北京市延庆区2024-2025学年高三下学期统测数学试卷（含答案解析）

这是一份北京市延庆区2024-2025学年高三下学期统测数学试卷（含答案解析），共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1. 已知集合，，则（ ）
2. 已知，为虚数单位，若为实数，则（ ）
3. 已知向量，，，若，则（ ）
4. 某圆锥高为，母线与底面所成的角为，则该圆锥的表面积为（ ）
5. 设x，，且，则（ ）
6. 延庆妫水公园岸边设有如图所示的护栏，护栏与护栏之间用一条铁链相连.数学中把这种两端固定的一条均匀，柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为悬链线.已知函数的部分图象与悬链线类似，则下列说法正确的是（ ）

7. “”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（ ）
8. 已知圆和两点，（）.若圆C上存点P，使得，则m的最大值为（ ）
9. 已知等比数列的公比为q，前n项和为.若，且，则下列结论错误的是（ ）
10. 已知正方体的棱长为1，若在该正方体的棱上有点M，满足，则点M的个数为（ ）
二、填空题
11. 的展开式中，的系数为________.
12. 已知双曲线的一条渐近线过点，则其离心率为________.
13. 已知是第四象限角且，，则的值为________.
14. 数列中，若存在，使得“且”成立，（，）则称为的一个峰值.若，则的峰值为________；若，且不存在峰值，则实数的取值范围为________.
15. 已知函数，给出下列四个结论：
①，使得关于直线对称；
②，使得存在最小值；
③，在上单调递减；
④，使得有三个零点；
其中所有正确的结论的序号是________.
三、解答题
16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，底面ABCD，且，E是PC的中点，平面ABE与线段PD交于点F.
(1)求证：；
(2)若，求直线BE与平面BCF所成角的正弦值.
17. 在中，，.
(1)求b；
(2)再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使为锐角三角形，并求的面积.
条件①：；条件②：AB边上中线的长为；条件③：.
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
18. 在北京延庆，源远流长的传统大集文化依旧焕发着生机.这是一种融合了传统文化与饮食娱乐的民间活动，人们在这里沉浸于这份朴素而直接的欢乐之中.2025年延庆大集的时间和地点信息汇总如下表，根据下表的统计结果，回答以下问题.
(1)若从周一和周四的大集中各随机选一个大集，求恰好选的都是延庆镇大集的概率；
(2)若从周六和周日的大集中随机选3个大集，记X为选延庆镇东小河屯村大集的次数，求X的分布列及期望；
(3)从周一到周四这四天的大集中任选2个大集，设为选永宁镇古城北街大集的个数，从周五到周日这三天的大集中任选2个大集，设为选永宁镇古城北街大集的个数，比较随机变量和随机变量的数学期望的大小.（结论不要求证明）
19. 已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，且，离心率为.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设直线与x轴交于点Q，点P是直线上不同于点Q的一点，直线BP与椭圆E交于点M，直线AM与直线交于点N，判断是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.
20. 已知函数.
(1)若，求在处的切线方程；
(2)若，求的单调区间；
(3)若，且，证明：.
21. 数字的任意一个排列记作，设为所有这样的排列构成的集合.集合任意整数都有，集合任意整数都有
（1）用列举法表示集合；
（2）求集合的元素个数；
（3）记集合的元素个数为，证明：数列是等比数列.
北京市延庆区2024-2025学年高三下学期统测数学试卷
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、复数、平面向量、空间向量与立体几何、等式与不等式、三角函数与解三角形、平面解析几何、数列、计数原理与概率统计
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．1
C．
D．4
A．
B．
C．0
D．1
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．为奇函数
B．的最大值为1
C．在上单调递增
D．方程有2个实数解
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
A．4
B．5
C．6
D．7
A．
B．
C．
D．
A．2
B．4
C．6
D．8
时间
地点
周一
周二
周三
周四
周五
周六
周日
康庄镇刁千营村
√
√
康庄镇榆林堡村
√
√
康庄镇小丰营村
√
√
延庆镇付余屯村
√
√
延庆镇东小河屯村
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√
√
√
√
√
√
香营乡屈家窑村
√
旧县镇米粮屯村
√
√
旧县镇东羊坊村
√
永宁镇古城北街
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√
√
√
√
√
题型
数量
单选题
10
填空题
5
解答题
6
难度
题数
容易
1
较易
6
适中
11
较难
1
困难
2
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
并集的概念及运算；由对数函数的单调性解不等式
2
0.94
已知复数的类型求参数；复数的除法运算
3
0.85
平面向量线性运算的坐标表示；由向量共线（平行）求参数
4
0.85
圆锥表面积的有关计算
5
0.65
比较指数幂的大小；基本不等式求和的最小值；比较正弦值的大小；由已知条件判断所给不等式是否正确
6
0.65
根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）；用导数判断或证明已知函数的单调性；函数奇偶性的定义与判断；根据解析式直接判断函数的单调性
7
0.65
判断命题的充分不必要条件；直线与抛物线交点相关问题
8
0.65
轨迹问题——圆；由圆的位置关系确定参数或范围
9
0.65
判断数列的增减性；求等比数列前n项和
10
0.65
棱柱及其有关计算；线面垂直证明线线垂直
二、填空题
11
0.85
求二项展开式的第k项；求指定项的系数
12
0.85
已知方程求双曲线的渐近线；求双曲线的离心率或离心率的取值范围
13
0.85
用和、差角的正切公式化简、求值；已知弦（切）求切（弦）
14
0.65
数列新定义；利用导数求函数（含参）的单调区间；根据数列的单调性求参数
15
0.15
用导数判断或证明已知函数的单调性；由导数求函数的最值（不含参）；利用导数研究函数的零点
三、解答题
16
0.65
线面角的向量求法；证明线面平行；线面平行的性质
17
0.65
正弦定理解三角形；余弦定理解三角形；正弦定理边角互化的应用；三角形面积公式及其应用
18
0.65
计算古典概型问题的概率；写出简单离散型随机变量分布列；独立事件的乘法公式；求离散型随机变量的均值
19
0.65
根据离心率求椭圆的标准方程；椭圆中存在定点满足某条件问题；根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围
20
0.4
利用导数证明不等式；求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；利用导数求函数的单调区间（不含参）；由导数求函数的最值（不含参）
21
0.15
由递推关系证明等比数列；集合新定义
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1,7,21
2
函数与导数
1,5,6,14,15,20
3
复数
2
4
平面向量
3
5
空间向量与立体几何
4,10,16
6
等式与不等式
5
7
三角函数与解三角形
5,13,17
8
平面解析几何
7,8,12,19
9
数列
9,14,21
10
计数原理与概率统计
11,18