2024九年级数学下学期期末综合素质评价二试卷（附解析苏科版）

这是一份2024九年级数学下学期期末综合素质评价二试卷（附解析苏科版），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．tan30°的值等于( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(3),3) C．eq \f(\r(2),2) D．eq \r(3)
2．已知线段a＝9 cm，c＝4 cm，线段x是a，c的比例中项，则x等于( )
A．6 cm B．－6 cm C．±6 cm D．eq \f(81,4) cm
3．已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的周长比为( )
A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1
4．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是( )
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，随机出的是“剪刀”
B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数
C．袋子中有1个红球和2个黄球，除颜色外均相同，从中任取一球是黄球
D．洗匀后的1张红桃牌，2张黑桃牌，从中随机抽取一张牌是黑桃牌
5．如图，点P在△ABC的边AC上，要判定△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是( )
A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC
C．eq \f(AP,AB)＝eq \f(AB,AC) D．eq \f(AB,BP)＝eq \f(AC,CB)
6．【母题：教材P14思考与探索】将函数y＝2x2的图像向上平移1个单位长度，得到的图像对应的函数表达式为( )
A．y＝2x2＋1 B．y＝2(x＋1)2
C．y＝2x2－1 D．y＝2(x－1)2
7. 如图，已知菱形ABCD的边长为4，E是BC的中点，AF平分∠EAD交CD于点F，FG∥AD 交AE于点G，若cs B＝eq \f(1,4)，则FG的长是( )
A．3 B．eq \f(8,3) C．eq \f(2\r(15),3) D．eq \f(5,2)
8．如图，在△BDE中，∠BDE＝90°，BD＝4eq \r(2)，点D的坐标是(4eq \r(5)，0)，tan∠BDO＝eq \f(1,3)，将△BDE旋转到△ABC的位置，点C在BD上，则旋转中心的坐标为( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(5)，\f(12,5)\r(5))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\r(5)，\f(6,5)\r(5)))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,5)\r(5)，2\r(5))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,5)\r(5)，\f(8,5)\r(5)))
二、填空题(每题3分，共30分)
9．【2023·大庆】为了调查某品牌护眼灯的使用寿命，比较适合的调查方式是____________(填“普查”或“抽样调查”)．
10．【母题：教材P41例2】若eq \f(a,b)＝eq \f(3,4)，且a＋b＝7，则a的值为________．
11．某校组织九年级学生开展了一次“学科综合素养”调查，并从中抽取了若干名学生的成绩(单位：分)进行了统计(成绩均为整数)，绘制成如下频数分布直方图，已知该校九年级共有学生950人，则本次调查中成绩高于80分的学生共有________人．
12．如图，已知△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似中心是O，若△ABC与△A1B1C1的周长比为2∶1，△A1B1C1的面积为3，则△ABC的面积为________．
13．【母题：教材P17例题】二次函数y＝x2－4x－1的图像开口向________，顶点坐标为________．
14．【2023·本溪】如图，矩形ABCD的边AB平行于x轴，反比例函数y＝eq \f(k,x)(x>0)的图像经过点B，D，对角线CA的延长线经过原点O，且AC＝2AO，若矩形ABCD的面积是8，则k的值为________．
15．四边形具有不稳定性：如图，将面积为5的矩形“推”成面积为4的平行四边形，则cs α的值为________．
16．将一盒足量的牛奶按如图①所示倒入一个水平放置的长方体容器中，当容器中的牛奶刚好接触到点P时停止倒入，图②是它的平面示意图，根据图中的信息求出容器中牛奶的高度CF为________cm.
17．抛物线y＝x2＋px＋q(p，q为常数)的顶点M关于y轴的对称点为(－3，n)．该抛物线与x轴相交于不同的两点(x1，0)，(x2，0)，且x12x22－x1－x2＝115，则p＋q＋n的值为________．
18．【2023·无锡侨谊实验中学期末】已知二次函数y＝ax2－4ax＋4的图像开口向下，与y轴的交点为A，顶点为B，对称轴与x轴的交点为C，点A与点D关于对称轴对称，直线BD与x轴交于点M，直线AB与直线OD交于点N，当点N在第一象限，且∠OMB＝∠ONA时，a＝________.
