期末综合素质评价卷(二)（含答案）2025-2026学年鲁教版（五四制）九年级数学下册

这是一份期末综合素质评价卷(二)（含答案）2025-2026学年鲁教版（五四制）九年级数学下册，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题(每题3分，共30分)
1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为⊙O的直径，若AB＝AC，∠ACB＝70°，则∠CBD＝( )
A．40° B．50° C．60° D．70°
2．已知点P到直线l的距离为3，以点P为圆心，r为半径画圆，如果圆上有且只有两点到直线l的距离均为2，则半径r的取值范围是( )
A．r＞1 B．r＞2 C．2＜r＜3 D．1＜r＜5
3．如图，用一张扇形纸片围成一个底面半径为2，侧面积为8π的圆锥，则该圆锥的母线长为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
4．一个盒子里有完全相同的三个小球，小球上分别标上数字－1，1，2.随机摸出一个小球(不放回)，其数字记为p，再随机摸出另一个小球，其数字记为q，则满足关于x的方程x2＋px＋q＝0有实数根的概率是( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(1,3) C．eq \f(2,3) D．eq \f(5,6)
5．如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝4eq \r(,2)，tanC＝2，⊙O过点A，C，交BC边于点D，且eq \(AD,\s\up8(︵))＝eq \(AC,\s\up8(︵))，则CD的长为( )
A．2 B．4 C．2eq \r(,2) D．4eq \r(,2)
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆分别交边AC，BC于点D，E，连接DE，若eq \(AD,\s\up8(︵))所对的圆心角比eq \(DE,\s\up8(︵))所对的圆心角大30°，则∠DEC的度数是( )
A．30° B．40° C．45° D．50°
7．在一个不透明袋子中装有12个只有颜色不同的球，其中1个红球、5个黄球、2个蓝球和4个绿球，从中随机摸出一个球，某种颜色的球出现的频率约为0.3，则该球的颜色最有可能是( )
A．红色 B．黄色 C．蓝色 D．绿色
8．如图，在直角坐标系中，已知⊙D经过原点O，与x轴，y轴分别交于A，B两点，点B的坐标为(0，2eq \r(,3))，OC与⊙D交于点C，∠OCA＝30°，则图中阴影部分的面积为( )
A．8π－2eq \r(,3) B．8π－eq \r(3)
C．2π－2eq \r(,3) D．2π－eq \r(3)
9．如图，AB为半圆O的直径，点C为半圆上一点，且sin∠CAB＝eq \f(3,5)，点E，F分别为eq \(AC,\s\up8(︵))，eq \(BC,\s\up8(︵))的中点，弦EF分别交AC，CB于点M，N.若MN＝2eq \r(,6)，则AB＝( )
A．10eq \r(,3) B．10eq \r(,2) C．18 D．6eq \r(,6)
10．如图，在边长为4的正方形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是同平面内的一动点，∠BED＝90°，F是DE的中点，连接CF，则CF的最小值为( )
A．eq \r(,6)－eq \r(2) B．eq \r(2) C．eq \r(10)－eq \r(2) D．2eq \r(,3)－eq \r(2)
二、填空题(每题3分，共18分)
11． “苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示．该摩天轮高128 m(即最高点离水面平台MN的距离)，圆心O到MN的距离为68 m，摩天轮匀速旋转一圈用时30 min.某轿厢从点A出发，10 min后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径(即eq \(AB,\s\up8(︵)))长度为________m．(结果保留π)
12．有四张正面分别标有－1，0，1，2的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中取出一张，将卡片上的数字记为a，不放回，再取出一张，将卡片上的数字记为b，设点P的坐标为(a，b)．如图，点P落在抛物线y＝x2与直线y＝x＋2所围成的封闭区域内(图中含边界的阴影部分)的概率是________．
13．如图，AB，AF分别与圆O相切于点B，F，射线BO与AF的延长线相交于点C，与圆O相交于点E，连接EF和BF，若tan∠C＝eq \f(3,4)，EF＝2，则圆O的半径为__________．
14．有一张如图所示的四边形纸片，AB＝AD＝6 cm，CB＝CD＝8 cm，∠B为直角，要在该纸片中剪出一个面积最大的圆形纸片，则圆形纸片的半径为________cm.
