安徽省芜湖市2025_2026学年高一数学上学期11月期中试卷含解析

这是一份安徽省芜湖市2025_2026学年高一数学上学期11月期中试卷含解析，共16页。试卷主要包含了 已知， 下列命题是真命题的有， 已知，，，则， 下列命题中，是真命题的有， 设正实数x，y满足，则等内容，欢迎下载使用。
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据充分不必要条件的定义，分析即可得答案.
【详解】要求命题的一个充分不必要条件，
只需要的真子集即可，
分析选项，只有C符合题意.
故选：C
2. 设全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合的补集、交集运算得解.
【详解】由题意可得或，
故，
由韦恩图可知图中表示的集合为，
故选：B.
3. 下列命题是真命题的有（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】B
【解析】
【分析】举例说明判断ACD；利用不等式的性质推理判断B.
【详解】对于A，取，满足，而，A错误；
对于B，由，得，则，，B正确；
对于C，取，满足，而，C错误；
对于D，取，满足，而，D错误.
故选：B
4. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用指数函数的单调性及对数运算，判断可得答案.
【详解】，，，
又∵在上是单调递增函数，
∴，
所以.
故选：B.
5. 若幂函数在区间上单调递增，则函数过定点（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据幂函数的性质得到方程，求出，从而，由指数函数性质得到所过定点坐标.
【详解】为幂函数，且在区间上单调递增，
由题意得且，解得，
故，
令得，则，
所以的过定点.
故选：B
6. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用函数有意义，结合抽象函数的定义列不等式式求出定义域.
【详解】由函数的定义域是及有意义，
得，解得，且，
所以函数的定义域为.
故选：C
7. 《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图（1），用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）.将三种颜色的图形进行重组，得到如图（2）所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d.由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图（3），设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形的对角线AE，过点A作于点F，下列推理正确的是（ ）
A. 由题图（1）和题图（2）面积相等得
B. 由可得
C. 由可得
D. 由可得
【答案】D
【解析】
【分析】利用图（1）和图（2）面积相等直接列式可判断A；根据三角形相似比求（3）中正方形边长，然后可得，利用等面积可得，由直角三角形斜边上的中线性质可得，然后根据题意推导可判断BCD.
【详解】A选项：由图（1）和图（2）面积相等可得，所以，A错误；
B选项：因为，所以，得，
设图（3）中正方形边长为t，因为小三角形（青）与相识，
所以，解得，所以，
因为，所以，整理得，B错误；
C选项：因为D为斜边BC的中点，所以，
因为，所以，整理得，C错误；
D选项：因为，所以，整理得，D正确.
故选：D
8. 设符号表示中的最小者，已知函数则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别画出的图象，分别判断四个选项，结合图象即可选出正确选项.
【详解】解:如图所示:由题意可得中，.
中，当时，，.
当时，，.
当时，，.
当，恒有，所以不正确，也不正确；
中，从图象上看，.令，则
所以，即，故正确，不正确.
故选:C.
【点睛】本题考查了函数图象的应用，考查了分段函数.本题关键是分别画出三个函数的图象.在画 的函数图象时，一般地，先画出 的图象，再将 轴下方的图象向上翻折即可.
二、多选题
9. 下列命题中，是真命题的有（ ）
A. 有理数集可以表示为
B. 若（其中），则
C.
D.
【答案】BC
【解析】
【分析】举反例判断A；根据集合相等求解判断B；根据空集是任何集合的子集判断C；根据数集关系判断D.
【详解】对于A，是有理数，而，A为假命题；
对于B，由，得，则，B为真命题；
对于C，方程的解为，集合是非空集合，
则，C为真命题；
对于D，，则，D为假命题.
故选：BC
10. 设正实数x，y满足，则（ ）
A. xy有最大值为B. 有最小值为
C. 有最小值为5D. 有最大值为
【答案】BC
【解析】
【分析】利用基本不等式求出最值判断AB;利用基本不等式“1”的妙用求出最小值判断C；利用基本不等式等号成立的条件判断D即可.
【详解】对于A，由，，得，当且仅当时取等号，A错误；
对于B，，当且仅当时取等号，B正确；
对于C，，
当且仅当，即时取等号，C正确；
对于D，
，当且仅当，即时取等号，
而，因此不能取等号，D错误.
故选：BC
11. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．则下列说法正确的是（ ）
A. 函数图象的对称中心是
B. 类比上述推论，函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数
C. 已知方程有实根，则
D. 已知函数，设定义域为R的函数关于中心对称，若，且与的图象共有20个交点，记为，则的值为40
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项，得到，故为奇函数，得到图象的对称中心是，A正确；B选项，类比上述推论，充要条件是函数为偶函数，B错误；C选项，设，，的解中不包含，参变分离可得，由于，故，从而得到的取值范围，C正确；D选项，变形换元得到为奇函数，故关于中心对称，故20个交点也关于中心对称，分组求和得到D正确.
【详解】A选项，
，
令，定义域为R，
且，所以为奇函数，
故图象的对称中心是，A正确；
B选项，类比上述推论，函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数，B错误；
C选项，设，，
其中，故的解中不包含，
参变分离可得，由于，故，
所以，C正确；
D选项，，，
令，定义域为，
则，故为奇函数，
故关于中心对称，
函数关于中心对称，故与的图象的20个交点也关于中心对称，
设关于对称的两个交点分别为，，
则，故，
则，D正确.
故选：ACD
三、填空题
12. 命题“，使成立”的否定命题是______.
【答案】“，”
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定形式可得.
【详解】命题“，使成立”的否定命题是“，”
故答案为：，
13. 《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年暑期档票房前三名.高一（1）班共有30名同学，有17人观看了《南京照相馆》，有11人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有5人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的有_________人.
【答案】7
【解析】
【分析】用集合的观点，通过画出相应的图，根据已知人数关系列方程求解同时观看的人数，进而可求只观看了《长安的荔枝》的人数.
【详解】不妨将观看了《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》的同学分别用集合表示，
设同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人，
根据题意，画出相应的图，在相应的位置填上数字，
则，解得，
因此有4人同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》，
所以只观看了《长安的荔枝》的有人.
故答案为：.
14. 设，函数，若函数恰有3个零点，则实数取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】设，可确定当时，函数的零点个数，继而作出的大致图像，考虑时的图象情况，分类讨论，将零点问题转化为函数图象的交点问题，数形结合，即可解决.
【详解】设，当时，，此时，
由，得，即，解得或，
即在上有2个零点；
若，，其图象对称轴为，
函数的大致图像如图：

