安徽省黄山市2025-2026学年高一上学期期中联考数学试题（Word版附解析）

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考试时间：120分钟 满分：150分
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4．试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.
5．考察范围：必修第一册第一章~第四章.
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题易求.
【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题知，
命题“”的否定是.
故选：A
2. 设全集，集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合的交并补运算即可结合选项逐一求解.
【详解】由题意可得,,
或，
对于A, 或，故A错误，
对于B，，故B正确，
对于C，，故C错误，
对于D，，故D错误，
故选：B
3. 已知函数是定义在上的奇函数，当，，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用奇函数的性质求出的单调性，分情况拆绝对值求解
【详解】由题意可知在上单调递增，，且，
又函数是定义在上的奇函数，，则有在上单调递增，
则是在上的增函数，，
则不等式等价于或
解得或．
故选：C.
4. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据定义域可排除D，根据的函数值正负可排除A，根据的函数值正负可排除B．
【详解】可得的定义域为，故D错误；
∵，∴是奇函数，图象关于原点对称，
当时，，，则＞0，图象在轴上方，故A错误，
当时，，，则＜0，图象在轴下方，故B错误．
故选：C
5. 若函数的定义域是，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数有意义可得：恒成立，解出即可.
【详解】解：由定义域是知：恒成立，
即无解，
若，则知方程无解；
若，则，
解得：，
综上所述：
故选：C.
6. 已知定义在上的奇函数，对任意的，都有，当时，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合函数的奇偶性和周期性，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解即可.
【详解】因为定义在上的奇函数，所以，
又对任意的，都有，即，即，
所以是以4为周期的周期函数，
所以，
因为是定义在上的奇函数，所以，
又，
而当时，，
所以，
故选：A
7. 设函数，，若对，，使得，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由余弦函数的值域得到的范围是，再根据已知得到恒成立，进而得到恒成立，最后结合二次函数的性质求出结果即可.
【详解】因为，所以，所以的范围是.
由题意知对，，使得，此即对恒成立.
由得对恒成立，所以的取值范围是.
故选：A.
8. 若函数与函数（且）的图像有且仅有一个交点，则的范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，分，分别做出分段函数的图像，结合图像即可得到结果.
【详解】当时，由，得当时，的周期．
设，则，
做出分段函数的图像，如图
当时，
由图可知，显然成立．
当时，则，，即．
综上所述，且．
故选:C．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列各组函数为同一个函数的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】CD
【解析】
【分析】根据同一函数的定义域和对应法则相同判断各项中函数是否相同.
【详解】A：定义域为R，定义域为，不为同一函数；
B：与的对应法则不同，不为同一函数；
C：，的定义域和对应法则均相同，为同一函数；
D：，的定义域和对应法则均相同，为同一函数；
故选：CD
10. 函数（，且）恰有两个零点，则a可以是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】转化问题为函数和有2个交点，进而分，两种情况结合图象求解即可.
【详解】令，即，
因为函数恰有两个零点，
则函数和有2个交点.
当时，画出函数的图象，如下图：