15．如图①是我国明末《崇祯历书》之《割圆勾股八线表》中所绘的割圆八线图．如图②，根据割圆八线图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，AC和BE都是⊙O的切线，点A和点B是切点，BE交OC于点E，OC交eq \(AB,\s\up8(︵))于点D，AD＝CD.若OA＝3，则CE的长为________．
16．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC，以AC为边作菱形ACDE，CD交⊙O于点F，AB⊥CD，垂足为G.连接AD，交⊙O于点H，连接EH.若AG＝12，GF＝5，则DF的长度为________，EH的长度为________．
三、解答题(共72分)
17．(8分)小莉的爸爸买了一张运动会的门票，她和哥哥两个人都很想去观看，可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，他拿了八张扑克牌，将数字为1，2，3，5的四张牌给小莉，将数字为2，4，6，8的四张牌留给自己，并按以下规则进行游戏：小莉和哥哥从各自的四张扑克牌中随机抽取一张，然后将抽取的两张扑克牌上的数字相加，如果和为偶数，则小莉去；如果和为奇数，则哥哥去．
(1)请用画树状图或列表的方法求小莉去看运动会的概率．
(2)哥哥设计的游戏规则公平吗？若不公平，如何在原有游戏规则上进行修改，使之公平？
18．(8分)如图，已知在⊙O中，eq \(AC,\s\up8(︵))＝eq \(CE,\s\up8(︵)).
(1)求证：CO⊥AE；
(2)CD⊥直径AB于点D，若BD＝1，AE＝4，求⊙O的半径．
19．(8分)四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接AC，BD相交于点E.
(1)如图①，连接OA，OB，OC，OD，已知∠BOC＋∠AOD＝180°. 求证：AC⊥BD；
(2)如图②，若∠ADC＝90°，AC⊥BD，延长DA，CB相交于点F，DC＝6，DF＝8，求DB的长．
20．(8分)如图，已知AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，点P是⊙O外的一点，PC⊥AB，垂足为点C，PC与BD相交于点E，连接PD，且PD＝PE，延长PD交BA的延长线于点F.
(1)求证：PD是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为3，PE＝eq \f(7,2)，sin∠PFC＝eq \f(3,5)，求BE的长．
21．(9分)某市教育局对某九年一贯制学校做课堂教学满意度情况督导调研．从该校初中部和小学部各随机抽取20名学生对课堂教学进行满意度评分(满分10分)，将收集到的评分数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．初中部20名学生所评分数的频数分布直方图如图：
(数据分成4组：6≤x＜7，7≤x＜8，8≤x＜9，9≤x＜10)
b．初中部20名学生所评分数在8≤x＜9这一组的是：8.0，8.1，8.2，8.2，8.4，8.5，8.6，8.7，8.8；
c．初中部、小学部各20名学生所评分数的平均数、中位数如下表：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)调查的40名学生对课堂教学满意度评分的平均数是________，表中的m值为________；
(2)根据调查前制定的满意度等级划分标准，评分不低于8.5分为“非常满意”．
①若该校初中部共有400名学生，估计其中对课堂教学“非常满意”的学生 人数；
②该学校从被调查的学生中随机抽取三人作为满意度调查访谈对象，所抽取学生的满意度评分情况如下：小明评分9.5分，小强评分8.6分，小琪评分8.2分．实地督导过程中从这3人中随机抽取了2人进行访谈，请求出调查结果一致为“非常满意”的概率．
22．(9分)如图，⊙O1与⊙O2都经过A，B两点，点O2在⊙O1上，
点C是eq \(\s\up7(),\s\d5(AO2B))上的一点，连接AC并延长交⊙O2于点P，连接AB，BC，BP.
(1)求证：∠ACB＝2∠P.
(2)若∠P＝30°，AB＝2eq \r(,3).
①求⊙O1的半径；
②求图中阴影部分的面积．
23．(10分)已知△ABC内接于⊙O，∠BAC＝2∠ABO.
(1)如图①，求证：AB＝AC；
(2)如图②，点D在⊙O上，连接CD，点E是CD上一点，连接AE，若∠BCD＝45°，∠BAE＝∠ACD，求证：AE⊥CD；
(3)如图③，在(2)的条件下，延长BO交⊙O于点F，连接AF，若DE＝1，BC＝3，求AF的长．
24．(12分)【图形感知】如图①，在四边形ABCD中，已知∠BAD＝∠ABC＝∠BDC＝90°，AD＝2，AB＝4.
