湖南省长沙市明德中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题（Word版附解析）

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2025年11月
时量：120分钟 总分：150分
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1. 复数在复平面内的对应点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知两圆分别为圆和圆，这两圆的位置关系是（ ）
A. 相离B. 外切C. 内含D. 相交
4. 已知为公差不为0等差数列，若，则（ ）
A. 9B. 8C. 7D. 6
5. 如图，空间四边形中，．点在上，且，为的中点，则等于（ ）
A. B.
C D.
6. 投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行．如图为一幅唐朝的投壶图，假设甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，且甲、乙、丙每次投壶时，投中与不投中是等可能的．若甲、乙、丙各投壶1次，则这3人中恰有1人投中的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，过点作斜率为的直线交双曲线的右支于，两点，其中点在第一象限，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2D.
8. 已知为坐标原点，与为单位向量，，在定直线上，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分）
9. 已知抛物线的焦点为，点在上，则（ ）
A. 的坐标为
B. 抛物线的准线方程为
C. 若，则
D.
10. 已知函数，则下列选项正确是（ ）
A. 的最小正周期为
B. 在区间上单调递增
C. 在上存在个零点
D. 点是图像的一个对称中心
11. 如图，在棱长为1的正方体中，P，E分别为线段，AB上的动点，M为线段的中点，下列结论正确是（ ）
A. 三棱锥体积为定值
B. 不存在点E，使得与所成的角为
C. 的最小值为
D. 面积的取值范围为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知向量，满足，，则__________．
13. 已知等差数列，现在其每相邻两项之间插入一个数，使之成为一个新的等差数列，则数列的第23项为________．
14. 已知，从椭圆：外一点向椭圆引两条切线，切点分别为、，则直线称为点关于椭圆的极线，其方程为．如图，现有两个椭圆、，中心都是坐标原点，对称轴都是坐标轴，离心率分别为、，在内，椭圆上的任意一点关于椭圆的极线为．若到的距离为定值1，则的最大值为______．

四、解答题（本题共5小题，共77分）
15. 已知圆，直线.
（1）判断直线与圆C的位置关系；
（2）求该圆过点的切线方程.
16. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面为棱上的动点．
（1）当为棱的中点时，证明：平面；
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．
17. 已知中，内角，，所对的边为，，，其中，，的面积为．
（1）求角大小；
（2）如图，点在边的延长线上，若，，求的长．
18. 已知，其中为奇函数，为偶函数．
（1）求的解析式并指出的单调性（无需证明）；
（2）若对于任意的实数，都有成立，求实数的取值范围；
（3）若对于任意的实数，总存在实数，使得成立，求实数的取值范围．
19. 已知椭圆的焦距为2，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为.

（1）求椭圆的方程；
（2）设A，B为椭圆的左右顶点，过右焦点的直线交椭圆于M，N两点，直线AM，BN交于点.
（i）求证点在定直线上；
（ii）设，求的最大值.