期末综合素质评价卷(一)（含答案）2025-2026学年鲁教版（五四制）九年级数学下册

这是一份期末综合素质评价卷(一)（含答案）2025-2026学年鲁教版（五四制）九年级数学下册，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题(每题3分，共30分)
1．下列说法：①经过点P的圆有无数个；②以点P为圆心的圆有无数个；③半径为3cm，且经过点P的圆有无数个；④以点P为圆心，以3cm为半径的圆有无数个．其中错误的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．直角坐标系的原点为O，⊙O的半径为5，则点P(4，－3)( )
A．在⊙O内 B．在⊙O上 C．在⊙O外 D．无法确定
3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DCE是四边形ABCD的一个外角，若 ∠BOD＝130°，则∠ECD的度数是( )
A．50° B．55° C．65° D．70°
4．如图，图①为四等分数字转盘，图②为三等分数字转盘．同时自由转动两个转盘，当转盘停止转动后(若指针指在边界处，则重转)，两个转盘指针指向的数字的积满足不等式eq \f(x＋3,2)≥3的解的概率为( )
A．eq \f(1,6) B．eq \f(1,3) C．eq \f(1,2) D．eq \f(2,3)
5．某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥形工艺品．如图，扇形AOB是圆锥的侧面展开图，点O，A，B在格点上．若每个小正方形方格的边长为1，则这个圆锥的侧面积是( )
A．12π
B．9π
C．3π
D．6π
6．某超市随机选取1 000名顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下的统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．假定每名顾客购买商品的可能性相同，若顾客购买了甲商品，并且同时也在乙、丙、丁三种商品中进行了选购，则购买可能性最大的商品是( )
A．乙 B．丙 C．丁 D．无法确定
7．如图所示，已知PA，PB切⊙O于A，B两点，C是eq \(AB,\s\up8(︵))上一动点，过点C作⊙O的切线交PA于点M，交PB于点N，连接OM，ON，已知∠P＝56°，则∠MON＝( )
A．56° B．60°
C．62° D．68°
8．下列说法中错误的是( )
A．袋中装有一个红球和两个白球，它们除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，充分摇匀后，再从中随机摸出一个球，两次摸到不同颜色球的概率是eq \f(4,9)
B．甲、乙、丙三人玩“石头、剪刀、布”的游戏，游戏规则是如果甲、乙两人的手势相同，那么丙获胜，如果甲、乙两人的手势不同，按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定甲、乙的获胜者．这个游戏规则对于甲、乙、丙三人是公平的
C．连续抛掷两枚质地均匀的硬币，“两枚正面朝上”“两枚反面朝上”和“一枚正面朝上，一枚反面朝上”，这三种结果发生的概率是相同的
D．一个小组的八名同学通过依次抽签(签的外观一样，抽到不放回)决定其中一名同学获得元旦奖品，先抽和后抽的同学获得奖品的概率是相同的，抽签的先后不影响公平性
9．如图，正四边形ABCD和正五边形CEFGH内接于⊙O，AD和EF相交于点M，则∠AMF的度数为( )
A．26° B．27° C．28° D．30°
10．如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是线段CD上的一点，过点C作BE的垂线交BE于点F，以点F为圆心，CF长为半径的圆交BE于点P，点M在AB上，点N在AC上，则△PMN周长的最小值为( )
A．4eq \r(,5)－4 B．4eq \r(,5)－5 C．3eq \r(,5)＋4 D．4eq \r(,5)＋4
二、填空题(每题3分，共18分)
11．一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入8个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球300次，其中60次摸到黑球，估计盒中大约有白球________个．
12．如图，A，B，C是⊙O上的三点，且C是弧AB的中点，弦CD⊥OA于点E，若sin∠CDB＝0.4，OA＝5，则CD的长为________．

13．如图，矩形ABCO的顶点A，C分别在x轴，y轴上，点B的坐标为(4，3)，⊙M是△AOC的内切圆，点N，点P分别是⊙M，x轴上的动点，则PB＋PN的最小值是________．
14．如图，在平面直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当⊙A与直线l：y＝eq \f(5,12)x只有一个公共点时，点A的坐标为________．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，AC＝2，BC为半圆O的直径，将△ABC沿射线CB的方向平移得到△A1B1C1，当A1B1与半圆O相切于点D时，阴影部分的面积为________．
16．如图是一张直角三角形卡片，∠C＝90°，AC＝BC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝2 cm，DB＝4 cm，DE⊥AB.若将该卡片绕直线DE旋转一周，则形成的几何体的表面积为________cm2.
