2024九年级数学下学期期末综合素质评价二试卷(附解析苏科版)
展开1.tan30°的值等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \r(3)
2.已知线段a=9 cm,c=4 cm,线段x是a,c的比例中项,则x等于( )
A.6 cm B.-6 cm C.±6 cm D.eq \f(81,4) cm
3.已知△ABC∽△DEF,且相似比为1:2,则△ABC与△DEF的周长比为( )
A.1:4 B.4:1 C.1:2 D.2:1
4.某小组做“用频率估计概率”的试验时,统计了某结果出现的频率,绘制了如图的折线统计图,则符合这一结果的试验最有可能的是( )
A.在“石头、剪刀、布”的游戏中,随机出的是“剪刀”
B.掷一个质地均匀的正六面体骰子,向上的面点数是偶数
C.袋子中有1个红球和2个黄球,除颜色外均相同,从中任取一球是黄球
D.洗匀后的1张红桃牌,2张黑桃牌,从中随机抽取一张牌是黑桃牌
5.如图,点P在△ABC的边AC上,要判定△ABP∽△ACB,添加一个条件,不正确的是( )
A.∠ABP=∠C B.∠APB=∠ABC
C.eq \f(AP,AB)=eq \f(AB,AC) D.eq \f(AB,BP)=eq \f(AC,CB)
6.【母题:教材P14思考与探索】将函数y=2x2的图像向上平移1个单位长度,得到的图像对应的函数表达式为( )
A.y=2x2+1 B.y=2(x+1)2
C.y=2x2-1 D.y=2(x-1)2
7. 如图,已知菱形ABCD的边长为4,E是BC的中点,AF平分∠EAD交CD于点F,FG∥AD 交AE于点G,若cs B=eq \f(1,4),则FG的长是( )
A.3 B.eq \f(8,3) C.eq \f(2\r(15),3) D.eq \f(5,2)
8.如图,在△BDE中,∠BDE=90°,BD=4eq \r(2),点D的坐标是(4eq \r(5),0),tan∠BDO=eq \f(1,3),将△BDE旋转到△ABC的位置,点C在BD上,则旋转中心的坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(5),\f(12,5)\r(5))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\r(5),\f(6,5)\r(5)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,5)\r(5),2\r(5))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,5)\r(5),\f(8,5)\r(5)))
二、填空题(每题3分,共30分)
9.【2023·大庆】为了调查某品牌护眼灯的使用寿命,比较适合的调查方式是____________(填“普查”或“抽样调查”).
10.【母题:教材P41例2】若eq \f(a,b)=eq \f(3,4),且a+b=7,则a的值为________.
11.某校组织九年级学生开展了一次“学科综合素养”调查,并从中抽取了若干名学生的成绩(单位:分)进行了统计(成绩均为整数),绘制成如下频数分布直方图,已知该校九年级共有学生950人,则本次调查中成绩高于80分的学生共有________人.
12.如图,已知△ABC与△A1B1C1是位似图形,位似中心是O,若△ABC与△A1B1C1的周长比为2∶1,△A1B1C1的面积为3,则△ABC的面积为________.
13.【母题:教材P17例题】二次函数y=x2-4x-1的图像开口向________,顶点坐标为________.
14.【2023·本溪】如图,矩形ABCD的边AB平行于x轴,反比例函数y=eq \f(k,x)(x>0)的图像经过点B,D,对角线CA的延长线经过原点O,且AC=2AO,若矩形ABCD的面积是8,则k的值为________.
15.四边形具有不稳定性:如图,将面积为5的矩形“推”成面积为4的平行四边形,则cs α的值为________.
16.将一盒足量的牛奶按如图①所示倒入一个水平放置的长方体容器中,当容器中的牛奶刚好接触到点P时停止倒入,图②是它的平面示意图,根据图中的信息求出容器中牛奶的高度CF为________cm.
17.抛物线y=x2+px+q(p,q为常数)的顶点M关于y轴的对称点为(-3,n).该抛物线与x轴相交于不同的两点(x1,0),(x2,0),且x12x22-x1-x2=115,则p+q+n的值为________.
