2026年【中考数学】第一轮专项复习训练：三角形的证明 [含答案]

这是一份2026年【中考数学】第一轮专项复习训练：三角形的证明 [含答案]，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．如图，在中，，分别平分，，于点D．若，的面积是50，则的周长为（ ）
A．B．25C．D．50
2．以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4B．3，4，6
C．6，8，15D．5，12，13
3．如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点在上，点，在上，，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．如果线段能构成直角三角形，则它的比可能是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在中，D是斜边的中点，交于点E，若，，则的长为（ ）
A．B．C．D．2
6．下列说法，正确的是（ ）
A．两个等腰三角形的顶角和底边分别相等，那么这两个三角形全等
B．两个锐角分别相等的两个直角三角形全等
C．用反证法证明“等腰三角形的底角小于”，先假设底角等于
D．三角形三条角平分线相交于一点，且这一点到三个顶点的距离相等
7．如图，在△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，BC=8cm，AC=5cm，则△ADC的周长为（ ）
A．14cmB．13cmC．11cmD．9cm
8．如图，在平面直角坐标系中，，点B、C分别在y轴正半轴和x轴正半轴上，且，若是以为底的等腰三角形，则的长为（ ）
A．8B．9C．10D．11
二、填空题
9．一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的三个角应该为 ．
10．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠BAD＝30°，∠C＝45°，BD＝2，则AC＝ ．
11．如图所示，已知、是的两条直径，弦，，则
12．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B、C为圆心，以大于二分之一倍的BC的长度为半径作弧，两弧相交于M、N两点；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD=AC，∠B=24°，则∠ACB的度数为 ．
13．如图，在中，与的平分线交于点，过点作，分别交、于点、．若，，则的周长为 ．
14．如图，在等腰中，，，为的中点，点在上，，若点是上的一点，则当是以为腰的等腰三角形时，的度数是 ．
三、解答题
15．根据下列条件，分别判断以为边的三角形是不是直角三角形．
(1)，，．
(2)，，．
(3)，，．
(4)，，（n为正整数）
(5)．
16．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACB交AB于E，EF⊥AB交CB于F．
（1）求证：CDEF；
（2）若∠A＝70°，求∠FEC的度数．
17．已知中，，点D为直线上的一动点（点D不与点B、C重合），以为边作，，连接．
(1)发现问题
如图1，当点D在边上时．
①请写出和之间的数量关系为______，位置关系为______；
②求证：
(2)尝试探究
如图2，当点D在边的延长线上且其他条件不变时，请写出、、之间存在的数量关系并说明理由．
(3)拓展延伸
如图3，当点D在的延长线上且其他条件不变时，若，，求线段的长．
18．如图，反比例函数的在第一象限的图象经过点．

