图1，一副三角板的两个直角重叠在一起，，．固定不动，△AOB绕着O点顺时针旋转，若△AOB绕着O点旋转图2的位置，若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
4．定义：若两个角的度数差的绝对值等于，则称这两个角互为“优角”，其中一个角是另一个角的“优角”．如，，，则和互为“优角”．如图，，射线平分，在的内部．若，则图中互为“优角”的共有（ ）

A．6对B．7对C．8对D．9对
5．一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（、），将三角板绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且，有下列四个结论：

①在图1的情况下，在内作，则平分；
②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值；
③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次；
④的角度恒为．
其中正确的结论个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
6．如图，小明利用一副直角三角板绕着直角顶点进行旋转实验，当他旋转至时，的度数为 度．
7．如图，已知，现将射线绕点顺时针匀速旋转，射线保持不动，当射线与射线重合时停止旋转．当三条射线构成的角中有两个角相等（重合除外）时，射线旋转的角度为 ．
8．定义：从一个角的顶点引一条射线，把这个角分成两个角，并且这两个角的度数之比为1:2，这条射线叫做这个角的三分线．显然，一个角的三分线有两条．如，，是的两条三分线，以点为中心，将按顺时针方向旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 ．
9．一副直角三角板按如图放置，点在同一直线上，，，，△AOB和同时以相同的速度绕点分别向逆时针方向和顺时针方向旋转一周，当和的平分线在同一直线上时，这两个三角形都旋转了 ．
10．定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图1，，则为的5分位线；，则也是的5分位线．
（1）如图2，点A、、在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的3分位线，（，），，则 ；
（2）如果点A、、在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的5分位线，且，则 ．
三、解答题
11．已知为直线上的一点，，．
(1)如图①，以为观察中心，射线表示正北方向，表示正东方，若，则射线的方向是________；若将射线、射线绕点旋转至如图②所示的位置，另一条射线恰好平分．若，求的度数；
(2)若将射线、射线绕点旋转至如图③所示的位置，射线仍然平分，与之间存在怎样的数量关系？请说明理由．
12．如图，点O为直线上一点，过点O作射线OC，使，将一个含角的直角三角尺的一个顶点放在点O处，斜边与直线重合，另外两条直角边都在直线的下方．
(1)将图1中的三角尺绕着点O逆时针旋转，如图2所示，此时 ；在图2中，是否平分？请说明理由；
(2)紧接着将图2中的三角板绕点O逆时针继续旋转到图3的位置所示，使得在的内部，请探究：与之间的数量关系，并说明理由；
(3)将图1中的三角板绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为 （直接写出结果）
13．如图1，把一副三角板拼在一起，边，与直线重合，其中，，此时易得．
(1)如图2，三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角板运动时间为秒．
①当时，______；
②当为何值时，？
(2)如图3，在（1）的条件下，若平分，平分．
①当时，______；
②请问在三角板的旋转过程中，的度数是否会发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果不发生变化，请直接写出的度数．
14．如图1，大课间的广播操展让我们充分感受到了一种整体的图形之美，东东和北北想从数学角度分析如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为A，B两点，两脚脚跟位置分别为C，D两点，A，B，C，D，E，O在同一平面内，O为定点，且垂直水平线l，将手脚运动看作绕点O进行旋转：

(1)填空：如图2，A，O，B三点共线，且，则________°；
(2)第三节腿部运动中，如图3，东东发现，虽然A，O，B三点共线，却不在水平方向上，且，求的度数；
(3)第四节体侧运动中，如图4，北北发现，两腿张开，平分，且，开始运动前A，O，B三点在同一水平线上，，同时绕点O逆时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，运动时间为，当旋转到与重合时，运动停止．在运动过程中，请帮助北北用等式表示与的数量关系，并说明理由．
15．【概念学习】定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与的和为90°，则称该射线为的“分余线”．
【深入思考】
(1)如图1，，，则射线______的“分余线”；（填：“是”或“不是”）
(2)若平分，且为的“分余线”，求的度数；
(3)如图2，，在内部作射线，，使为的平分线，在的内部作射线，使．当为的“分余线”时，______度．
16．【新定义】已知射线在的内部，若，和三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“量尺金线”．
(1)如图1，若中是的“量尺金线”，且，则与的数量关系为 ；
(2)如图2，若平分，试说明射线是的“量尺金线”；
(3)如图3，．若射线是的“量尺金线”，求的度数．
17．新定义：如图1，已知射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线是的“立信线”．
(1)一个角的平分线_______这个角的“立信线”；（填“是”或“不是”）
(2)如图2，若，射线绕点O从位置开始．以每秒的速度逆时针旋转，当与首次成时停止旋转，设射线旋转的时间为t秒．求当t为何值时，射线是的“立信线”；
(3)如图3，射线为的“立信线”，且．射线分别为、的平分线，请猜想、、会有怎样的数量关系？并说明理由；
18．【定义概念】
如图，已知，在内部画射线，得到三个角，分别为，，，若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“幸运线”，例如：图中，射线为的一条“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于且小于的角．）
[阅读理解]
（1）一个角的平分线______这个角的“幸运线”．（填“是”或“不是”）
[初步应用]
（2）若，射线为的“幸运线”，求的度数；
【解决问题】
（3）如图，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点O逆时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点O逆时针旋转，设运动的时间为x秒（），若，，三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，直接写出所有t的值．
目录
A题型建模・专项突破
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc25737" 题型一、旋转中求的角定值问题 PAGEREF _Tc25737 \h 1
\l "_Tc31673" 题型二、旋转中探究角的数量关系问题 PAGEREF _Tc31673 \h 9
\l "_Tc20621" 题型三、旋转中求角的运动时间问题 PAGEREF _Tc20621 \h 14
\l "_Tc10839" 题型四、旋转中探究角的新定义型问题 PAGEREF _Tc10839 \h 21
B综合攻坚・能力跃升