三、解答题(共72分)
17．(8分)为打造活力校园，某校在大课间开展了丰富多彩的活动，现有4种体育类活动供学生选择：A.羽毛球；B.乒乓球；C.花样跳绳；D.踢毽子．每名学生只能选择其中一种体育活动．
(1)若小明在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是________；
(2)请用画树状图或列表的方法，求小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率．
18．(8分)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，直径DE平分∠BDC.
(1)求证：BD＝CD；
(2)过点A向圆外作∠DAF＝∠ACB，且AF＝CD，求证：四边形ABDF为平行四边形．
19．(8分)如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB垂直，垂足为E，AD，CB的延长线交于点F.若DF＝DC，请你解决下列问题：
(1)求证：DA＝DC；
(2)若DF＝6，求eq \(AD,\s\up8(︵))的长．
20．(8分)如图，在四边形ABCD中，BD＝CD，∠C＝∠BAD.以AB为直径的⊙O经过点D，且与边CD交于点E，连接AE，BE.
(1)求证：BC为⊙O的切线；
(2)若AB＝eq \r(,10)，sin∠AED＝eq \f(\r(,10),10)，求BE的长．
21．(9分)人间四月天，书香最致远．在世界读书日到来之际，某初中学校举行了“屈原名篇”朗诵比赛，并对各年级学生的获奖情况进行了统计，绘制成如下两幅不完整的统计图．请结合图中信息解答下列问题：
(1)通过计算将条形统计图补全；
(2)获得一等奖的学生中有eq \f(1,4)来自七年级，有eq \f(1,4)来自八年级，其余学生均来自九年级．现准备从获得一等奖的学生中任选两人参加市级朗诵比赛，请通过列表或画树状图的方法求所选出的两人恰好为一名七年级学生和一名九年级学生的概率．
22．(9分)已知AD是△ABC的高，⊙O是△ABC的外接圆．
(1)请你在图①中用无刻度的直尺和圆规，作△ABC的外接圆(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)如图②，若⊙O的半径为R，求证：R＝eq \f(AC·AB,2AD)；
(3)如图③，延长AD交⊙O于点E，过点E的切线交OC的延长线于点F. 若 BC＝7，AD＝3eq \r(,3)，∠ACB＝60°，求CF的长．
23．(10分)如图①，⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC，AC平分∠BAD，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点P.
(1)求证：BD∥CP；
(2)若csP＝eq \f(4,5)，BD＝24，求BP的长；
(3)如图②，连接OC，CD，若四边形OADC为菱形，AB＝4，求阴影部分的 面积.
24．(12分)如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点B的坐标为(3，0)，点C的坐标为(0，3)，顶点为M.
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接BC，过第四象限内抛物线上一点作BC的平行线，交x轴于点E，交y轴于点F.
①连接AF，当∠AFE＝90°时，求Rt△AFE内切圆半径r与外接圆半径R的 比值；
②连接CA，CE，当点F在△AEC的内角平分线上，BC上的动点P满足MP＋eq \f(,2)BP的值最小时，求△BPE的面积．
答案
一、1．A 2．B 3．C 4．C 5．D 6．B 7．C 8．C
9．B 【点拨】如图，连接OC，OE，OD，设CD与EF相交于点N，∵正四边形ABCD和正五边形CEFGH内接于⊙O，∴∠COD＝360°÷4＝90°， ∠COE＝360°÷5＝72°，∴∠DOE＝∠COD－∠COE＝90°－72°＝18°，∴ ∠DCE＝eq \f(1,2)∠DOE＝eq \f(1,2)×18°＝9°.∵∠CEF＝eq \f(（5－2）×180°,5)＝108°，∴∠CNE＝180°－108°－9°＝63°，
∴∠DNM＝∠CNE＝63°.∵易知∠ADC＝90°，∴∠DMN＝90°－63°＝27°，∴∠AMF＝∠DMN＝27°，故选B.