(1)求CD的长；
【探究发现】老师指导同学们对图①所示的纸片进行了折叠探究．
在线段CD上取一点E，连接BE.将四边形ABED沿BE翻折得到四边形A′BED′，其中A′，D′分别是A，D的对应点．
(2)其中甲、乙两位同学的折叠情况如下：
①甲：点D′恰好落在边BC上，延长A′D′交CD于点F，如图②.判断四边形DBA′F的形状，并说明理由；
②乙：点A′恰好落在边BC上，如图③.求DE的长；
(3)如图④，连接DD′交BE于点P，连接CP.当点E在线段CD上运动时，线段CP是否存在最小值？若存在，直接写出；若不存在，说明理由．
答案
一、1．B 2．D 3．D 4．A 5．B 6．D 7．D 8．C
9．A 【点拨】如图，连接OE，OF，分别交AC，BC于点P，Q，∵点E，F分别为eq \(AC,\s\up8(︵))，eq \(BC,\s\up8(︵))的中点，∴OP垂直平分AC，OQ垂直平分BC.易得∠EOF＝90°，又∵OE＝OF，∴∠E＝∠F＝45°.∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB＝90°.∴易得∠EMP＝∠CMN＝∠CNM＝∠FNQ＝45°，∴△PEM和△CMN都是等腰直角三角形．∵在Rt△CMN中，MN＝2eq \r(,6)，∴CM＝CN＝eq \f(eq \r(,2),2)MN＝eq \f(eq \r(,2),2)×2eq \r(,6)＝2eq \r(,3).∵在Rt△ABC中，sin∠CAB＝eq \f(3,5)＝eq \f(BC,AB)，∴设BC＝3x，则AB＝5x，由勾股定理可得AC＝eq \r(AB2－BC2)＝4x.∴AP＝PC＝eq \f(1,2)AC＝2x，易得OP＝QC＝eq \f(1,2)BC＝eq \f(3,2)x.∴PE＝PM＝PC－CM＝2x－2eq \r(,3)．又∵OE＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(5,2)x，∴OP＝OE－PE＝eq \f(5,2)x－2x＋2eq \r(,3)＝eq \f(1,2)x＋2eq \r(,3)．又∵OP＝CQ，∴eq \f(1,2)x＋2eq \r(,3)＝eq \f(3,2)x，解得 x＝2eq \r(,3)．
∴AB＝5x＝10eq \r(,3)．故选A.
10．C 【点拨】∵E是同平面内的一动点，∠BED＝90°，∴点E为正方形ABCD的外接圆⊙O上的一点．如图，延长DC至点H，使CH＝DC＝4.连接OE，EH，
∵F是DE的中点，∴CF为△DEH的中位线．∴CF＝eq \f(1,2)EH.易知当点O，E，H三点共线且点E在OH上时，EH最小，过点O作OM⊥CD于点M，如图，∵四边形ABCD为边长为4的正方形，∴OM＝CM＝2，BD＝eq \r(,42＋42)＝4eq \r(,2)．∴HM＝2＋4＝6，OE＝eq \f(1,2)BD＝2eq \r(,2)．∴OH＝eq \r(,OM2＋HM2)＝eq \r(,22＋62)＝2eq \r(,10)．
∴EH＝OH－OE＝2eq \r(,10)－2eq \r(,2)．∴CF的最小值为eq \f(1,2)EH＝eq \f(1,2)×(2eq \r(,10)－2eq \r(,2))＝eq \r(,10)－eq \r(,2)．故选C.
二、11．40π
12．eq \f(1,3) 【点拨】解方程eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x2，,y＝x＋2，))可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝1，))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝4，))
所以抛物线y＝x2与直线y＝x＋2的交点坐标为(－1，1)和(2，4)，画树状图如下：
共有12种可能的结果，每种结果出现的可能性相同．其中点P落在抛物线y＝x2与直线y＝x＋2所围成的封闭区域内(图中含边界的阴影部分)的结果有4种，分别为(－1，1)，(0，1)，(0，2)，(1，2)，所以点P落在抛物线y＝x2与直线y＝x＋2所围成的封闭区域内(图中含边界的阴影部分)的概率＝eq \f(4,12)＝eq \f(1,3).
