北京市延庆区2025届高三下学期统测数学试卷（解析版）

这是一份北京市延庆区2025届高三下学期统测数学试卷（解析版），共21页。
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，
又，所以.
故选：A
2. 已知，为虚数单位，若为实数，则（ ）
A. B. 1C. D. 4
【答案】C
【解析】因为为实数，
所以，解得，
故选：C
3. 已知向量，，，若，则（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】B
【解析】因为，，
所以，
因为，
所以，解得，
故选：B
4. 某圆锥高为，母线与底面所成的角为，则该圆锥的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由圆锥高为，母线与底面所成的角为，得圆锥底面圆半径，
母线，所以圆锥的表面积.
故选：A
5. 设x，，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，
对于A：取，所以，A选项错误；
对于B：取，所以，B选项错误；
对于C：取，所以，C选项错误；
对于D，，当且仅当取等号，所以，
因为，所以，当且仅当取等号，所以，
所以，D选项正确.
故选：D.
6. 延庆妫水公园岸边设有如图所示的护栏，护栏与护栏之间用一条铁链相连.数学中把这种两端固定的一条均匀，柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为悬链线.已知函数的部分图象与悬链线类似，则下列说法正确的是（ ）

A. 为奇函数B. 的最大值为1
C. 在上单调递增D. 方程有2个实数解
【答案】D
【解析】对A，定义域为R，∵，则为偶函数，A错误；
对BC，又∵，根据，在R上均单调递增，
则在在R上单调递增，且，
则当时，则，当时，则，
∴的单调递减区间为，单调递增区间为，故C错误；
则，即的最小值为，B错误；
对D，令,，
再结合指数函数性质知方程有2个实数根,故D正确.
故选：D
7. “”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由，得，
因为直线与抛物线只有一个公共点，
所以当时，交点为只有一个公共点，符合题意；
当时，，
所以直线与抛物线只有一个公共点的充要条件是或，
所以”能推出“直线与抛物线只有一个公共点，
直线与抛物线只有一个公共点不能推出，
“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的充分而不必要条件，
故选：A
8. 已知圆和两点，（）.若圆C上存点P，使得，则m的最大值为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】C
【解析】以为直径的圆的方程为，圆心为原点，半径为.
圆圆心为，半径为.
要使圆上存在点，使得，则圆与圆有公共点，
所以，即，
所以，解得，
所以的最大值为6.
故选：C
9. 已知等比数列的公比为q，前n项和为.若，且，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】对于选项B：因为，且对恒成立，
则，整理可得恒成立，
则，故B正确；
对于选项A：因为，故A正确；
对于选项C：因为，
由B项已得，，则，，而，
则，故C错误；
对于选项D：因为，即，故D正确.
故选：C.
10. 已知正方体的棱长为1，若在该正方体的棱上有点M，满足，则点M的个数为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】C
【解析】因为，所以点M不在棱，棱上，
所以当点M在棱上时，设，连，
中，，由余弦定理可得，，
即，可解得，
所以在棱上存在满足题意的一个点M；
由对称性可知在棱，棱，棱上各存在一个点M；
因为，所以点M不在平面内.
所以当点M在棱上时，设，连，
在直角三角形中，，
所以，即，可解得，
所以在棱上存在满足题意的一个点M；
由对称性可知在棱上也存在一个点M；
综上可知满足题意的点M共6个.
故选：C.
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 的展开式中，的系数为________.
【答案】60
【解析】二项式展开式的通项公式：，
令，解得，
所以可得第三项中的系数是.
故答案为：60
12. 已知双曲线的一条渐近线过点，则其离心率为________.
【答案】
【解析】由题意双曲线渐近线方程为，它过点，
所以，即，所以其离心率为.
故答案为：.
13. 已知是第四象限角且，，则的值为________.
【答案】
【解析】因为是第四象限角且，所以，，
因为，所以，
则.
故答案为：.
14. 数列中，若存在，使得“且”成立，（，）则称为的一个峰值.若，则的峰值为________；若，且不存在峰值，则实数的取值范围为________.
【答案】①. ②.
【解析】由，
函数的对称轴为，
又，
所以，
所以的峰值为；
若，则，
令，则，
当时，，所以函数上单调递减，
则数列是递减数列，符合题意；
当时，令，则，令，则，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
要使数列不存在峰值，
则，即，解得，
综上所述，实数的取值范围为.
故答案为：；.
15. 已知函数，给出下列四个结论：
①，使得关于直线对称；
②，使得存在最小值；
③，在上单调递减；
④，使得有三个零点；
其中所有正确的结论的序号是________.
【答案】①③④
【解析】取，得，
因为，
所以，使得关于直线对称；故①对；
由，
所以，
若，
当时，令，则，
令，则，
所以在单调递减，所以，
所以 在单调递减，
当时，令，则，
所以 在单调递减，
所以，在上单调递减，故，不存在最小值，故②错，③对，
如图