18.【2023·无锡侨谊实验中学期末】已知二次函数y=ax2-4ax+4的图像开口向下,与y轴的交点为A,顶点为B,对称轴与x轴的交点为C,点A与点D关于对称轴对称,直线BD与x轴交于点M,直线AB与直线OD交于点N,当点N在第一象限,且∠OMB=∠ONA时,a=________.
三、解答题(19~25题每题8分,26题10分,共66分)
19.计算:
(1)2sin 60°-3tan 45°+eq \r(9); (2)eq \f(cs 30°,1+sin 30°)+tan 60°.
20.如图,在等边三角形ABC中,P为BC上一点,D为AC上一点,且∠APD=60°,BP=1,CD=eq \f(2,3).
(1)求证:△ABP∽△PCD;
(2)求△ABC的边长.
21.如图,在△ABC中,AD是边BC上的高,sin C=eq \f(\r(2),2),tan B=eq \f(1,2),AD=2.
(1)求cs∠BAD的值;
(2)求△ABC的面积.
22. 2023年6月4日6时33分,神舟十五号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆,如图,某一时刻在观测点D测得返回舱底部C的仰角∠CDE=45°,降落伞底面圆A点处的仰角∠ADE=46°12′.已知半径OA长14 m,拉绳AB长50 m,返回舱高度BC为2 m,求返回舱底部离地面的高度CE约为多少米(精确到1 m)(参考数据:sin 46°12′≈0.72, cs 46°12′≈0.69,tan 46°12′≈1.04).
23.为了庆祝第31届世界大学生夏季运动会,某学校积极开设了乒乓球、篮球、足球、自行车越野四种课程(依次用A,B,C,D表示),为了解学生对这四种课程的喜好情况,校学生会随机抽取部分学生进行了“你最喜欢哪一种课程(必选且只选一种)”的问卷调查.根据调查结果,小明同学绘制了如图所示的不完整的两个统计图.
(1)请根据统计图将下面的信息补充完整:
①参加问卷调查的学生共有________人;
②扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角的度数为________.
(2)若该校共有学生1 200人,请你估计该校全体学生中最喜欢C课程的学生有多少人.
(3)现从最喜欢乒乓球的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人比赛,请用画树状图法或列表法求“恰好甲和丁同学被选到”的概率.
24.如图,抛物线y=ax2+bx与x轴交于O,A两点,C(2,5)是抛物线的顶点.
(1)求抛物线的表达式.
(2)作CD⊥x轴于点D,P为抛物线上位于点A,C之间的一点,连接OP,若OP恰好平分△COD的面积,求点P的坐标.
25.【2023·恩施州】如图,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,点O为AB的中点,连接CO交⊙O于点E,⊙O与AC相切于点D.
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)延长CO交⊙O于点G,连接AG交⊙O于点F,若AC=4eq \r(2),求FG的长.
26.【2023·福建】阅读下列材料,回答问题.
(1)补全小明求解过程中①②③所缺的内容.
(2)小明求得AB用到的几何知识是__________________.
(3)小明仅利用皮尺,通过5次测量,求得AB.请你同时利用皮尺和测角仪,通过测量长度、角度等几何量,并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度AB,写出你的测量及求解过程.
答案
一、1.B 2.A 3.C
4.B
5.D 【点拨】A.当∠ABP=∠C时,
又∵∠A=∠A,∴△ABP∽△ACB,
故此选项不合题意;
B.当∠APB=∠ABC时,
又∵∠A=∠A,∴△ABP∽△ACB,
故此选项不合题意;
C.当eq \f(AP,AB)=eq \f(AB,AC)时,
又∵∠A=∠A,∴△ABP∽△ACB,
故此选项不合题意;
D.无法得到△ABP∽△ACB,故此选项符合题意.
故选D.
6.A
7.B 【点拨】如图,过点A作AH垂直BC于点H,延长FG交AB于点P.
由题意可知,AB=BC=AD=4,E是BC的中点,
∴BE=2.
∵cs B=eq \f(1,4),∴BH=1,即H是BE的中点.
∴AB=AE=4.
又∵AF是∠DAE的平分线,FG∥AD,
∴∠FAG=∠DAF,∠DAF=∠AFG.
∴∠FAG=∠AFG.∴AG=FG.
易知四边形ADFP是平行四边形,
∴PF=AD=4.
