安徽省合肥市普通高中六校联盟2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（Word版附解析）

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（考试时间：120分钟 满分：150分）
命题学校：合肥七中 命题教师：李歆辉 审题教师：韩莹
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合交集运算求解.
【详解】由题可知，，所以.
故选：C.
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】判断充分必要条件需要既要判断充分性也要判断必要性.
【详解】当时，或，则不满足充分性；
当时，成立，则满足必要性，
∴“”是“”的必要不充分条件
故选：B
3. 下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，结合同一函数的定义，结合定义域和对应关系，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，函数和的定义域都是，对应关系也相同，是同一个函数，故A符合题意；
对于B中，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故B不符合题意；
对于C中，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故C不符合题意；
对于D中，函数与的定义域不同，故D不符合题意.
故选：A.
4. 已知，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据指数函数性质以及中间量“1”即可比较大小.
【详解】根据指数函数性质知，即，
又因为，则.
故选：D.
5. 已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用分段函数单调性，结合一次、二次函数单调性求解即得.
【详解】由是上的增函数，得，解得，
所以实数a的取值范围是.
故选：B
6. 已知且，且，若函数为偶函数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】函数为偶函数，有，代入函数解析式，化简得恒成立，则有．
【详解】由题意可知，，即，
所以，因为，所以恒成立，所以．
故选：B.
7. 已知函数，设，若，则取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的单调性情况，及分段函数在每段内的最值情况可得与的取值范围及与间关系，进而可得，利用换元法可得取值范围.
【详解】由，易知函数在和上分别单调递增，
所以，
又当时，，
因为，
则，，即，，
又，所以，
所以，
设，则，，
所以，
故选：C.
8. 设函数，若存在最小值，则的最大值为（ ）
A. 1B. C. D. -
【答案】A
【解析】
【分析】当时，由一次函数单调性可知无最小值，不合题意；当时，结合二次函数性质可知，满足题意；当和时，根据函数存在最小值可确定分段处的函数值的大小关系，由此解得的范围；综合所有情况即可得到的最大值.
【详解】当时，在上单调递增，此时无最小值，不合题意；
当时，，
当时，，又时，，
存在最小值，满足题意；
当时，在，上单调递减，在上单调递增，
若存在最小值，则，解得：，；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
若存在最小值，则，不等式无解；
综上所述：实数的取值范围为，则的最大值为.
故选：A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 图中阴影部分用集合表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据交集、补集以及图象等知识来确定正确答案.
【详解】根据图象可知，阴影部分表示的集合是，
所以AB选项正确、C选项错误.
而，不符合题意，D选项错误.
故选：AB
10. 若，，且，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据基本不等式分析的最值即可.
【详解】对AB，，，且，
，即，当且仅当时取等号，
，故A正确B错误；
对CD，，当且仅当时取等号，故.
故C错误D正确.
故选：AD
11. 已知函数满足：①对任意，；②若，则.则（ ）
A. 的值为2B.
C. 若，则D. 若，则
【答案】ABC
【解析】
分析】对于A，令，结合“若，则”即可判断；对于B，由基本不等式相关推理结合即可判断；对于C，令得，，由此即可判断；对于D，令，即可判断.
【详解】对于A，令，得，解得或，
若，令，得，即，
但这与②若，则矛盾，
所以只能，故A正确；
对于B，令，结合得，，
解得或，
又，所以，
所以只能，故B正确；
对于C，若，令得，，
所以，所以，
所以，故C正确；
对于D，取，
则
且单调递增，
满足，但，故D错误
故选：ABC.
【点睛】关键点睛：判断D选项的关键是构造，由此即可证伪.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 命题“，”的否定是__________.
【答案】，
【解析】
【分析】根据全称命题的否定是特称命题求解即可.
【详解】命题“，”的否定是“，”.
故答案为：，
13. 若函数是R上的奇函数，且在上是增函数，又，则的解集是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数奇偶性和单调性得到当或时，，当或时，，从而得到不等式的解集.