三、解答题(19～25题每题8分，26题10分，共66分)
19．计算：
(1)2sin 60°－3tan 45°＋eq \r(9)； (2)eq \f(cs 30°,1＋sin 30°)＋tan 60°.
20．如图，在等边三角形ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，BP＝1，CD＝eq \f(2,3).
(1)求证：△ABP∽△PCD；
(2)求△ABC的边长．
21．如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，sin C＝eq \f(\r(2),2)，tan B＝eq \f(1,2)，AD＝2.
(1)求cs∠BAD的值；
(2)求△ABC的面积．
22. 2023年6月4日6时33分，神舟十五号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，如图，某一时刻在观测点D测得返回舱底部C的仰角∠CDE＝45°，降落伞底面圆A点处的仰角∠ADE＝46°12′.已知半径OA长14 m，拉绳AB长50 m，返回舱高度BC为2 m，求返回舱底部离地面的高度CE约为多少米(精确到1 m)(参考数据：sin 46°12′≈0.72， cs 46°12′≈0.69，tan 46°12′≈1.04)．
23．为了庆祝第31届世界大学生夏季运动会，某学校积极开设了乒乓球、篮球、足球、自行车越野四种课程(依次用A，B，C，D表示)，为了解学生对这四种课程的喜好情况，校学生会随机抽取部分学生进行了“你最喜欢哪一种课程(必选且只选一种)”的问卷调查．根据调查结果，小明同学绘制了如图所示的不完整的两个统计图．
(1)请根据统计图将下面的信息补充完整：
①参加问卷调查的学生共有________人；
②扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角的度数为________．
(2)若该校共有学生1 200人，请你估计该校全体学生中最喜欢C课程的学生有多少人．
(3)现从最喜欢乒乓球的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人比赛，请用画树状图法或列表法求“恰好甲和丁同学被选到”的概率．
24．如图，抛物线y＝ax2＋bx与x轴交于O，A两点，C(2，5)是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的表达式．
(2)作CD⊥x轴于点D，P为抛物线上位于点A，C之间的一点，连接OP，若OP恰好平分△COD的面积，求点P的坐标．
25．【2023·恩施州】如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点O为AB的中点，连接CO交⊙O于点E，⊙O与AC相切于点D.
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)延长CO交⊙O于点G，连接AG交⊙O于点F，若AC＝4eq \r(2)，求FG的长．
26．【2023·福建】阅读下列材料，回答问题．
(1)补全小明求解过程中①②③所缺的内容．
(2)小明求得AB用到的几何知识是__________________．
(3)小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得AB.请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度AB，写出你的测量及求解过程．

答案
一、1．B 2．A 3．C
4．B
5．D 【点拨】A.当∠ABP＝∠C时，
又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，
故此选项不合题意；
B．当∠APB＝∠ABC时，
又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，
故此选项不合题意；
C．当eq \f(AP,AB)＝eq \f(AB,AC)时，
又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，
故此选项不合题意；
D．无法得到△ABP∽△ACB，故此选项符合题意．
故选D.
6．A
7．B 【点拨】如图，过点A作AH垂直BC于点H，延长FG交AB于点P.
由题意可知，AB＝BC＝AD＝4，E是BC的中点，
∴BE＝2.
∵cs B＝eq \f(1,4)，∴BH＝1，即H是BE的中点．
∴AB＝AE＝4.
又∵AF是∠DAE的平分线，FG∥AD，
∴∠FAG＝∠DAF，∠DAF＝∠AFG.
∴∠FAG＝∠AFG.∴AG＝FG.
易知四边形ADFP是平行四边形，
∴PF＝AD＝4.
设FG＝x，则AG＝x，∴EG＝PG＝4－x.
∵AB＝AE，∴∠B＝∠AEB.
易知PF∥BC，∴∠AGP＝∠AEB＝∠B.
∴cs∠AGP＝cs B＝eq \f(1,4).
易得cs∠AGP＝eq \f(\f(1,2)PG,AG)＝eq \f(\f(1,2)(4－x),x)＝eq \f(1,4)，解得x＝eq \f(8,3).
∴FG的长为eq \f(8,3).