设FG=x,则AG=x,∴EG=PG=4-x.
∵AB=AE,∴∠B=∠AEB.
易知PF∥BC,∴∠AGP=∠AEB=∠B.
∴cs∠AGP=cs B=eq \f(1,4).
易得cs∠AGP=eq \f(\f(1,2)PG,AG)=eq \f(\f(1,2)(4-x),x)=eq \f(1,4),解得x=eq \f(8,3).
∴FG的长为eq \f(8,3).
8.D 【点拨】根据题意得AB,BD的垂直平分线的交点即为旋转中心点P.连接PD,过点P作PF⊥x轴于点F,过点P作PH⊥BD于点H,并延长交x轴于点G,如图.
由题意知点P到AB,BD的距离相等,都是eq \f(1,2)BD,
即PH=DH=eq \f(1,2)×4eq \r(2)=2eq \r(2).
∴PD=eq \r(2)×2eq \r(2)=4.
∵tan∠BDO=eq \f(HG,DH)=eq \f(1,3),∴HG=eq \f(2\r(2),3).
∴PG=eq \f(8\r(2),3),DG=eq \r(GH2+DH2)=eq \f(4\r(5),3).
设DF=x,则GF=eq \f(4\r(5),3)-x,
由勾股定理得PF2=PG2-GF2=PD2-DF2,
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8\r(2),3)))eq \s\up12(2)-eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4\r(5),3)-x))eq \s\up12(2)=42-x2,解得x=eq \f(4\r(5),5).
∴DF=eq \f(4\r(5),5).∴PF=eq \r(PD2-DF2)=eq \f(8\r(5),5).
∵Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4\r(5),0)),即OD=4eq \r(5),
∴OF=OD-DF=eq \f(16\r(5),5).
∴点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,5)\r(5),\f(8,5)\r(5))).
二、9.抽样调查 10.3 11.342
12.12 【点拨】根据位似图形的周长之比等于位似比,位似图形的面积之比等于位似比的平方进行求解即可.
13.上 ;(2,-5) 【点拨】∵y=x2-4x-1=(x-2)2-5,1>0,
∴二次函数y=x2-4x-1的图像开口向上,
顶点坐标为(2,-5).
14.6 【点拨】如图,延长CD交y轴于点E,连接OD.
∵矩形ABCD的面积是8,
∴S△ADC=4.
∵AC=2AO,
∴S△ADO=2.
易知AD∥OE,
∴△ACD∽△OCE,
∴AD:OE=AC:OC=2:3,
∴S△ADO:S△ODE=2:3,
∴S△ODE=3.
由几何意义得,eq \f(|k|,2)=3.
又∵k>0,∴k=6.
15.eq \f(3,5) 【点拨】如图,在▱ABCD中,过点A作AH⊥BC于点H.
由题意得BC·AB=5,BC·AH=4,
∴eq \f(BC·AH,BC·AB)=eq \f(4,5).∴eq \f(AH,AB)=eq \f(4,5).
设AH=4x,AB=5x,
∴BH=eq \r(AB2-AH2)=3x.
∴cs α=eq \f(BH,AB)=eq \f(3,5).
16.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(12-\f(5\r(3),2))) 【点拨】在Rt△ABP中,
∵∠APB=90°,∠ABP=30°,AB=10 cm,
∴AP=eq \f(1,2)AB=5 cm,∠BAP=60°.
∴∠EAP=30°.∴EP=eq \f(1,2)AP=eq \f(5,2) cm.
∴PF=10-eq \f(5,2)=eq \f(15,2)(cm).
∵EF∥AB,∴∠BPF=∠ABP=30°.
∵∠BFP=90°,∴tan 30°=eq \f(BF,PF).
∴BF=eq \f(15,2)×eq \f(\r(3),3)=eq \f(5\r(3),2)(cm).∴CF=BC-BF=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(12-\f(5\r(3),2))) cm.
17.-37 【点拨】∵顶点M关于y轴的对称点为(-3,n),
∴M(3,n).
∴-eq \f(p,2)=3,n=eq \f(4q-p2,4).
∴p=-6,n=q-9.