13．eq \r(,5) 【点拨】如图，连接OF，∵AB，AF分别与圆O相切于点B，F，OB，OF是半径，∴AB＝AF，OB⊥AB，OF⊥AC，∴∠ABC＝∠OFC＝90°.
∵tan∠C＝eq \f(3,4)＝eq \f(AB,BC)，∴设AB＝AF＝3a，BC＝4a，∴AC＝5a，
∴CF＝5a－3a＝2a.∵BE是⊙O的直径，∴∠BFE＝90°，
∴∠EBF＋∠BEF＝90°.
∵易得∠BEF＝∠OFE，∠OFC＝∠CFE＋∠OFE＝90°，
∴∠CFE＝∠EBF.又∵∠C＝∠C，∴△ECF∽△FCB，∴eq \f(CF,CB)＝eq \f(EF,FB)，即eq \f(2a,4a)＝eq \f(2,FB)，
∴FB＝4，∴BE＝eq \r(,FB2＋EF2)＝eq \r(,42＋22)＝2eq \r(,5)，
∴圆O的半径为2eq \r(,5)÷2＝eq \r(,5)．
14．eq \f(24,7) 【点拨】如图①，连接AC，作∠ABC的平分线，交AC于点O，作OH⊥BC于点H，
在△ABC和△ADC中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AB＝AD，,CB＝CD，,AC＝AC，))
∴△ABC≌△ADC，∴∠BAC＝∠DAC，∠ACB＝∠ACD ，∴AC平分∠BAD和∠BCD.∵BO平分∠ABC，∴点O到四边形ABCD的各边的距离相等，∴以点O为圆心，OH长为半径的圆是四边形ABCD的内切圆，它是所求的面积最大的圆形纸片，如图②所示．∵∠ABC＝90°，∴∠OBH＝eq \f(1,2)∠ABC＝45°， ∴△BOH为等腰直角三角形，∴OH＝BH，设OH＝r cm，则BH＝r cm，CH＝BC－BH＝(8－r)cm.∵∠ABC＝90°，OH⊥BC，
∴OH∥AB，
∴△COH∽△CAB，∴eq \f(OH,AB)＝eq \f(CH,CB) 即eq \f(r,6)＝eq \f(8－r,8)，∴r＝eq \f(24,7)，
∴圆形纸片的半径为eq \f(24,7)cm.
15．6－2eq \r(,3) 【点拨】∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.∵CD＝AD，∴∠C＝ ∠CAD.∴∠OAD＝∠ADO＝∠C＋∠CAD＝2∠CAD.∵AC是⊙O 的切线，点A是切点，∴∠OAC＝90°，即3∠CAD＝ 90°.∴∠CAD＝30°.∴∠COA＝60°.∴∠BOD＝30°.在 Rt△AOC 中，OA＝3，∠C＝30°，∴OC＝2OA＝6.∵BE是⊙O的切线，∴∠EBO＝90°.在Rt△BOE中，∵OB＝3，∠BOE＝30°，∴OE＝eq \f(OB,cs 30°)＝2eq \r(,3).∴CE＝OC－OE＝6－2eq \r(,3).
16．3；eq \f(13\r(13),4) 【点拨】∵AB⊥CD，GF＝5，∴CG＝GF＝5，∴CF＝2CG＝10.∵AG＝12，∴AC＝eq \r(AG2＋CG2)＝eq \r(122＋52)＝13.∵四边形ACDE是菱形，∴CD＝AC＝AE＝13，∴GD＝CD－GC＝13－5＝8，DF＝CD－CF＝13－10＝3，∴AD＝eq \r(AG2＋GD2)＝eq \r(122＋82)＝4eq \r(13). 如图，连接BC，BH，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∠AHB＝90°，∴cs∠CAB＝eq \f(AG,AC)＝eq \f(AC,AB)，即eq \f(12,13)＝eq \f(13,AB)，cs∠DAB＝eq \f(AG,AD)＝eq \f(AH,AB)，即eq \f(12,4\r(13))＝eq \f(AH,AB)，解得AH＝eq \f(13,4)eq \r(13).∵四边形ACDE是菱形，∴CD∥AE，∴∠DAE ＝∠CDA，如图，过H作HM⊥AE于M，∴sin∠DAE＝sin∠GDA，cs∠DAE＝cs∠GDA，∴eq \f(MH,AH)＝eq \f(AG,AD)，eq \f(AM,AH)＝eq \f(GD,AD)，∴eq \f(MH,\f(13,4)\r(13))＝eq \f(12,4\r(13))，eq \f(AM,\f(13,4)\r(13))＝eq \f(8,4\r(13))，∴MH＝eq \f(39,4)，AM＝eq \f(13,2)，
∴ME＝AE－AM＝13－eq \f(13,2)＝eq \f(13,2)，∴AM＝ME，∴HM垂直平分AE，
∴EH＝AH＝eq \f(13,4)eq \r(13).