若，则当函数与直线的图象相切时，
设切点横坐标为，此时，则，
得到方程组，化简得，易得，
则此时有两个零点，图象见下图，
AI
当时，只需将上图相切时的直线向左偏一点，图象如下图所示，
则两函数会出现三个交点，此时有三个零点，如下图所示，
AI
故④对，
故答案为：①③④
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，底面ABCD，且，E是PC的中点，平面ABE与线段PD交于点F.
（1）求证：；
（2）若，求直线BE与平面BCF所成角的正弦值.
（1）证明：在矩形中，，
又平面，平面，
所以平面，
又因为平面，且平面平面，
所以.
（2）解：由（1）可知，
又因为E是的中点，所以F是的中点，
因为，即，故.
因为平面平面，
所以
又在正方形中，，
所以两两垂直.
如图建立空间直角坐标系，
则
所以，
设平面的一个法向量为
由，得，
令，得，
设直线与平面所成角为，
则
故直线BE与平面BCF所成角的正弦值为.
17. 在中，，.
（1）求b；
（2）再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使为锐角三角形，并求的面积.
条件①：；条件②：AB边上中线的长为；条件③：.
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
解：（1）在中，因为，
再由
可得.
所以，即，
所以.
因为，所以.
（2）选择条件①：，，，
由余弦定理得，，
因为为锐角三角形，所以不符合题意，不存在三角形；
选择条件②： 在中，设点为的中点，则，，
中，根据余弦定理
解得，所以，所以，
因为，所以为锐角三角形，
所以，
在中，.
选择条件③：在中，为锐角三角形，
因为，所以，
所以，，，所以，
所以，所以，解得或舍.
所以，所以为锐角三角形，
所以，
在中，.
18. 在北京延庆，源远流长的传统大集文化依旧焕发着生机.这是一种融合了传统文化与饮食娱乐的民间活动，人们在这里沉浸于这份朴素而直接的欢乐之中.2025年延庆大集的时间和地点信息汇总如下表，根据下表的统计结果，回答以下问题.
（1）若从周一和周四的大集中各随机选一个大集，求恰好选的都是延庆镇大集的概率；
（2）若从周六和周日的大集中随机选3个大集，记X为选延庆镇东小河屯村大集的次数，求X的分布列及期望；
（3）从周一到周四这四天的大集中任选2个大集，设为选永宁镇古城北街大集的个数，从周五到周日这三天的大集中任选2个大集，设为选永宁镇古城北街大集的个数，比较随机变量和随机变量的数学期望的大小.（结论不要求证明）
解：（1）记“周一和周四的大集中各随机选一次大集，恰好选的都是延庆镇大集”为事件 A，
由表可知，周一选一次大集，恰好选的是延庆镇大集的概率为,
周四选一次大集，恰好选的是延庆镇大集的概率为，
所以.
（2）随机变量的所有可能取值为，
根据题意，，
，
随机变量的分布列是:
数学期望
（3）
由题意，可能取值为，
，，，
故；
由题意，可能取值为，
，，，
故，
所以.
19. 已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，且，离心率为.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设直线与x轴交于点Q，点P是直线上不同于点Q的一点，直线BP与椭圆E交于点M，直线AM与直线交于点N，判断是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.
解：（1）由题意得，解得，
所以，
所以椭圆E的标准方程为；
（2）假设存在点P，使得，则‖，
所以，
设，则，
所以，直线的方程为，
因为点在直线上，所以，
所以，
因为点P是直线上不同于点Q的一点，所以，
所以，解得，
因为点在椭圆上，所以，解得或，
当时，，得，
当时，，得，
所以存在点P，使得，点的坐标为或
20. 已知函数.
（1）若，求在处的切线方程；
（2）若，求的单调区间；
（3）若，且，证明：.
解：（1）由，所以
所以，
又，
所以曲线在处的切线方程为，
即
（2）由，定义域为，
令得或
因为，所以.
所以，
列表：
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
（3）因为，
又，，
所以是方程的两个根.
依题意，有，
所以，即，
所以
，
令，则，
令，则
因为，所以，
所以在上是增函数，
所以，所以在为减函数，
所以，即.
21. 数字的任意一个排列记作，设为所有这样的排列构成的集合.集合任意整数都有，集合任意整数都有
（1）用列举法表示集合；
（2）求集合的元素个数；
（3）记集合的元素个数为，证明：数列是等比数列.
（1）解：,
（2）解：考虑集合中的元素.
由已知,对任意整数都有,
所以,
所以.
由的任意性可知,是的单调递增排列,
所以.
又因为当时,对任意整数
都有.
所以,所以.
所以集合的元素个数为1.
（3）证明：由(2)知,.
因为,所以.
当时,考虑中的元素.
(i)假设.由已知, ,
所以,
又因为,所以.
依此类推,若,则,,.
①若,则满足条件的的排列有1个.
②若,则.
所以.
此时满足条件的的排列有1个.
③若,
只要是的满足条件的一个排列,就可以相应得到的一个满足条件的排列.
此时,满足条件的的排列有个.
(ii)假设,只需是的满足条件的排列,此时满足条件的的排列有个.
综上.
因为,
且当时, ,
所以对任意,都有.
所以成等比数列.时间
地点
周一
周二
周三
周四
周五
周六
周日
康庄镇刁千营村
√
√
康庄镇榆林堡村
√
√
康庄镇小丰营村
√
√
延庆镇付余屯村
√
√
延庆镇东小河屯村
√
√
√
√
√
√
√
香营乡屈家窑村
√
旧县镇米粮屯村
√
√
旧县镇东羊坊村
√
永宁镇古城北街
√
√
√
√
√
√
√
0
1
2
0
0
递减
递增
递减