安徽省芜湖市师大附中2025-2026学年高一上学期11月期中数学（A卷）试题（Word版附解析）

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考生注意：
1、本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2、答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上.
3、考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合中表示元素的范围直接判断即可.
【详解】因为，所以，，，，
故选：A.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】修改量词否定结论，可得结果.
【详解】“，”的否定是“，” ，
故选：C.
3. 下列函数中，与函数是同一函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同一函数满足定义域与解析式相同判断即可.
【详解】对A，的定义域为，的定义域为，故A错误；
对B，，故B错误；
对C，的定义域为，故C错误；
对D，，故D正确
故选：D
4. 设，，则“”是“”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合表达式的性质进行判断即可．
【详解】解：若a＝0，b＝1，满足a＜b，但（a﹣b）a2＜0不成立，
若“（a﹣b）a2＜0，则a＜b且a≠0，则a＜b成立，
故“a＜b”是“（a﹣b）a2＜0”的必要不充分条件，
故选B．
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系进行判断即可．
5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求解出的取值范围，然后根据括号内的整体范围相同可求的定义域.
【详解】因为的定义域为，所以中，所以，
在中令，解得，
所以的定义域为，
故选：B.
6. 若函数在其定义域内对任意的不相等的实数都有，则称这个函数为下凸函数，以下为下凸函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据下凸函数的定义逐项分析即可.
【详解】对于A：，
函数图象为直线，不为下凸函数图象，故A不符合；
对于B：
，
所以，故B不符合；
对于C：
，
因为，所以，所以，故C不符合；
对于D：
，
因为，所以，所以，故D符合；
故选：D.
7. 已知在上满足，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依题意可得在上单调递减，则函数在各段单调递减且断点左侧函数值不小于右侧函数值，即可得到不等式组，解得即可.
【详解】因为在上满足，
所以在上单调递减，
又，则，解得，
则实数的取值范围为.
故选：C
8. 已知函数，则满足不等式的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据指数函数的单调性，结合函数单调性的判定方法，求得为单调递增函数，再根据奇函数的定义确定其为奇函数，由不等式转化为，进而求得实数的取值范围.
【详解】由函数，可得其定义域为，设，且，
则，
由指数函数为单调递增函数，所以，
又因为，，所以，
即，所以函数为单调递增函数，
另一方面，，
故也是奇函数，不等式转化为，即，解得，
故选：A.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列函数中，定义域与值域均相同的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】分析各选项中函数的定义域和值域可得结果.
【详解】A：的定义域为，值域为，满足；
B：的定义域为，值域为，不满足；
C：的定义域为，值域为，不满足；
D：作出函数图象如下图所示，

由图象可知，定义域为，值域为，满足；
故选：AD.
10. 设，，且，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最大值为B. 的最小值为
C. 的最小值为D. 恒成立
【答案】BCD
【解析】
【分析】A：利用基本不等式直接求解出的最大值并判断；B：利用“的代换”计算出的最小值并判断；C：将问题转化为求关于的二次函数的最小值，计算并判断；D：根据，利用“的代换”计算出的最小值，然后可判断.
【详解】对于A：因，所以，当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为，故错误；
对于B：因为，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为，故正确；
对于C：因为，所以，因为，所以，
所以，当时取等号(满足条件)，
所以的最小值为，故正确；
对于D：因为，所以，
所以
，
当且仅当，即，即时取等号，
所以最小值为，所以恒成立，故正确；
故选：BCD.
11. 已知、分别是定义在上的偶函数、奇函数，且，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 若，则
D. 若方程有两个不相等的实数根，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】由，根据分别是定义在上的偶函数和奇函数，求得，，再逐项判断.
【详解】由题意，用替换得，，
又分别是定义在上的偶函数和奇函数，
所以，联立上面两式可得，
对A，，A正确；
对B，，B正确；
对C，因为，则为偶函数，，且，
则，
因为，所以，因为，所以，，
则，即，所以在上单调递增，
所以转化为，，
解得，C正确；
对D，易知为偶函数，且在上为增，且，故当时，方程有两个不相等的实数根，D错误
故选：ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递增，则的值为_______.
【答案】
【解析】
【分析】先根据在上的单调性确定出的可取值，然后代入解析式逐一检验图象的对称性，由此可求结果.