【详解】因为为R上的奇函数，则，在上是增函数，则在0,+∞上也单调递增，
又，故，
当或时，，当或时，，
故当时，，满足，
当时，，满足，
综上，的解集为.
故答案为：
14. 已知，是正实数，且关于，的方程有解，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】先由得，由基本不等式进而可得.
【详解】因，是正实数及，可知，
可得，得，得，
因，是正实数，故，得，当且仅当时等号成立，
故，故，
故，故，
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，，.
（1）求；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1），或
（2）
【解析】
【分析】（1）根据并集和补集的概念计算；
（2）根据，可以知道两个集合数轴上表示，要有公共部分，比较端点即可.
【小问1详解】
因为
所以，所以或
【小问2详解】
因为，且，即集合数轴表示要有公共部分，
所以，即的取值范围是.
16. 如图所示，有一块矩形空地，要在这块空地上开辟一个内接四边形绿地（图中四边形）．使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知米，米，且．

（1）设米（），求出四边形的面积关于的表达式；
（2）为使绿地面积不小于空地面积的一半，求长的最大值．
【答案】（1）
（2）100
【解析】
【分析】（1）根据矩形与三角形的面积公式计算，即可;
（2）解一元二次不等式即可.
【小问1详解】
设米，则，
，，
即；
【小问2详解】
若绿地面积不小于空地面积的一半，则，即
解得，故AE的长的最大值为100米.
17. 幂函数为偶函数，.
（1）求的解析式；
（2）若对于恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先根据幂函数定义得到或，再根据为偶函数判断即可；
（2）由题意得对于恒成立，再分类讨论，结合基本不等式求解即可.
【小问1详解】
因为幂函数为偶函数，
∴，解得或，
当时，，定义域为，
，所以为偶函数，符合题意；
当时，，定义域为，
，所以为奇函数，不合题意，
综上，
【小问2详解】
因为，
所以对于恒成立，即对于恒成立，
当时，得恒成立，则；
当时，得，
，当且仅当时等号成立，故，
当时，得，
，
当且仅当时等号成立，故，
综上，.
18. 已知函数，其中是奇函数.
（1）求a的值；
（2）判断的单调性并用定义证明；
（3）当时，恒成立，求实数t的取值范围.
【答案】（1）
（2）在和上为减函数，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据函数的奇函数，满足，列式求解；
（2）设和上的任意，，且，分析的正负证明即可；
（3）根据函数是奇函数，结合单调性化简不等式得，再讨论得到取值，求解的取值范围.
小问1详解】
函数的定义域为，因为函数是奇函数，所以，
，则，则，
故.
小问2详解】
在和上为减函数，证明见解析
设上的任意，，且，
由；
，
，，则.
故，在上为减函数.
当时，，，
则，在上也为减函数.
综上有在和上为减函数.
【小问3详解】
，由（2）可得在和上是严格减函数，
且当时，；当时，；
由可得：，，
当时，，
当时，，所以，即，又，所以；
当时，，则，而，，则满足题意；
函数的定义域，则时不符，舍去.
综上.
19. 设A是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素a，b，，使得，则称A为“等差集”．
（1）若集合，，且B是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B；
（2）若集合是“等差集”，求m的值；
（3）已知正整数，证明：不是“等差集”．
【答案】（1）答案见解析
（2） （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据等差集的定义结合子集的定义求解即可；
（2）根据等差集定义应用，即逐个计算判断即可；
（3）应用反证法证明集合不是等差集.
【小问1详解】
因为集合，，存在3个不同的元素a，b，，使得，
则或或.
【小问2详解】
因为集合是“等差集”，
所以或或,
计算可得或或或，
又因为正整数,所以.
【小问3详解】
假设是“等差集”，
则存在,成立，
化简可得,
因为,所以,
所以x=1与集合的互异性矛盾，
所以不是“等差集”．
【点睛】方法点睛：解题方法是定义的理解，应用反证法设集合是等差集，再化简计算得出矛盾即可证明.