由图可知，要使函数和有2个交点，
则，解得；
当时，画出函数的图象，如下图：

由图可知，要使函数和有2个交点，
则，解得，不符合题意.
综上所述，的取值范围为.
故选：CD.
11. 已知函数，的零点分别为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据函数，与的图象关于直线对称建立的关系，从而逐项分析判断即可得解.
【详解】因为，，
令，，得，，
因为与互为反函数，所以它们的图象关于直线对称，
因为，
所以由的图象向右向上各平移一个单位得到图象，
故函数的图象关于直线对称，即可知点关于直线对称，
作出，与的大致图象，如图，
由图象可知的横坐标为，的横坐标为，
对于A，由上述分析得，则，
所以，故A错误；
对于B，由上述分析得，故B正确；
对于C，由，故C正确；
对于D，，
当且仅当，即时，等号成立，
显然，则，故等号不成立，
所以，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是理解指数函数与对数函数互为反函数，其图象关于对称，而的图象也关于对称，从而得解.
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 我们知道，任何一个正实数可以表示成，此时．当时，是位数．已知，则是______位数．
【答案】48
【解析】
【分析】根据题意计算，则所求结果为此数的整数部分加1.
【详解】因为，
所以，
所以是48位数，
故答案为：48
13. 函数的单调递增区间是______.
【答案】##
【解析】
【分析】先求出函数定义域，然后换元后利用复合函数“同增异减”的方法求解即可
【详解】由，得，解得或，
所以的定义域为，
令，则，
因为在上递减，在上递增，而在定义域内递增，
所以在上递减，在上递增，
所以的单调递增区间是或，
故答案为：
14. 已知两个正实数x，y满足，则的最小值为_____________
【答案】4
【解析】
【分析】根据基本不等式中“1”的整体代换计算即可.
【详解】因为两个正实数x，y满足，
故，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）计算
（2）计算.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】利用指数与对数的运算法则计算即可.
【详解】（1）原式.
（2）原式.
16. 已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数．
（1）求和的值；
（2）若实数满足，求的最小值.
【答案】（1）或1，
（2）2
【解析】
【分析】（1）根据幂函数概念和性质求解；
（2）由（1）得，变形可得，然后利用基本不等式中1的妙用求出最小值．
【小问1详解】
幂函数，则，解得或1，
又幂函数在上是减函数，故，解得，
因，故或，
当时，幂函数为，图象关于轴对称，符合题意；
当时，幂函数为，图象关于原点对称，不合题意，
综上所述：或1，；
【小问2详解】
∵实数满足，
∴，则，
∴
.
当且仅当且，即时等号成立.
所以的最小值是2.
17. 已知函数是定义域为的奇函数.
（1）求，的值；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】（1）由奇函数的性质可得、，代入即可得解；
（2）由可判断函数单调递减，结合奇函数的性质可得恒成立，即可得解.
【详解】（1）因为函数为奇函数，故，则，
所以，
又恒成立，所以；
（2）因为，函数单调递减，
又恒成立，所以恒成立，
所以恒成立，即恒成立，
所以.
【点睛】本题考查了利用奇函数的性质求参数，考查了利用函数的单调性与奇偶性解函数不等式，属于中档题.
18. 近几年打印手办深受青少年的喜爱，某工厂计划在2024年利用新技术生产手办，通过调查分析：生产手办全年需投入固定成本12万元，生产（千件）手办，需另投入成本（万元），且由市场调研知每件手办售价90元，且每年内生产的手办当年能全部销售完.
（1）求出2024年的利润（万元）关于年产量（千件）的表达式；
（2）2024年年产量为多少（千件）时，该工厂所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）年产量为10（千件）时工厂所获利润最大，最大利润是8万元.
【解析】
【分析】（1）分和两种情况，得到函数解析式；
（2）当时，利用二次函数的性质得到当时，万元，当时，利用基本不等式求出最大值，比较后得到结论.
【小问1详解】
当时，；
当时，，
所以
【小问2详解】
若，即，
当时，万元；
若，
当且仅当时，即时，万元，
因为，
所以2024年年产量为10（千件）时，该工厂所获利润最大，最大利润是8万元.
19. 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部反比例对称函数”．
（1）判断函数的奇偶性并说明理由；
（2）已知函数，试判断是不是“局部反比例对称函数”．并说明理由：
（3）若是定义在区间上的“局部反比例对称函数”，求实数的取值范围．
【答案】（1）奇函数，理由见解析
（2）不是，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的定义，即可判断；
（2）根据“局部反比例对称函数”的定义，列方程，转化为一元二次方程是否有实数根的问题，即可求解；
（3）首先根据新定义，列方程，再利用换元设，转化为一元二次方程在给定区间有解问题，讨论对称轴和定义域的关系，列式求解.
【小问1详解】
函数的定义域是，
，
所以函数是奇函数；
【小问2详解】
函数，，，
令，得，其中，方程无解，
所以定义域内不存在实数，使，
所以不是“局部反比例对称函数”；
【小问3详解】
函数，，
若函数是定义在区间上的“局部反比例对称函数”，
所以，得，
即，其中，
令，
得，，
设，可知函数的对称轴为，开口向上，
当时，由，解得，
当时，由得，得，
综上可知，当时，方程在上有解，
即在上有解，
即是定义在区间上的“局部反比例对称函数”，
所以的取值范围是.