湖南省长沙市明德中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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这是一份湖南省长沙市明德中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（Word版附解析），文件包含湖南省长沙市明德中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷Word版含解析docx、湖南省长沙市明德中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷Word版无答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共22页，欢迎下载使用。
2024年11月
时量：120分钟满分150
命题：姜华审定：何国瑞
一､单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，每个小题只有一个正确答案）
1. 若集合，，则中元素的个数为（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
2. 若复数（其中i为虚数单位），则复数在复平面上对应的点位于（）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 设平面向量，若，则等于（）
A. B. C. 20D.
4. 已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（）
A. B.
C. D.
5. 如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（）

A. B.
C D.
6. 已知圆与圆外切，则的值为（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
7. 过拋物线上一动点作圆（r为常数且）的两条切线，切点分别为，若的最小值是，则（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
8. 已知函数满足，若函数在上的零点为，则（）
A. B. C. D.
二､多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分，每小题有多项符合题目要求，全部选对得6分.选错得0分，部分选对得部分分）
9. 设实数，，且满足，则下列不等关系中一定成立的是（）．
A.
B.
C.
D.
10. 下列说法正确的是（）
A. 数据的第60百分位数为10.
B. 用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是
C. 投掷一枚均匀硬币和一个均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数大于4”为事件，则事件都发生的概率是.
D. 若样本平均数和方差分别为2和3，则的平均数和方差分别为8和27.
11. 1675年，卡西尼在矿究土星及其卫星的运行规律时发现了卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹.已知点，动点满足，动点的运动轨迹为曲线，则下列说法正确的是（）
A. 曲线经过坐标原点.
B. 曲线的图象关于轴对称.
C. 点的轨迹方程为.
D. 面积的最大值为3.
三､填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分）
12. 已知直线与垂直，则__________.
13. 如图，在正方体中，M，N分别为DB，的中点，则直线和BN的夹角的余弦值为______
14. 已知椭圆与双曲线的左、右焦点相同，分别为，，与在第一象限内交于点，且，与的离心率分别为，．则______，的取值范围是______．
四､解答题（本题共5个小题，共77分，解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤.）
15. 在中，角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）若的面积为，求的周长.
16. 已知三点，记的外接圆为.
（1）求的方程；
（2）若直线与交于两点，求的面积.
17. 如图，直角梯形中，分别为边的中点，将沿边折起到的位置，为边的中点.

（1）证明：平面；
（2）当为等边三角形时，求平面与平面夹角的余弦值.
18. 某校举行围棋比赛，甲､乙､丙三个人通过初赛，进入决赛.已知甲与乙比赛时，甲获胜的概率为，甲与丙比赛时，甲获胜的概率为，乙与丙比赛时，乙获胜的概率为.
（1）决赛规则如下：首先通过抽签形式确定甲､乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，首先累计到2分者获得比赛胜利，比赛结束.假设，且每局比赛相互独立.
（i）求乙连胜两局获得最终胜利概率；
（ii）求比赛结束时乙获胜的概率；
（2）若，假设乙第一局出场，且乙获得了指定首次比赛对手的权利，为获得比赛的胜利，试分析乙的最优指定策略.
19. 在平面直角坐标系中，利用公式①（其中为常数），将点Px,y变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母表示.
（1）如图，在平面直角坐标系中，将点Px,y绕原点按逆时针旋转得到点（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵A；
（2）在平面直角坐标系中，求双曲线通过二阶矩阵进行线性变换后得到的双曲线方程；
（3）已知由（2）得到双曲线，上顶点为，直线与双曲线的两支分别交于两点（在第一象限），与轴交于点.设直线的倾斜角分别为，求证：为定值.