(1)求值；
(2)第一象限内有一定点，坐标为．
请判断点是否在反比例函数图象上；
顺次连接、、三点，请直接写出的形状．
参考答案
1．C
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，连接，作于，于，由角平分线的性质定理可得，，再结合三角形面积公式计算即可得解，熟练掌握角平分线的性质定理是解此题的关键．
【详解】解：如图，连接，作于，于，
，
∵，分别平分，，于点D，，
∴，，
∵的面积是50，
∴，
∴，
∴，
∴，即的周长为，
故选：C．
2．D
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
【详解】解：A．，，
，
不能构成直角三角形，
故选项不符合题意；
B．，，
，
不能构成直角三角形，
故选项不符合题意；
C．，
不能构成三角形，
故选项不符合题意；
D．，，
，
能构成直角三角形，
故选项符合题意；
故选：D．
3．B
【分析】该题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形内角和定理求出，结合平行线性质即可求解．
【详解】解：，
，，
．
，
，
即，
故选：B．
4．B
【分析】根据勾股定理的逆定理，得：要能够组成一个直角三角形，则三边应满足：两条较小边的平方和等于最大边的平方．
【详解】解：A、12＋22＝5≠42，故不是直角三角形．故选项错误；
B、52＋122＝169＝132，故是直角三角形，故选项正确；
C、12＋32＝10≠52，故不是直角三角形．故选项错误；
D、32＋42＝9＋16＝25≠72，故不是直角三角形．故选项错误．
故选：B．
【点睛】考查了勾股定理的逆定理，要求能够熟练运用勾股定理的逆定理来判定一个三角形是否为直角三角形．
5．C
【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质得出，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，连接，
中，，
∴，
∵D是斜边的中点，，
∴，垂直平分，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理，解题的关键是熟记线段垂直平分线的性质、勾股定理．
6．A
【分析】本题考查全等三角形的判定、反证法、角平分线的性质，根据以上知识逐项判断解答即可．
【详解】解：A. 两个等腰三角形的顶角和底边分别相等，那么这两个三角形一定全等，说法正确；
B. 两个锐角分别相等的两个直角三角形比一定全等，原说法错误；
C. 用反证法证明“等腰三角形的底角小于”，先假设底角大于等于，原说法错误；
D. 三角形三条角平分线相交于一点，且这一点到三边的距离相等，原说法错误；
故答案为：A．
7．B
【详解】试题解析：∵DE是边AB的垂直平分线
∴BD=AD
∴△ADC的周长为AC+DC+AD=AC+BC=5+8=13cm．
故选B.
8．C
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的定义，根据坐标求线段长．
作轴交轴于E，作轴交轴于D，则，根据得到，根据等腰三角形的定义得到，进而证明，得到，即可求出的长．
【详解】如图，作轴交轴于E，作轴交轴于D，则，
∵，
∴，
∵是以为底的等腰三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
9．70°，55°，55°或70°，70°，40°．
【分析】分情况讨论，当顶角的外角是110°时和当底角的外角是110°时进行解答.
【详解】解：分两种情况，当顶角的外角是110°时，则这个三角形的三个角应该为70°，55°，55°；
‚当底角的外角是110°时，则这个三角形的三个角应该为70°，70°，40°．
故答案为：70°，55°，55°或70°，70°，40°．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质；邻补角的定义；三角形内角和定理，难度不大．
10．
【分析】根据含30度角的直角三角形的性质得出AD，再由∠C=45°，利用勾股定理得出AC即可．
【详解】在△ABC中，AD⊥BC于D，∠BAD＝30°，BD＝2，
∴AB＝2BD＝4，
∴AD＝＝＝2．
∵∠C＝45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AD＝CD＝2，
∴AC＝2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，利用含30度角的直角三角形的性质得出AD的长是解题的关键．
11．/55度
【分析】本题考查圆的性质，等边对等角，三角形内角和定理，平行线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．利用圆的半径相等得出，结合，即可求出，再利用平行线的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
．
故答案为：．
12．108°
【分析】依据线段垂直平分线的性质，即可得到∠B=∠BCD=24°，再根据等腰三角形的性质即可得到∠A=∠ADC=48°，依据三角形内角和定理即可得出∠ACB的度数．
【详解】解：由作图可得，MN垂直平分BC，
∴DC=DB，
∴∠B=∠BCD=24°，
∴∠ADC=2∠B=48°，
又∵CA=CD，
∴∠A=∠ADC=48°，
∴△ABC中，∠ACB=180°-∠A-∠B=108°．
故答案为：108°．
【点睛】本题主要考查了基本作图以及等腰三角形的性质，解题时注意：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
13．
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义以及平行线的性质，解题的关键是掌握相关知识．由与的平分线交于点，可得，，结合平行线的性质可推出，，得到，，继而可得的周长等于，即可求得答案．
【详解】解：在中，与的平分线交于点，
，，
，
，，
，，
，，
的周长为，
故答案为：．
14．或
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，四边形的内角和，连接，过作于，于，由，，则，，根据角平分线的性质得，然后证明，则，再根据四边形内角和求出，同理，掌握知识点的应用及正确的作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接，过作于，于，
∵，，
∴，
∴，
当是以为腰的等腰三角形，
∵，为的中点，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理证得，
∴，
∴，
得，
故答案为：或
15．(1)以为边的三角形不是直角三角形
(2)以为边的三角形是直角三角形
(3)以为边的三角形是直角三角形
(4)以为边的三角形是直角三角形
(5)以为边的三角形是直角三角形
【分析】根据题意求出两条较短边的平方和，最长边的平方，然后利用勾股定理的逆定理判断求解即可．
【详解】（1）∵，，
∴，
∴以为边的三角形不是直角三角形；
（2）∵，，
∴，
∴以为边的三角形是直角三角形；
（3）∵，，
∴，
∴以为边的三角形是直角三角形；
（4）∵，，
∴，
∴以为边的三角形是直角三角形；
（5）∵，
∴设，
∵，，
∴，
∴以为边的三角形是直角三角形；
【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理．
16．（1）见解析；（2）25°
【分析】（1）根据垂直于同一条直线的两直线平行证明；
（2）根据直角三角形的性质求出∠ACD，根据角平分线的定义求出∠ACE，结合图形求出∠DCE，根据平行线的性质解答即可．
【详解】（1）证明：∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴CD∥EF；
（2）解：∵CD⊥AB，
∴∠ACD＝90°﹣70°＝20°，
∵∠ACB＝90°，CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝45°，
∴∠DCE＝45°﹣20°＝25°，
∵CD∥EF，
∴∠FEC＝∠DCE＝25°．
【点睛】本题考查的是平行线的判定和性质、直角三角形的性质，掌握两直线平行、内错角相等、直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
17．(1)①，；②证明见解析
(2)，理由见解析
(3)8
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质，正确找出两个全等三角形是解题关键．
（1）①先证出，再证出，根据全等三角形的性质可得，，根据角的和差可得，则，由此即可得；
②根据和即可得证；
（2）先证出，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据即可得出结论；
（3）先证出，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据求解即可得．
【详解】（1）解：①∵在中，，在中，，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：，．
②由（1）①已证：，
∵，
∴．
（2）解：，理由如下：
∵在中，，在中，，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴．
（3）解：∵在中，，在中，，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
18．(1)；
(2)点不在反比例函数上；是直角三角形．
【分析】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式、平面直角坐标系中两点之间的距离公式、勾股定理的逆定理．
把点的坐标代入，即可求出的值；
把代入反比例函数的解析式，可得：，所以点不在反比例函数的图象上；
根据点、、的坐标分别求出、、的长度，利用勾股定理的逆定理可证是直角三角形．
【详解】（1）解：把点的坐标代入，
可得：，
解得：；
（2）解：由可知反比例函数的解析式为，
当时，可得：，
点不在反比例函数上；
解：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
，，，
，，
，
是直角三角形．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8


答案
C
D
B
B
C
A
B
C