10．A 【点拨】∵四边形ABCD是边长为4的正方形，
∴易得∠BAC＝∠ACD＝45°，AC＝eq \r(2)CD，DC＝BC＝4. 如图，作点P关于直线AB的对称点P′，连接AP′，作点P关于直线AC的对称点P″，连接P′P″，与AB，AC分别交于点M，N，连接AP, AP″.由对称性可知，PM＝ P′M, PN ＝ P″N，∴△PMN的周长＝PM＋PN＋MN＝ P′M＋P″N＋MN＝P′P″，此时，△PMN的周长最小，最小值为P′P″的长，由对称性可知，∠BAP′＝∠BAP，∠CAP″ ＝∠CAP，AP′＝AP＝AP″.∴∠BAP′＋∠CAP″＝∠BAP＋∠CAP＝ ∠BAC＝45°，∴∠P′AP″＝45°＋45°＝90°.∴△P′AP″为等腰直角三角形. ∴ P′P″＝eq \r(2)AP′＝eq \r(2)AP.∴当AP最短时，P′P″取得最小值．连接DF，PC.
∵CF⊥BE，且PF＝CF，∴∠PCF＝45°，PC＝eq \r(2)CF. 又∵∠ACD＝45°，∴∠PCF＝∠ACD.∴∠PCA＝∠FCD.又∵eq \f(AC,CD)＝eq \f(PC,CF)＝eq \r(2)，∴△APC∽△DFC.∴ eq \f(AP,DF)＝eq \f(AC,CD)＝eq \r(2)，∴AP＝eq \r(2)DF.∴当DF最短时，AP取得最小值．∵∠BFC＝90°，∴点F在以BC为直径的圆上运动，圆心为BC的中点．设BC的中点为O，连接FO，当D，F，O三点在同一直线上时，DF最短，此时DF＝DO－FO＝OD－eq \f(1,2)BC＝eq \r(22＋42)－eq \f(1,2)×4＝2eq \r(,5)－2. ∴P′P″＝eq \r(2)AP＝eq \r(2)× eq \r(2)DF＝4eq \r(,5)－4，即△PMN周长的最小值为4eq \r(,5)－4.故选A.
二、11．32
12．eq \f(8\r(21),5) 【点拨】如图，作直径CF，连接BF，CA，∵OA＝5，∴OC＝5，CF＝10.∵C是弧AB的中点，∴eq \(AC,\s\up8(︵))＝eq \(BC,\s\up8(︵)).∴AC＝BC.∵CF是⊙O的直径，∴∠CBF＝90°.
∵∠CFB＝∠CDB，∴sin∠CFB＝sin∠CDB＝0.4，
∴BC＝CF·sin∠CFB＝10×0.4＝4，∴AC＝4.
设OE＝x，则AE＝5－x，∵CD⊥OA，∴∠AEC＝∠OEC＝90°，CD＝2CE，由勾股定理得OC2－OE2＝AC2－AE2，即52－x2＝42－(5－x)2，解得x＝eq \f(17,5)，
∴OE＝eq \f(17,5)，
∴CE＝eq \r(OC2－OE2)＝eq \r(52－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(17,5)))\s\up12(2))＝eq \f(4\r(21),5)，
∴CD＝2CE＝eq \f(8\r(21),5).
13．4 【点拨】如图，作点B关于x轴的对称点B′，连接MB′，交⊙M于点N，交x轴于点P，过点M作ME⊥x轴，交x轴于点E，过点B′作B′Q⊥MQ，交ME的延长线于点Q，∵点B与点B′关于x轴对称，∴PB＋PN＝PB′＋PN，易知当点M，N，P，B′依次在同一直线上时，PB＋PN有最小值．∵点B的坐标为(4，3)，∴OA＝4，OC＝3.∴在Rt△OAC中，AC＝eq \r(,OA2＋OC2)＝5.设⊙M的半径为r，∴S△AOC＝eq \f(1,2)(3r＋4r＋5r)＝eq \f(1,2)×3×4，解得r＝1.
∴ME＝MN＝1.∴易得QB′＝4－1＝3，QM＝3＋1＝4.∴MB′＝5.