∵抛物线与x轴相交于不同的两点(x1,0),(x2,0),
∴x1+x2=-p=6,x1·x2=q,且p2-4q>0.
∴4q<36.
∴q<9.
∵x12x22-x1-x2=115,
∴(x1x2)2-(x1+x2)=115.
∴q2-6=115.
∴q=-11或q=11(舍去).
∴n=q-9=-20.
∴p+q+n=-6-11-20=-37.
18.eq \f(1-\r(2),2) 【点拨】令x=0,则y=ax2-4ax+4=4,
∴A(0,4).
∵y=ax2-4ax+4=a(x-2)2-4a+4,
∴对称轴为直线x=2,
B(2,4-4a),C(2,0).
∵点A与点D关于对称轴对称,
∴D(4,4).∴∠DOM=45°.
∵∠OMB=∠ONA,∠ODM=∠BDN,
∴∠NBD=∠DOM=45°.
如图所示,连接AD,交对称轴于点H,则H(2,4),作DG垂直AN于点G,设DG=m,易得BG=m,
∴AB=BD=eq \r(2)m.∴AG=AB+BG=eq \r(2)m+m.
∴tan∠DAG=eq \f(BH,AH)=eq \f(DG,AG)=eq \f(m,\r(2)m+m)=eq \r(2)-1.
∵B(2,4-4a),H(2,4),∴BC=4-4a,CH=4,AH=2.
∴BH=BC-CH=-4a.∴eq \f(BH,AH)=eq \f(-4a,2)=eq \r(2)-1,
解得a=eq \f(1-\r(2),2).
三、19.【解】(1)2sin 60°-3tan 45°+eq \r(9)
=eq \r(3)-3+3
=eq \r(3).
(2)eq \f(cs 30°,1+sin 30°)+tan 60°
=eq \f(\f(\r(3),2),1+\f(1,2))+eq \r(3)
=eq \f(4\r(3),3).
20.(1)【证明】∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=AC,∠B=∠C=60°.
∴∠BAP+∠APB=180°-60°=120°.
∵∠APD=60°,
∴∠APB+∠DPC=180°-60°=120°.
∴∠BAP=∠DPC.
∴△ABP∽△PCD.
(2)【解】∵△ABP∽△PCD,∴eq \f(AB,CP)=eq \f(BP,CD).
设△ABC的边长为x,∴CP=BC-BP=x-1.
∴eq \f(x,x-1)=eq \f(1,\f(2,3)),解得x=3,
即△ABC的边长为3.
21.【解】(1)∵在Rt△ABD中,tan B=eq \f(AD,BD)=eq \f(1,2),AD=2,
∴BD=4.∴AB=eq \r(AD2+BD2)=2eq \r(5).
∴cs∠BAD=eq \f(AD,AB)=eq \f(\r(5),5).
(2)∵sin C=eq \f(\r(2),2),∴∠C=45°.
∵tan C=eq \f(AD,CD)=1,AD=2,
∴CD=2.∴BC=BD+CD=6.
∴S△ABC=eq \f(1,2)×AD×BC=6.
22.【解】由题易知EF=OA=14 m,AF=OE.
在Rt△AOB中,由勾股定理得,OB=eq \r(AB2-OA2)=eq \r(502-142)=48(m).
∵∠CDE=45°,∠DEC=90°,
∴△CDE是等腰直角三角形.
∴DE=CE.
设DE=CE=x m,
则AF=OE=OB+BC+CE=(50+x)m,
DF=DE-EF=(x-14)m.
在Rt△ADF中,∵∠ADE=46°12′,
∴tan 46°12′=eq \f(AF,DF)=eq \f(50+x,x-14)≈1.04,
解得x≈1 614.
∴CE≈1 614 m.
答:返回舱底部离地面的高度CE约为1 614 m.
23.【解】(1)①240 ②36°
(2)由题意知,最喜欢D课程的人数所占百分比
为eq \f(24,240)×100%=10%,
∴最喜欢C课程的人数所占百分比为
1-(25%+35%+10%)=30%.
∴估计该校全体学生中最喜欢C课程的学生有
1 200×30%=360(人).
(3)由题意画树状图如图:
共有12种等可能的结果,其中“恰好甲和丁同学被选到”有2种,
∴“恰好甲和丁同学被选到”的概率为eq \f(2,12)=eq \f(1,6).