8．D 【点拨】根据题意得AB，BD的垂直平分线的交点即为旋转中心点P.连接PD，过点P作PF⊥x轴于点F，过点P作PH⊥BD于点H，并延长交x轴于点G，如图．
由题意知点P到AB，BD的距离相等，都是eq \f(1,2)BD，
即PH＝DH＝eq \f(1,2)×4eq \r(2)＝2eq \r(2).
∴PD＝eq \r(2)×2eq \r(2)＝4.
∵tan∠BDO＝eq \f(HG,DH)＝eq \f(1,3)，∴HG＝eq \f(2\r(2),3).
∴PG＝eq \f(8\r(2),3)，DG＝eq \r(GH2＋DH2)＝eq \f(4\r(5),3).
设DF＝x，则GF＝eq \f(4\r(5),3)－x，
由勾股定理得PF2＝PG2－GF2＝PD2－DF2，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8\r(2),3)))eq \s\up12(2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4\r(5),3)－x))eq \s\up12(2)＝42－x2，解得x＝eq \f(4\r(5),5).
∴DF＝eq \f(4\r(5),5).∴PF＝eq \r(PD2－DF2)＝eq \f(8\r(5),5).
∵Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4\r(5)，0))，即OD＝4eq \r(5)，
∴OF＝OD－DF＝eq \f(16\r(5),5).
∴点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,5)\r(5)，\f(8,5)\r(5))).
二、9．抽样调查 10．3 11．342
12．12 【点拨】根据位似图形的周长之比等于位似比，位似图形的面积之比等于位似比的平方进行求解即可．
13．上 ；(2，－5) 【点拨】∵y＝x2－4x－1＝(x－2)2－5，1>0，
∴二次函数y＝x2－4x－1的图像开口向上，
顶点坐标为(2，－5)．
14．6 【点拨】如图，延长CD交y轴于点E，连接OD.
∵矩形ABCD的面积是8，
∴S△ADC＝4.
∵AC＝2AO，
∴S△ADO＝2.
易知AD∥OE，
∴△ACD∽△OCE，
∴AD：OE＝AC：OC＝2：3，
∴S△ADO：S△ODE＝2：3，
∴S△ODE＝3.
由几何意义得，eq \f(|k|,2)＝3.
又∵k>0，∴k＝6.
15．eq \f(3,5) 【点拨】如图，在▱ABCD中，过点A作AH⊥BC于点H.
由题意得BC·AB＝5，BC·AH＝4，
∴eq \f(BC·AH,BC·AB)＝eq \f(4,5).∴eq \f(AH,AB)＝eq \f(4,5).
设AH＝4x，AB＝5x，
∴BH＝eq \r(AB2－AH2)＝3x.
∴cs α＝eq \f(BH,AB)＝eq \f(3,5).
16．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(12－\f(5\r(3),2))) 【点拨】在Rt△ABP中，
∵∠APB＝90°，∠ABP＝30°，AB＝10 cm，
∴AP＝eq \f(1,2)AB＝5 cm，∠BAP＝60°.
∴∠EAP＝30°.∴EP＝eq \f(1,2)AP＝eq \f(5,2) cm.
∴PF＝10－eq \f(5,2)＝eq \f(15,2)(cm)．
∵EF∥AB，∴∠BPF＝∠ABP＝30°.
∵∠BFP＝90°，∴tan 30°＝eq \f(BF,PF).
∴BF＝eq \f(15,2)×eq \f(\r(3),3)＝eq \f(5\r(3),2)(cm)．∴CF＝BC－BF＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(12－\f(5\r(3),2))) cm.
17．－37 【点拨】∵顶点M关于y轴的对称点为(－3，n)，
∴M(3，n)．
∴－eq \f(p,2)＝3，n＝eq \f(4q－p2,4).
∴p＝－6，n＝q－9.
∵抛物线与x轴相交于不同的两点(x1，0)，(x2，0)，
∴x1＋x2＝－p＝6，x1·x2＝q，且p2－4q>0.
∴4q<36.
∴q<9.
∵x12x22－x1－x2＝115，
∴(x1x2)2－(x1＋x2)＝115.
∴q2－6＝115.
∴q＝－11或q＝11(舍去)．
∴n＝q－9＝－20.
