安徽省皖豫县中联盟2025-2026学年高一上学期期中考试数学（黄山专版）试题（Word版附解析）

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2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合交集的概念运算即可.
【详解】因为集合，
所以．
故选：B.
2. 命题的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，利用全称量词命题与存在量词命题的关系，准确改写，即可求解.
【详解】根据全称量词命题与存在量词命题的关系，可得命题的否定为．
故选：D.
3. 函数的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数解析式，列出不等式组，即可求解.
【详解】要使函数有意义，则满足，解得且，
所以定义域为．
故选：D.
4. 已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A. 3B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用一元二次不等式的解法可求解.
【详解】由题意可得是的解，
所以，解得，所以．
故选：A.
5. 已知集合，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，得到，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由集合，可得集合是全体奇数组成的集合，
又由，可得集合是全体被4除余1的整数组成的集合，
因为，所以，所以“”是“”的必要不充分条件．
故选：B.
6. 下列命题正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】利用不等式的性质或举反例法判断ABC；利用作差法比较大小，判定D．
【详解】对于A，若，满足，此时，故A错误；
对于B，若，满足，此时，故B错误；
对于C，若，则有，所以，故C正确；
对于D，由于，则，
所以，故D错误．
故选：C
7. 若函数存在最小值和最大值，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分类讨论对称轴的位置，利用二次函数的性质求解即可.
【详解】函数的图像开口向上，对称轴为，
若时，在上单调递增，有最大值，无最小值；
若时，存在最小值和最大值，则最小值为，最大值为，
解得；
若时，存在最小值和无最大值；
若时，上单调递减，有最小值，无最大值；
综上所述：实数的取值范围是.
故选：C.
8. 已知函数的图象是一条连续不断的曲线，若在上的值域为，则的最大值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】借助分段函数、二次函数及反比例型函数的性质计算即可得．
【详解】由题意知，解得或，
当时，的图象在处断开，不符合题意；
当时，符合题意，当时，令，得，
令，得或；
当时，令，得；
如图，作出的大致图象，

由图可知，当时，取得最大值，为4．
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设集合，若，则实数的值可以为（ ）
A. B.
C. D. 0
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合，即可求解.
【详解】由集合，
当时，即，满足；
当时，即，满足；
当时，即，满足，
综上可得，实数的值可以为或或.
故选：BCD.
10. 已知，且，则（ ）
A. 的最小值为B. 的最大值为
C. 4的最大值为2D. 的最大值为2
【答案】BD
【解析】
【分析】根据基本不等式和为定值求乘积的最大值，再根据已知等式关系转化求解最值，逐项判断即可得结论.
【详解】对于A，因为，所以，从而得，
当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，故A错误；
对于B，结合A项的分析，得，
当且仅当时，等号成立，故B正确；
对于C，所以，
当且仅当时，等号成立，即的最小值为2，故C错误；
对于D，，
当且仅当时，等号成立，所以的最大值为2，故D正确．
故选：BD.
11. 已知均是定义域为的非常值函数，且满足，，则（ ）
A. B.
C. D. 为奇函数
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意，令，求得，可判定A正确；令，求得，可判定B错误；令，得到，可判定C正确；令，得到
分别令和，结合函数奇偶性的性质，可判定D正确．
【详解】对于A，令，则有，两式相减可得，所以，所以A正确；
对于B，令，有，
因为不是常函数，所以，所以B错误；
对于C，令，有，所以，
所以，所以C正确；
对于D，两式相加，可得，
令，则有，可得，所以是偶函数，
因为，
令，可得，整理得，又因为，
令，可得，所以，
当时，可得，即，
当时，由C知：，可得，
因为是偶函数，可得，
又因为，可得，即，
所以，即，
综上可得，函数满足，所以为奇函数；
因为奇函数与偶函数的乘积是奇函数，所以是奇函数，所以D正确．
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】在等式中，令，可得出的值.
【详解】在等式中，令，有．
故答案为：.
13. 某校举办运动会，比赛项目分为田径和球类．高一（1）班共有50名同学，其中有18人参加田径比赛，有22人参加球类比赛，两类比赛都不参加的人数是都参加的人数的3倍，则两类比赛都参加的同学有___________人．
【答案】5
【解析】
【分析】利用Venn图即可求解．
【详解】设两类比赛都参加的人数为，画出Venn图如图所示，
则，解得，即两类比赛都参加的同学有5人．
故答案为：5.