三、17．【解】(1)列表如下：
由表知，共有16种可能的结果，每种结果出现的可能性相同．和为偶数的结果有4种，故小莉去看运动会的概率为eq \f(4,16)＝eq \f(1,4).
(2)不公平．
可以修改为若和大于7，则哥哥(或小莉)去，若和小于等于7，则小莉(或哥 哥)去．
18．(1)【证明】如图，延长CO交AE于点F，
∵eq \(AC,\s\up8(︵))＝eq \(CE,\s\up8(︵))，CF过圆心，∴CO⊥AE.
(2)【解】设⊙O的半径为r，
∵eq \(AC,\s\up8(︵))＝eq \(CE,\s\up8(︵))，CF过圆心，AE＝4，
∴AF＝eq \f(1,2)AE＝eq \f(1,2)×4＝2.
∵CD⊥AB，OF⊥AE，∴∠AFO＝∠ODC＝90°.
又∵∠AOF＝∠COD，OA＝OC，
∴△OAF≌△OCD.∴OF＝OD＝r－1.
∵在Rt△AOF中，OA2＝AF2＋OF2，
∴r2＝22＋(r－1)2，解得r＝eq \f(5,2).∴⊙O的半径为eq \f(5,2).
19．(1)【证明】∵∠DCA＝eq \f(1,2)∠AOD，∠BDC＝eq \f(1,2)∠BOC，∠BOC＋∠AOD＝180°，
∴∠DCA＋∠BDC＝eq \f(1,2)(∠AOD＋∠BOC)＝eq \f(1,2)×180°＝90°.∴∠CED＝90°.
∴AC⊥BD.
(2)【解】∵∠ADC＝90°，DC＝6，DF＝8，
∴FC＝eq \r(CD2＋DF2)＝10，AC为⊙O的直径．
∴∠ABC＝90°.∴∠ABF＝90°.
∵AC⊥BD，∴BC＝DC＝6，DB＝2BE.
∴BF＝4.∵∠ABF＝∠ADC＝90°，∠F＝∠F，
∴△ABF∽△CDF.∴eq \f(AB,CD)＝eq \f(BF,DF)＝eq \f(4,8)＝eq \f(1,2).
∴AB＝eq \f(1,2)CD＝3.AC＝eq \r(AB2＋BC2)＝3eq \r(,5).
∵S△ABC＝eq \f(1,2)AB·BC＝eq \f(1,2)AC·BE，∴易得 BE＝eq \f(6\r(,5),5).
∴DB＝2BE＝eq \f(12\r(,5),5).
20．(1)【证明】连接OD，如图所示．
∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD.
∵PD＝PE，∴∠PDE＝∠PED.
又∵∠PED＝∠BEC，∴∠BEC＝∠PDE.
∵PC⊥AB，∴∠BCE＝90°.
∴∠OBE＋∠BEC＝90°.
∴∠PDE＋∠BDO＝90°.
∴∠PDO＝90°，即 OD⊥PD.
又∵OD是⊙O的半径，∴PD是⊙O的切线．
(2)【解】∵⊙O的半径为3，∴OD＝OA＝OB＝3.
∵OD⊥PD，∴∠FDO＝90°.又∵sin∠PFC＝eq \f(3,5)，
∴在Rt△OFD中，sin∠PFC＝eq \f(OD,OF)＝eq \f(3,5).
∴eq \f(3,OF)＝eq \f(3,5)，∴OF＝5.
由勾股定理得FD＝eq \r(OF2－OD2)＝4.
∵PE＝PD＝eq \f(7,2)，∴PF＝PD＋FD＝eq \f(7,2)＋4＝eq \f(15,2).
在Rt△PFC中，sin∠PFC＝eq \f(PC,PF)＝eq \f(3,5)，
∴PC＝eq \f(3,5)PF＝eq \f(3,5)×eq \f(15,2)＝eq \f(9,2).