【详解】因为在上单调递增，所以，所以，
又因为，所以或或，
当时，为奇函数，图象关于原点成中心对称，不符合，
当时，为偶函数，图象关于轴对称，符合，
当时，为奇函数，图象关于原点成中心对称，不符合，
所以，
故答案为：.
13. 若命题“，使”为真命题，实数的取值范围为__________.
【答案】或
【解析】
【分析】把看作是的函数，讨论该函数的单调性，求得该函数的最小值.令最小值大于零，即可得到实数的取值范围.
【详解】若命题“，使”为真命题，
则命题：“，使”为真命题，
即命题：“，使的最小值大于零”为真命题.
令，.
当，即，即，或时，是增函数，
所以当时，取得最小值，最小值为.
由，得或.所以或.
当，得或，
若，则，不满足题意；若，则满足题意，所以.
当，即，是减函数，
所以当时，取得最小值，最小值为.
由，得或.所以.
综上所述：实数的取值范围为或.
故答案为：或.
方法二：命题“，使”为真命题.
令，则方程的实数根为.
因为，所以函数的图象开口向上.
所以当时，，或.
因为此时的最小值为-2，所以，或.
当时，，或.
因为此时的最大值为，所以，或.
综上所述：实数的取值范围为或.
故答案为：或.
14. 已知函数是偶函数，，且当时，，则______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据条件，逐步计算出的值，然后根据结合奇偶性即可求解出结果.
【详解】由条件可知，，，
，，
，，
，，
因为是偶函数，所以，
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）化简：；
（2）求值：.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）由根式与指数幂的互化进行化简；
（2）根据分数指数幂的运算性质求得结果.
【详解】（1）原式；
（2）原式
.
16. 已知集合，.
（1）若，求的取值集合；
（2）若，求的取值集合.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由和分别讨论求解；
（2）由题意得到，求解即可.
【小问1详解】
因为，所以，
当时，恒成立，此时，得；
当时，由得，，解得.
综上，.
所以实数的取值集合为.
小问2详解】
因为，所以，
，解得.
综上，.
所以实数的取值集合为.
17. 已知关于x的不等式.
（1）若时，不等式成立，求实数a的取值范围；
（2）若a为实数，解关于x的不等式.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意得到，再解不等式即可.
（2）首先根据题意得到，再分类讨论解不等式即可.
【小问1详解】
因为时，不等式成立，
所以.
所以实数的取值范围为.
【小问2详解】
，
当时，，解得.
当时，，解得或.
当时，不等式可化为.
当即时，解得.
当即时，解得.
当即时，解集为.
综上可知：当时，不等式解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为.
18. 已知函数是定义域在上的偶函数.
（1）求实数的值；
（2）解不等式；
（3）若函数在上的最小值为，求的值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）借助偶函数性质计算即可得；
（2）借助指数函数与对勾函数性质可得的单调性，结合为偶函数，利用因式分解解出即可得；
（3）借助换元法，结合二次函数性质分类讨论即可得.
【小问1详解】
因为函数是定义域在上的偶函数，
所以，即，
则恒成立，故；
【小问2详解】
由，故，
当时，，由在上单调递增，
故在上单调递增，
又为偶函数，故在上单调递减，
故由可得，
即，所以，
则
，
解得或或，
所以不等式的解集为；
【小问3详解】
，
，
令，由，则，
，
当时，，
解得，不满足，舍去；
当时，，解得，
因为，故符合题意；
综上，.
19. 从不等式出发，我们可以得到一个非常优美的不等式——柯西不等式.柯西不等式的一般形式为：，且，，当且仅当时，等号成立.请你根据以上信息，完成以下问题：
（1）若，求的最小值；
（2）求函数的最大值；
（3）若，，不等式恒成立，试求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据条件，构造柯西不等式完成计算；
（2）直接构造柯西不等式完成计算；
（3）将问题转化为“”，利用柯西不等式求解出，则的取值范围可求.
【小问1详解】
由柯西不等式可得：，
因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
【小问2详解】
的定义域为，
因为
由柯西不等式可得：，
所以，所以，
当且仅当，即(符合定义域)时取等号，
所以的最大值为.
【小问3详解】
因为，，所以，所以，
因为恒成立，所以恒成立，
所以恒成立，所以恒成立，
所以；
由柯西不等式可得：，
因为，所以，令，
所以，
所以，
当且仅当，即，即时取等号(满足条件)，
所以，所以，解得，
所以实数的取值范围是.