∴PB′＋PN＝MB′－MN＝5－1＝4，即PB＋PN的最小值为4.
14．(±13，0) 【点拨】如图所示，当⊙A与直线l：y＝eq \f(5,12)x只有一个公共点时，直线l与⊙A相切，设切点为B，连接AB，过点B作BC∥OA，则易得BC⊥OC.∵点B在直线l：y＝eq \f(5,12)x上，∴设Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，\f(5,12)a)).∴OC＝eq \f(5,12)|a|，BC＝|a|.∴在Rt△OBC中，OB＝eq \r(,BC2＋OC2)＝eq \r(,a2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,12)a))eq \s\up12(2))＝eq \f(13,12)|a|.∵⊙A的半径为5，∴AB＝5.∵BC∥OA，∴∠AOB＝∠OBC.又∵∠ABO＝∠BCO＝90°，∴△AOB∽△OBC.
∴eq \f(OA,BO)＝eq \f(AB,OC).∴eq \f(OA,\f(13,12)|a|)＝eq \f(5,\f(5,12)|a|).∴OA＝13.
∵y轴的左右两侧都有相切的可能，∴点A的坐标为(±13，0)．
15．2eq \r(,3)－eq \f(3,4)π
16．(16eq \r(,2)π＋16π)
三、17．【解】(1)eq \f(1,4)
(2)画树状图如图．
由树状图可知一共有16种可能的结果，每种结果出现的可能性相同．小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的结果有4种，
∴小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率是eq \f(4,16)＝eq \f(1,4).
18．【证明】(1)∵DE为⊙O的直径，∴eq \(EBD,\s\up8(︵))＝eq \(ECD,\s\up8(︵)).
∵直径DE平分∠BDC，
∴∠BDE＝∠CDE.∴eq \(BE,\s\up8(︵))＝eq \(CE,\s\up8(︵)).
∴eq \(EBD,\s\up8(︵))－eq \(BE,\s\up8(︵))＝eq \(ECD,\s\up8(︵))－eq \(CE,\s\up8(︵)).∴eq \(BD,\s\up8(︵))＝eq \(CD,\s\up8(︵)).∴BD＝CD.
(2)∵∠DAF＝∠ACB，∠ACB＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠DAF.∴AF∥BD.
∵AF＝CD，BD＝CD，∴AF＝BD.
∴四边形ABDF为平行四边形．
19．(1)【证明】连接AC，如图所示．
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACF＝90°.
∴∠ACD＋∠FCD＝∠F＋∠CAD＝90°.
∵DF＝DC，∴∠FCD＝∠F.
∴∠ACD＝∠CAD.∴DA＝DC.
(2)【解】连接OD，如图所示．
∵弦CD与直径AB垂直，∴AB垂直平分CD.
∴AC＝AD.又∵DA＝DC，∴AC＝AD＝DC.
∴△ACD是等边三角形．
∴∠ACD＝60°.∴∠AOD＝120°.
过点O作OM⊥AD，垂足为M，
∵OA＝OD，∴∠AOM＝eq \f(1,2)∠AOD＝60°.
∵易得AD＝DF，且DF＝6，∴AD＝6.
∴AM＝eq \f(1,2)AD＝3.
在Rt△AOM中，sin∠AOM＝eq \f(AM,AO)，∴AO＝eq \f(AM,sin∠AOM)，
∴AO＝eq \f(3,\f(\r(3),2))＝2eq \r(,3).∴eq \(AD,\s\up8(︵))的长为eq \f(120π×2\r(,3),180)＝eq \f(4\r(,3)π,3).
20(1)【证明】∵BD＝CD，∴∠C＝∠DBC.又∵∠C＝∠BAD，∴∠BAD＝∠DBC.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＋∠DBA＝90°，∴∠DBC＋∠DBA＝90°，即∠CBA＝90°.
∴AB⊥BC.又∵OB为⊙O的半径，∴BC为⊙O的切线．
(2)【解】如图，过点D作DF⊥BC，垂足为F，
∵eq \(AD,\s\up8(︵))＝eq \(AD,\s\up8(︵))，∴∠ABD＝∠AED，
∴sin∠ABD＝sin∠AED＝eq \f(\r(10),10).