∴FC＝eq \r(PF2－PC2)＝6，CE＝PC－PE＝eq \f(9,2)－eq \f(7,2)＝1.
∴OC＝FC－OF＝1.∴BC＝OB－OC＝2.
∴BE＝eq \r(CE2＋BC2)＝eq \r(5).
21．【解】(1)8.3；8.3
(2)①估计其中对课堂教学“非常满意”的学生人数为400×eq \f(9,20)＝180(名)．
②从小明、小强、小琪3人中随机抽取2人，所有可能出现的结果如图．
由树状图可知，共有6种可能的结果，每种结果出现的可能性相同．其中调查结果一致为“非常满意”的结果有2种，∴调查结果一致为“非常满意”的概 率＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3).
22．(1)【证明】如图所示，连接AO2，BO2.在⊙O1中，∠ACB＝∠AO2B，
在⊙O2中，∠P＝eq \f(1,2)∠AO2B，
∴∠ACB＝∠AO2B＝2∠P.
(2)【解】①∵∠P＝30°，∠ACB＝2∠P，
∴∠ACB＝60°.
如图，连接 AO1，BO1，过点O1作O1D⊥AB，交 AB于点D，∴∠AO1B＝120°，AD＝BD＝eq \f(1,2)AB＝eq \r(3).
∵O1A＝O1B，
∴∠AO1D＝eq \f(1,2)∠AO1B＝60°.
在Rt△AO1D中，sin60°＝eq \f(AD,AO1)，即eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3),AO1)，
∴AO1＝2，∴⊙O1的半径是2.
②如图，连接O1O2，
∵AO2＝ BO2，∠AO2B＝ 2∠P＝60°，
∴△AO2B是等边三角形，
∴AO2＝BO2＝AB＝2eq \r(,3).AO2＝BO2,
∴点O2在AB的垂直平分线上．易知DO1垂直平分AB，
∴点D，O1，O2三点共线．
在Rt△ADO2中，DO2＝eq \r(AO22－AD2)＝3，
在Rt△ADO1中，DO1＝eq \r(AO21－AD2)＝1.
在⊙O2中的eq \(AB,\s\up8(︵))上标点E，S弓形AEB＝S扇形AO2B－S△ABO2＝eq \f(60π×(2\r(,3))2,360)－eq \f(1,2)×2eq \r(,3)× 3＝2π－3eq \r(,3).
∴S阴影＝S扇形AO1B－S△AO1B－S弓形AEB＝eq \f(120π×22,360)－eq \f(1,2)×2eq \r(,3)×1－(2π－3eq \r(,3))＝ eq \f(4π,3)－eq \r(3)－2π＋3eq \r(,3)＝2eq \r(,3)－eq \f(2π,3).
23．(1)【证明】连接OA，OC，如图①所示，
∵OA＝OB，OB＝OC，OA＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OBC＝∠OCB，∠OAC＝∠OCA.
∵∠BAC＝2∠ABO，∴∠BAC＝2∠OAB.
∴∠OAB＝∠OAC.
∴∠OBA＝∠OCA.
∴∠OBA＋∠OBC＝∠OCA＋∠OCB，
∴∠ABC＝∠ACB.∴ AB＝AC.
(2)【证明】∵∠ABC＝∠ACB，
∴∠BAC＝180°－∠ABC－∠ACB＝180°－2∠ACB.
∵∠BCD＝45°，∠BAE＝∠ACD，
∴∠EAC＋∠ACD＝∠BAE＋∠BAC＋∠ACD＝2∠ACD＋∠BAC＝2∠ACD＋180°－2∠ACB＝2∠ACD＋180°－2(∠ACD＋∠BCD)＝2∠ACD＋180°－ 2∠ACD－2∠BCD＝180°－2∠BCD＝90°.
∴∠AEC＝180°－(∠EAC＋∠ACD)＝90°，
∴AE⊥CD.
(3)【解】如图②，连接AD，OC，连接AO并延长交BC于点H，交CD于点G，
∵AB＝AC，OB＝OC，
∴AH是BC的垂直平分线．
∴BH＝CH＝eq \f(1,2)BC＝eq \f(3\r(,2),2)，
∠AHC＝∠AHB＝90°.
又∵∠BCD＝45°，
∴∠CGH＝90°－∠BCD＝45°.