14. 已知为奇函数，且当时，．若恒成立，则实数的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】由函数为奇函数，求得时，，转化为，得到，求得不等式的解集，即可得到答案.
【详解】设，则，
因为函数为奇函数，可得，
当时，可得，
当且仅当时，即时，等号成立，
又因为恒成立，即，
所以，解得或，
所以实数取值范围为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知幂函数在上单调递增．
（1）求的解析式；
（2）设，试比较与的大小关系．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用幂函数的定义及性质即可求解；
（2）根据（1）的结论及幂函数的性质，结合函数的单调性即可求解.
【小问1详解】
因为是幂函数，所以，解得或．
当时，，此时在上单调递减，不满足题意；
当时，，满足在上单调递增．
所以；
【小问2详解】
，，
因为，
所以，即．
16. 已知集合．
（1）若，求；
（2）若，且集合中恰有3个整数元素，求的取值范围．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出具体集合，再利用集合的混合运算求解即可.
（2）结合题意建立不等式，进而求解参数范围即可.
【小问1详解】
当时，，
而或，
则或．
【小问2详解】
当时，由得．
若，则，
此时中的整数元素可能为1和2，不可能有3个，不符合条件；
若，则，
若中恰有3个整数元素，则这3个元素为2，3，4，
则，解得，
即实数的取值范围为．
17. 某文具店销售笔记本，根据销售数据，日均销量与售价存在分段规律．该文具店每日的固定成本为20元，每本笔记本的进价为2元．设笔记本的售价为每本元，日均销量为本．当时，；当时，．
（1）写出该文具店的日均利润（元）的解析式．（利润=销售收入-成本）
（2）当笔记本的售价定为每本多少元时，该文具店的日均利润最大？最大日均利润是多少？
【答案】（1）
（2）当笔记本的售价定为每本7元时，该文具店的日均利润最大，为230元．
【解析】
【分析】（1）依题意,当时，当时，根据利润与售价的关系即可求得解析式；
（2）根据相应解析式利用二次函数与基本不等式得最值，比较可得结论．
【小问1详解】
当时，
当时，
综上，
【小问2详解】
当时，，
图象的对称轴为，
所以在上单调递增，最大值在处取到，为220；
当时，
，
当且仅当，即时，等号成立，且；
因为，所以当笔记本的售价定为每本7元时，该文具店的日均利润最大，为230元．
18. 已知为偶函数，且．
（1）求；
（2）用定义证明在区间上单调递减；
（3）探究当时，与的关系，并求的解集．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3），
【解析】
【分析】（1）由，求得，再由为偶函数，列出方程，求得，即可得到答案；
（2）由（1）可得，结合函数的单调性的定义与判定方法，即可得证；
（3）当时，得到，把不等式转化，再由为偶函数，且在上单调递减，得到，即可求解.
【小问1详解】
解：由函数，因为，可得，
又因为为偶函数，有，即，解得，
综上可得：．
【小问2详解】
证明：由（1）可得．
任取，且，
则
因为，可得，
所以，即，
所以在区间上单调递减．
【小问3详解】
解：当时，，所以，
由可得，
因为，所以不等式等价于，
因为为偶函数，且在上单调递减，
所以，即，即，解得．
又因为，所以所求不等式的解集为．
19. 当已知变量满足某个常数等式时，将目标表达式中的常数替换，构造出可使用基本不等式的形式，进而求解最值，是解决最值问题时常用的一种方法．
例：已知，且，求的最小值．
解：，当且仅当，即时，等号成立．
学习上述解法，解决下列问题：
（1）若正实数满足，求的最小值；
（2）若均为正实数，且，试比较和的大小，并说明理由；
（3）利用（2）的结论，求的最大值，并求取得最大值时的值．
【答案】（1）
（2），证明见解析
（3）当时，取到最大值．
【解析】
【分析】（1）由得到，再结合基本不等式即可求解；
（2）由，结合基本不等式即可求解；
（3）令，得到，再结合（2）的结论即可求解.
【小问1详解】
由，可得，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为．
【小问2详解】
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以．
【小问3详解】
要使有意义，
则，解得．
令，有，
则，所以．
，
即，所以，
当且仅当，即时等号成立．
所以当时，取得最大值为．