∵在△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝eq \r(10)，sin∠ABD＝eq \f(\r(10),10)，∴AD＝1，
∴BD＝3.
∵DF⊥BC，AB⊥BC，∴DF∥AB，∴∠BDF＝∠ABD.
∵在△BDF中，∠BFD＝90°，BD＝3，
sin∠BDF＝sin∠ABD＝eq \f(\r(10),10)，∴BF＝eq \f(3\r(10),10).
∵BD＝CD，DF⊥BC，∴BC＝2BF＝eq \f(3\r(10),5).
∵四边形ABED内接于⊙O，∴∠CEB＝∠BAD.
∵∠C＝∠BAD，∴∠CEB＝∠C，∴BE＝BC＝eq \f(3\r(10),5).
21．【解】(1)由题图得获奖的总人数为10÷25% ＝40(人), ∴获得一等奖的人数为40－8－6－12－10 ＝4(人)．
补全条形统计图如图所示．
(2)∵获得一等奖的学生中有eq \f(1,4)来自七年级，有eq \f(1,4)来自八年级，其余学生均来自九年级．
∴有1人来自七年级，1人来自八年级，2人来自九年级．
用树状图表示所有可能出现的结果，如图所示．
由树状图可知，共有12 种可能的结果，每种结果出现的可能性相同．所选出的两人恰好为一名七年级学生和一名九年级学生的结果有4 种．∴所选出的两人恰好为一名七年级学生和一名九年级学生的概率为eq \f(4,12)＝eq \f(1,3).
22．(1)【解】如图①所示．

(2)【证明】如图②，作⊙O的直径AM，连接BM，
∴∠ABM＝90°，AM＝2R，
∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°.
∵∠ACB＝∠AMB，∴△ABM∽△ADC.
∴eq \f(AB,AD)＝eq \f(AM,AC)，即eq \f(AB,AD)＝eq \f(2R,AC)，∴R＝eq \f(AB·AC,2AD).
(3)【解】如图③，连接OE，
∵EF为⊙O的切线，∴∠OEF＝90°.
∵∠ACB＝60°，∠ADC＝90°，∴∠DAC＝30°，
∴∠EOC＝60°，∴∠F＝30°.
∵OE＝OC，∠EOC＝60°，
∴△OEC是等边三角形，
∴∠OEC＝60°，
CE＝OE＝R.
∴∠CEF＝30°＝∠F，
∴CE＝CF＝R.
在Rt△ADC中，tan∠ACB＝tan60°＝eq \f(AD,CD)＝eq \f(3\r(,3),CD)，
∴CD＝3，∴BD＝BC－CD＝7－3＝4，
在Rt△ACD中，
AC＝eq \r(AD2＋CD2)＝eq \r(（3\r(,3)）2＋32)＝6，
在Rt△ABD中，
AB＝eq \r(BD2＋AD2)＝eq \r(42＋（3\r(,3)）2)＝eq \r(43)，
代入R＝eq \f(AB·AC,2AD)，得R＝eq \f(\r(129),3)，即CF＝eq \f(\r(129),3).
23．(1)【证明】连接OC，如图，
∵AC平分∠DAB，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴eq \(BC,\s\up8(︵))＝eq \(DC,\s\up8(︵))， ∴OC ⊥BD，
∵CP为⊙O的切线，
∴OC⊥PC，∴BD∥CP .
(2)【解】∵BD∥PC，∴∠ABD＝∠P，
∴cs∠ABD＝csP＝eq \f(4,5).
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.
在Rt△ABD中，∵cs∠ABD＝eq \f(DB,AB)＝eq \f(4,5)，
∴AB＝eq \f(5,4)BD＝eq \f(5,4)×24＝30，∴OB＝OC＝15.
∵OC⊥PC，∴∠OCP＝90°，
在Rt△OCP中，∵csP＝eq \f(PC,PO)＝eq \f(4,5)，
∴设PC＝4x，PO＝5x，
∴OC＝3x，即3x＝15，解得x＝5，∴OP＝5x＝25，
∴BP＝OP－OB＝25－15＝10.