24.【解】(1)∵C(2,5)是抛物线的顶点,
∴抛物线对称轴为直线x=2.
∴A(4,0).
∵点A(4,0),C(2,5)在抛物线y=ax2+bx上,
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(16a+4b=0,,4a+2b=5,)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a=-\f(5,4),,b=5.))
∴抛物线的表达式为y=-eq \f(5,4)x2+5x.
(2)∵OP恰好平分△COD的面积,
∴OP经过CD的中点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2,\f(5,2))).
设直线OP的表达式为y=kx,
∴2k=eq \f(5,2),解得k=eq \f(5,4).
∴直线OP的表达式为y=eq \f(5,4)x.
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y=\f(5,4)x,,y=-\f(5,4)x2+5x,))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1=0,,y1=0,)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2=3,,y2=\f(15,4).))
∴点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3,\f(15,4))).
25.(1)【证明】如图,连接OD,作OM⊥BC于M.
由题意得AC=BC,
∵O是AB的中点,
∴CO平分∠ACB.
∵AC是⊙O的切线,∴OD⊥AC.
∴OD=OM.
∴BC是⊙O的切线.
(2)【解】如图,作OH⊥AG于H,∴∠GHO=90°,FG=2GH.
易得CG⊥AB,△OAC和△AOD是等腰直角三角形,
∴∠AOG=90°=∠GHO,OA=eq \f(\r(2),2)AC=eq \f(\r(2),2)×4eq \r(2)=4.
∴OD=eq \f(\r(2),2)AO=2eq \r(2),
∴OG=2eq \r(2),
∴AG=eq \r(OA2+OG2)=2eq \r(6).
∵∠GHO=∠GOA,∠G=∠G,
∴△GHO∽△GOA,
∴eq \f(GH,OG)=eq \f(OG,AG),即eq \f(GH,2\r(2))=eq \f(2\r(2),2\r(6)),
解得GH=eq \f(2\r(6),3).
∴FG=eq \f(4\r(6),3).
26.【解】(1)①∠C=∠C;②3c;③3c
(2)相似三角形的判定和性质
(3)测量过程:
ⅰ.在小水池外选点C,如图,用测角仪在点B处测得
∠ABC=α,在点A处测得∠BAC=β;
ⅱ.用皮尺测得BC=a m.
求解过程:由测量知,在△ABC中,∠ABC=α,∠BAC=β,BC=a m.
过点C作CD⊥AB,垂足为D.
在Rt△CBD中,cs∠CBD=eq \f(BD,BC),
即csα=eq \f(BD,a),
∴BD=acs α m.
同理,CD=asin α m.
在Rt△ACD中,tan∠CAD=eq \f(CD,AD),
即tan β=eq \f(asin α,AD),
∴AD=eq \f(asin α,tan β) m,
∴AB=BD+AD=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(acs α+\f(asin α,tan β)))m.
故小水池的最大宽度AB为(acs α+eq \f(asin α,tan β))m.
任务:测量一个扁平状的小水池的最大宽度,该水池东西走向的最大宽度AB远大于南北走向的最大宽度,如图①.
工具:一把皮尺(测量长度略小于AB)和一台测角仪,如图②.皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离(这两点间的距离不大于皮尺的测量长度);测角仪的功能是测量角的大小,即在任一点O处,对其视线可及的P,Q两点,可测得∠POQ的大小,如图③.
小明利用皮尺测量,求出了小水池的最大宽度AB.其测量及求解过程如下.
测量过程:
ⅰ.在小水池外选点C,如图④,测得AC=a m,BC=b m;
ⅱ.分别在AC,BC上测得CM=eq \f(a,3) m,CN=eq \f(b,3) m,
测得MN=c m. 求解过程:
由测量知,AC=a m,BC=b m,CM=eq \f(a,3) m,CN=eq \f(b,3) m,∴eq \f(CM,CA)=eq \f(CN,CB)=eq \f(1,3).
又∵①____________,
∴△CMN∽△CAB,∴eq \f(MN,AB)=eq \f(1,3).
又∵MN=c m,∴AB=②________m.
故小水池的最大宽度为③________m.
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