则此时，即，则，
即无解，则无零点，此时无零点，不符合题意；
故需，此时函数的大致图像如图：

由得或，
要使得函数恰有3个零点，需满足在上有一个零点
此时只有一个解，故只需与函数在y轴左侧图象无交点，
则需，解得，结合，
可得，
故答案为：
【点睛】方法点睛：本题为复合函数的零点问题，解答时采用数形结合的方法去解决，即作出函数的大致图像，将函数零点问题转化为曲线的交点个数问题，即可解决.
四、解答题
15. （1）已知：，求；
（2）已知，试用表示.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）先对进行平方，得到的值，再进行平方得到的值即可求出；
（2）先利用换底公式再运用对数的运算公式化简即可求出.
【详解】（1）；
；
；
；
.
（2）.
16. 设，已知集合，.
（1）当时，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据元素与集合的关系列不等式并化简即可；
（2）根据已知条件可知，再根据集合之间的关系列不等式，最后两种情况取并集即可.
【小问1详解】
，，解得：，
实数的取值范围为.
【小问2详解】
若，则，
解，得，集合，
当时，满足，此时，解得，
当时，满足，解得，
综上所述：实数的取值范围为 .
17. 某同学设计了如图2所示的徽章图案，其由三块全等的矩形经过如图1所示的方式折叠后拼接而成.已知矩形的周长为8cm，设其中较长边为，将沿向折叠，折过后交于点.
（1）用表示图1中的面积：
（2）现决定按此方案制作一枚徽章，要求将徽章六个直角（如图2阴影部分）双面镀金（厚度忽略不计），已知镀金的价格是2元/cm2，试求将这枚徽章镀金所需的最大费用.
【答案】（1）
（2）元
【解析】
【分析】（1）根据已知条件，可推得，再在中，由勾股定理得，解得解得解得，，再结合面积公式，即可求解．
（2）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．
【小问1详解】
因为，所以，
又因为为较长边，所以，即.
设，则
因为，，
所以，所以，
在中，由勾股定理得，
即，解得，
所以，
所以的面积（单位：）
【小问2详解】
设一枚徽章的镀金费用为元，则 ,
由基本不等式可知：，当且仅当，即时等号成立，
,
所以当时，一枚徽章的镀金部分所需的最大费用为元.
18. 已知定义在上的函数是奇函数.
（1）求，的值，并判断函数的单调性；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1），在上是减函数
（2）
【解析】
【分析】（1）由奇函数的性质和定义求，由单调性定义判断单调性；
（2）由函数单调性及奇偶性将不等式转化为变量关系，分离参数并根据二次函数性质求范围.
【小问1详解】
是定义在上的奇函数，，解得；
，，
，即对一切实数都成立，，故.
，，在上是减函数.
证明：任取，且，则，
，，，，，
即，在上是减函数；
【小问2详解】
不等式，，，
是上的减函数，恒成立，
由对恒成立，.
即实数的取值范围为.
19. 已知函数，．
（1）若对任意，不等式恒成立，求m的取值范围；
（2）若对任意，存在，使得，求m的取值范围；
（3）若，对任意，总存在，使得不等式成立，求实数k的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）将不等式恒成立转化为恒成立，再根据即可求m的取值范围；
（2）将题中条件转化为的值域包含于的值域，再根据区间的两端点的函数值可得到的对称轴在区间之间，从而可得到，进而可求得m的取值范围；
（3）将不等式成立化简得到不等式成立，再构造函数，从而得到，再构造函数，根据即可求解．
【小问1详解】
由题意得恒成立，
得恒成立，即
解得．
【小问2详解】
当，当，
由题意得
∴得，
此时对称轴为，
故，即得或，
综上可得．
小问3详解】
由题意得对任意，总存在，使得不等式成立，
令，由题意得，
而，
设，则，
而，
易得，故．
【点睛】关键点点睛：小问（2）的关键是将题中条件转化为的值域包含于的值域，再根据闭区间的端点和函数的对称轴来求解参数的取值范围；小问（3）的关键是构造函数，即将不等式成立问题转化为求解函数的最值问题．