∴p＋q＋n＝－6－11－20＝－37.
18．eq \f(1－\r(2),2) 【点拨】令x＝0，则y＝ax2－4ax＋4＝4，
∴A(0，4)．
∵y＝ax2－4ax＋4＝a(x－2)2－4a＋4，
∴对称轴为直线x＝2，
B(2，4－4a)，C(2，0)．
∵点A与点D关于对称轴对称，
∴D(4，4)．∴∠DOM＝45°.
∵∠OMB＝∠ONA，∠ODM＝∠BDN，
∴∠NBD＝∠DOM＝45°.
如图所示，连接AD，交对称轴于点H，则H(2，4)，作DG垂直AN于点G，设DG＝m，易得BG＝m，
∴AB＝BD＝eq \r(2)m.∴AG＝AB＋BG＝eq \r(2)m＋m.
∴tan∠DAG＝eq \f(BH,AH)＝eq \f(DG,AG)＝eq \f(m,\r(2)m＋m)＝eq \r(2)－1.
∵B(2，4－4a)，H(2，4)，∴BC＝4－4a，CH＝4，AH＝2.
∴BH＝BC－CH＝－4a.∴eq \f(BH,AH)＝eq \f(－4a,2)＝eq \r(2)－1，
解得a＝eq \f(1－\r(2),2).
三、19.【解】(1)2sin 60°－3tan 45°＋eq \r(9)
＝eq \r(3)－3＋3
＝eq \r(3).
(2)eq \f(cs 30°,1＋sin 30°)＋tan 60°
＝eq \f(\f(\r(3),2),1＋\f(1,2))＋eq \r(3)
＝eq \f(4\r(3),3).
20．(1)【证明】∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°.
∴∠BAP＋∠APB＝180°－60°＝120°.
∵∠APD＝60°，
∴∠APB＋∠DPC＝180°－60°＝120°.
∴∠BAP＝∠DPC.
∴△ABP∽△PCD.
(2)【解】∵△ABP∽△PCD，∴eq \f(AB,CP)＝eq \f(BP,CD).
设△ABC的边长为x，∴CP＝BC－BP＝x－1.
∴eq \f(x,x－1)＝eq \f(1,\f(2,3))，解得x＝3，
即△ABC的边长为3.
21．【解】(1)∵在Rt△ABD中，tan B＝eq \f(AD,BD)＝eq \f(1,2)，AD＝2，
∴BD＝4.∴AB＝eq \r(AD2＋BD2)＝2eq \r(5).
∴cs∠BAD＝eq \f(AD,AB)＝eq \f(\r(5),5).
(2)∵sin C＝eq \f(\r(2),2)，∴∠C＝45°.
∵tan C＝eq \f(AD,CD)＝1，AD＝2，
∴CD＝2.∴BC＝BD＋CD＝6.
∴S△ABC＝eq \f(1,2)×AD×BC＝6.
22．【解】由题易知EF＝OA＝14 m，AF＝OE.
在Rt△AOB中，由勾股定理得，OB＝eq \r(AB2－OA2)＝eq \r(502－142)＝48(m)．
∵∠CDE＝45°，∠DEC＝90°，
∴△CDE是等腰直角三角形．
∴DE＝CE.
设DE＝CE＝x m，
则AF＝OE＝OB＋BC＋CE＝(50＋x)m，
DF＝DE－EF＝(x－14)m.
在Rt△ADF中，∵∠ADE＝46°12′，
∴tan 46°12′＝eq \f(AF,DF)＝eq \f(50＋x,x－14)≈1.04，
解得x≈1 614.
∴CE≈1 614 m.
答：返回舱底部离地面的高度CE约为1 614 m.
23．【解】(1)①240 ②36°
(2)由题意知，最喜欢D课程的人数所占百分比
为eq \f(24,240)×100%＝10%，
∴最喜欢C课程的人数所占百分比为
1－(25%＋35%＋10%)＝30%.
∴估计该校全体学生中最喜欢C课程的学生有
1 200×30%＝360(人)．
(3)由题意画树状图如图：
共有12种等可能的结果，其中“恰好甲和丁同学被选到”有2种，
∴“恰好甲和丁同学被选到”的概率为eq \f(2,12)＝eq \f(1,6).