∴∠CGH＝∠AGD＝45°.
∴易得△CGH和△AEG都是等腰直角三角形．
∴CH＝GH＝eq \f(3\r(,2),2).
设AE＝x，则 AG＝eq \r(2)x，
∴AH＝AG＋GH＝eq \r(2)x＋eq \f(3\r(,2),2)．
∵∠D＝∠ABC，∠AED＝∠AHB＝90°，
∴△DEA∽△BHA.∴eq \f(AE,DE)＝eq \f(AH,BH).
∴eq \f(x,1)＝eq \f(\r(2)x＋\f(3\r(,2),2),\f(3\r(,2),2))，解得x＝3.
∴AH＝eq \r(2)x＋eq \f(3\r(,2),2)＝eq \f(9\r(,2),2).
∴AB＝eq \r(BH2＋AH2)＝eq \r((eq \f(3\r(,2),2))2＋(eq \f(9\r(,2),2))2)＝3eq \r(5)．
∵BF是⊙O的直径，∴∠BAF＝90°.
∵AB＝AC，∴eq \(AB,\s\up8(︵))＝eq \(AC,\s\up8(︵)) .∴∠D＝∠F.
又∵∠DEA＝∠BAF＝90°，
∴△DEA∽△FAB.
∴eq \f(DE,AE)＝eq \f(AF,AB).∴eq \f(1,3)＝eq \f(AF,3eq \r(5))．∴AF＝eq \r(5)．
24．【解】(1)∵∠BAD＝∠ABC＝90°，
∴AD∥BC, ∴∠ADB＝∠DBC.
又∵∠BAD＝∠BDC＝90°，
∴△ADB∽△DBC，∴eq \f(AD,BD)＝eq \f(AB,CD).
∵∠BAD＝90°，AD＝2，AB＝4，
∴BD＝eq \r(22＋42)＝2eq \r(5)，
∴eq \f(2,2eq \r(5))＝eq \f(4,CD)，
∴CD＝4eq \r(5)．
(2)①四边形DBA′F是矩形．理由如下：由折叠的性质得∠A＝∠A′＝90°，∠ABD＝∠A′BD′，
∵∠ABD＋∠DBC＝∠ABC＝90°，
∴∠A′BD＝∠A′BD′＋∠DBC＝90°.
又∵∠BDC＝90°，
∴四边形DBA′F是矩形．
②如图①，延长AD和A′D′相交于点Q，连接BQ，
由折叠的性质得∠A＝∠BA′D′＝90°，
∠ABD＝∠A′BD′，∠EBD＝∠EBD′，AB＝A′B＝4，
∵点A′恰好落在边BC上，
∴∠ABA′＝90°，
∴四边形ABA′Q是正方形．
∵∠ABE＝∠ABD＋∠EBD＝∠A′BD′＋∠EBD′＝∠A′BE＝eq \f(1,2)×90°＝45°，
∴点E在对角线BQ上．
∵四边形ABA′Q是正方形，
∴AQ∥CB，AQ＝AB＝4，
∴△DQE∽△CBE.
∵DQ＝AQ－AD＝2，
BC＝eq \r(BD2＋CD2)＝eq \r((2eq \r(5))2＋(4eq \r(5))2)＝10，
∴eq \f(DE,CE)＝eq \f(DQ,BC)＝eq \f(2,10)＝eq \f(1,5)，
∴DE＝eq \f(1,6)CD＝eq \f(2eq \r(5),3)．
(3)存在．线段CP的最小值为eq \r(85)－eq \r(5)．
【点拨】由折叠的性质得∠EBD＝∠EBD′，BD＝BD′，
∴BE是线段DD′的垂直平分线，∴∠BPD＝90°，
∴点P在以BD为直径的圆上，圆心为BD的中点．
设圆心为O，如图②，连接OC，OP，
易得CP≥OC－OP，即点P在OC上时，线段CP取得最小值．
∵OC＝eq \r(OD2＋CD2)＝eq \r((eq \r(5))2＋(4eq \r(5))2)＝eq \r(85)，
∴线段CP的最小值为eq \r(85)－eq \r(5)．
平均数
中位数
小学部
8.3
8.5
初中部
8.3
m
小莉
和
哥哥
1
2
3
5
4
5
6
7
9
6
7
8
9
11
2
3
4
5
7
8
9
10
11
13