(3)【解】∵四边形OADC为菱形，
∴AD＝OC＝OA＝eq \f(1,2)AB＝2，AD∥OC，
∵∠ADB＝90°，∴sin∠ABD＝eq \f(AD,AB)＝eq \f(1,2)，
∴∠ABD＝30°，
由(2)得∠PCO＝∠ADB＝90°，∠P＝∠ABD＝30°，
∴∠POC＝60°，∴PC＝OC·tan60°＝2eq \r(,3)，
∴阴影部分的面积＝S△POC－S扇形BOC＝eq \f(1,2)OC·PC－eq \f(60×π×22,360)＝2eq \r(,3)－eq \f(2,3)π.
24．【解】(1)把点B的坐标(3，0)，点C的坐标(0，3)代入y＝－x2＋bx＋c，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－9＋3b＋c＝0，,c＝3，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝2，,c＝3，))
∴抛物线的表达式是y＝－x2＋2x＋3.
(2)①令y＝－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，
∴A(－1，0)，∴OA＝1，
∵B(3，0)，C(0，3)，∴OB＝OC＝3，
∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠OBC＝45°，
∵EF∥BC，∴∠FEA＝∠CBO＝45°，
∴当∠AFE＝90°时，△AEF是等腰直角三角形，且FA＝FE，
∴EO＝AO＝FO＝1，
∴△AEF的外接圆半径R＝1，AE＝2.
∵AF＝EF＝AE·sin45°＝eq \f(\r(2),2)×2＝eq \r(2)，
∴eq \f(1,2)AF·r＋eq \f(1,2)EF·r＋eq \f(1,2)AE·r＝eq \f(1,2)AE·FO，即(eq \r(2)＋eq \r(2)＋2)·r＝2，解得r＝eq \r(2)－1，
∴eq \f(r,R)＝eq \r(2)－1.
②∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
∴抛物线的对称轴是直线x＝1，顶点M的坐标是(1，4)，
∴直线x＝1与x轴的交点T的坐标是(1，0)，如图①，
作PQ⊥x轴于点Q，则在直角三角形BPQ中，
PQ＝BP·sin45°＝eq \f(\r(2),2)BP，
∴MP＋eq \f(\r(2),2)BP＝MP＋PQ，
∴当M，P，Q三点共线且MQ⊥x轴时，MP＋eq \f(\r(2),2)BP的值最小，
此时Q，T重合，当点F在△AEC的内角∠ACE的平分线上即∠ACO＝∠ECO时，如图②，∵∠COA＝∠COE＝90°，
CO＝CO，∠ACO＝∠ECO，
∴△ACO≌△ECO，
∴AO＝EO＝1，
∴E，T重合，∵B(3，0)，C(0，3)，
∴直线BC的表达式是y＝－x＋3，
当x＝1时，y＝2，
∴点P的坐标是(1，2)，
∴BE＝PE＝2，
∴S△BPE＝eq \f(1,2)×2×2＝2；
当点F在△AEC的内角∠CAE的平分线上时，如图③，作FK⊥AC于点K，
则OF＝KF，设OF＝KF＝a，则CF＝3－a，
∵sin∠ACO＝eq \f(FK,CF)＝eq \f(OA,AC)，且AC＝eq \r(12＋32)＝eq \r(10)，
∴eq \f(a,3－a)＝eq \f(1,\r(10))，解得a＝eq \f(\r(10)－1,3)，∴OF＝eq \f(\r(10)－1,3)．
∵∠OEF＝∠OBC＝45°，∴OE＝OF＝eq \f(\r(10)－1,3)，
∴BE＝3－OE＝3－eq \f(\r(10)－1,3)＝eq \f(10－\r(10),3)，
∴S△BPE＝eq \f(1,2)×eq \f(10－\r(10),3)×2＝eq \f(10－\r(10),3)；
由于∠OEF＝45°，∠OEC＜90°，
∴点F不可能在△AEC的内角∠AEC的平分线上；
当点E，F重合于点O时，此时OF平分∠AEC即点F在∠AEC的平分线上，符合题意，则BE＝BO＝3，
∴S△BPE＝eq \f(1,2)×3×2＝3.
综上，△BPE的面积为2或3或eq \f(10－\r(10),3)．
顾客数/名
商品
100
217
200
300
85
98
甲
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乙
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丙
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丁
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