24．【解】(1)∵C(2，5)是抛物线的顶点，
∴抛物线对称轴为直线x＝2.
∴A(4，0)．
∵点A(4，0)，C(2，5)在抛物线y＝ax2＋bx上，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(16a＋4b＝0，,4a＋2b＝5，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－\f(5,4)，,b＝5.))
∴抛物线的表达式为y＝－eq \f(5,4)x2＋5x.
(2)∵OP恰好平分△COD的面积，
∴OP经过CD的中点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(5,2))).
设直线OP的表达式为y＝kx，
∴2k＝eq \f(5,2)，解得k＝eq \f(5,4).
∴直线OP的表达式为y＝eq \f(5,4)x.
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(5,4)x，,y＝－\f(5,4)x2＋5x，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＝0，,y1＝0，)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＝3，,y2＝\f(15,4).))
∴点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(15,4))).
25．(1)【证明】如图，连接OD，作OM⊥BC于M.
由题意得AC＝BC，
∵O是AB的中点，
∴CO平分∠ACB.
∵AC是⊙O的切线，∴OD⊥AC.
∴OD＝OM.
∴BC是⊙O的切线．
(2)【解】如图，作OH⊥AG于H，∴∠GHO＝90°，FG＝2GH.
易得CG⊥AB，△OAC和△AOD是等腰直角三角形，
∴∠AOG＝90°＝∠GHO，OA＝eq \f(\r(2),2)AC＝eq \f(\r(2),2)×4eq \r(2)＝4.
∴OD＝eq \f(\r(2),2)AO＝2eq \r(2)，
∴OG＝2eq \r(2)，
∴AG＝eq \r(OA2＋OG2)＝2eq \r(6).
∵∠GHO＝∠GOA，∠G＝∠G，
∴△GHO∽△GOA，
∴eq \f(GH,OG)＝eq \f(OG,AG)，即eq \f(GH,2\r(2))＝eq \f(2\r(2),2\r(6))，
解得GH＝eq \f(2\r(6),3).
∴FG＝eq \f(4\r(6),3).
26．【解】(1)①∠C＝∠C；②3c；③3c
(2)相似三角形的判定和性质
(3)测量过程：
ⅰ.在小水池外选点C，如图，用测角仪在点B处测得
∠ABC＝α，在点A处测得∠BAC＝β；
ⅱ.用皮尺测得BC＝a m.
求解过程：由测量知，在△ABC中，∠ABC＝α，∠BAC＝β，BC＝a m.
过点C作CD⊥AB，垂足为D.
在Rt△CBD中，cs∠CBD＝eq \f(BD,BC)，
即csα＝eq \f(BD,a)，
∴BD＝acs α m.
同理，CD＝asin α m.
在Rt△ACD中，tan∠CAD＝eq \f(CD,AD)，
即tan β＝eq \f(asin α,AD)，
∴AD＝eq \f(asin α,tan β) m，
∴AB＝BD＋AD＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(acs α＋\f(asin α,tan β)))m.
故小水池的最大宽度AB为(acs α＋eq \f(asin α,tan β))m.
任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度AB远大于南北走向的最大宽度，如图①.
工具：一把皮尺(测量长度略小于AB)和一台测角仪，如图②.皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离(这两点间的距离不大于皮尺的测量长度)；测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P，Q两点，可测得∠POQ的大小，如图③.
小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度AB.其测量及求解过程如下．
测量过程：
ⅰ.在小水池外选点C，如图④，测得AC＝a m，BC＝b m；
ⅱ.分别在AC，BC上测得CM＝eq \f(a,3) m，CN＝eq \f(b,3) m，
测得MN＝c m． 求解过程：
由测量知，AC＝a m，BC＝b m，CM＝eq \f(a,3) m，CN＝eq \f(b,3) m，∴eq \f(CM,CA)＝eq \f(CN,CB)＝eq \f(1,3).
又∵①____________，
∴△CMN∽△CAB，∴eq \f(MN,AB)＝eq \f(1,3).
又∵MN＝c m，∴AB＝②________m.
故小水池的最大宽度为③________m.