广东省肇庆市封开县封川中学2025-2026学年九年级上学期11月期中 数学试题

这是一份广东省肇庆市封开县封川中学2025-2026学年九年级上学期11月期中 数学试题，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的.
1.母亲节当天，花店推出“康乃馨买9送2”优惠活动，但只送黄色或白色的．小丽给妈妈选了5枝红色和4枝粉色的康乃馨，又在送的两种颜色中选了2枝，她送给妈妈的花束中任选一枝是黄色康乃馨的概率是（ ）
A． 111 B． 211
C．0 D．以上都有可能
2.下列不是一元二次方程的是 （ ）
A.(x+2)²=3B.x²=3
C.x+2²=5D.x-x²=5
3.如果 x3＝ y4＝ z5≠0，那么代数式 y2＋zyxz的值是( )
A. 85
B. 3615
C. 2417
D. 125
4.如图，已知AB∥CD∥EF，若AC＝2CE，BD＝8，则DF的长为( )
A．4B．5C．6D．7
5.如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．
下面有三个推断：
①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，∴“钉尖向上”的概率是0.616；
②随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；
③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是0.620．
其中合理的是（ ）
A．①B．②C．①②D．①③
6.方程 x2−x+3=0的根的情况是（ ）
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.无实数根D.只有一个实数根
7.如图，在△ABC中，P是AB边上一点(不与点A，B重合)，过点P作直线截△ABC，所截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有( )
A.2条B.3 条C.4条D.5条
8.方程 x2−2x=0的两根为x₁，x₂，则x₁+x₂的值是（ ）
A．-2B．1C．2D．0
9.如图，已知正方形ABCD，点E为BC的中点，连接ED交AC于F，则S△DFC∶S四边形ABEF的值为( )
A． 14 B． 25
C． 713 D． 38
10.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E为射线CB上一动点(不与点C重合)，将△CDE沿DE所在直线折叠，点C落在点C′处，连接AC′，当△AC′D为直角三角形时，CE的长为 ( )
A.4＋4 7 B.4－4 5
C.4＋ 7或4－ 7 D.4＋4 7或4－4 5
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.
11.在比例尺为1∶10000的地图上，相距5厘米的两地实际距离为________千米
12.“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是 ．

13.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝8，AC＝6，E，F分别为BC，OD的中点，连接EF，则EF的长为________．
14.在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2＝AE•AB．已知AB为2米，则线段BE的长为______米．
15.在平面直角坐标系中，点(2，3)到x轴的距离是 .
三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题8分，共24分.
16.用直接开平方法解下列方程：
(1) (x+5)(x−5)=45；
(2) 4(1−2x)2−36=0.
17.珠海博物馆于2024年3月5日至4月6日展出四件国宝级文物（清代圆明园海晏堂部分十二生肖兽首文物原件）.小明、小华分别从离博物馆3 km和5 km的两地同时出发前往博物馆，小明、小华的平均速度比是3∶4，结果小明比小华提前10分钟到达博物馆.
（1）求小明、小华的平均速度；
（2）进入博物馆后，由于即将闭馆.两人决定在四件兽首A，B，C，D中随机选择其中一件兽首参观，请用列表或画树状图法求出他们选中同一件兽首参观的概率.
18.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A( −1，2)，B( −3，3)，C( −3，1)．
(1)以点B为位似中心，在点B的下方画出△A1BC1，使△A1BC1与△ABC位似，且相似比为2∶1，点A，C的对应点分别为A1，C1；
(2)直接写出点A1和点C1的坐标：A1(______，______)，C1( ______，______)．
四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分.
19.如图，四边形 ABCD中，AD∥BC，AB∥CD，点E，F是对角线 BD所在直线上的两点，且 DE=BF，连接AE，AF，EC，CF， ∠AEC=90°．
(1)求证：四边形 AECF是矩形．
(2)若 ∠ADB=90°，延长 AD交 EC于点N，若 AEAF=12，求 S△EDNS△FDA的值．
20.如图，在正方形ABCD的内部作等边三角形ABE，连接DE，CE，对角线BD交AE于点F.
(1)求证：CE＝DE；
(2)求∠EDF的度数．
21.【项目式学习】制作“E”形视力表.
【课题实施】根据标准对数视力表(测试距离为5米)，以小组合作方式，制作变更测试距离的视力表．
【课题结论】
(1)如图①，利用“E”的高度b与它到眼睛的水平距离l之比(即 bl)来刻画视力．
(2)大小不同的“E”，只要它们这一比值(即 bl)相同，那么用他们测得的视力就相同．
【课题应用】
问题1：根据图②所示，水平桌面上依次放着①号和②号大小不一样的两个“E”字，将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从观测点O看去，对应顶点A，C，O在同一直线上为止，其中AB是①号“E”字的高度，CD是②号“E”字的高度，请用所学知识证明：此时①号字“E”与②号“E”字测试的视力相同；
问题2：小明想制作一张测试距离为3米的“E”形视力表．以图②所示，①号“E”是标准对数视力表中视力为4.2的“E”字，其高度AB为45 mm，求小明在制作视力为4.2的②号“E”字时，②号“E”的高度CD应为多少mm？(A，C，O在一条直线上，B，D，O在一条直线上)
五、解答题(三)：本大题共2小题，每小题12分，共24分.
22.如图，某市近郊有一块长为60m，宽为50m的长方形荒地，政府准备在此建一个运动场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个长方形区域将铺设塑胶地面作为运动场地．
（1）设通道的宽为xm，则a＝ ；(用含x的代数式表示)
（2）若塑胶运动场地总占地面积为2430m2，则通道的宽为多少米．
23.已知在 Rt△ABC中， ∠BAC=90°， AB=2， AC=4，D为 BC边上的一点．过点D作射线 DE⟂DF，分别交边 AB、AC于点E、F．
(1)当D为 BC的中点时：
①如图①，若 DE⟂AB， DF⟂AC， DE与 DF的数量关系是 ； EF与 AD是否相等？ （填“是”或“否”）；
②将 ∠EDF绕点D旋转到图②位置时，①中 DE与 DF的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
(2)改变点D的位置，当点D是 BC的三等分点时，直接写出 DEDF的值．
选择题
1.D
【解析】由题意可知，小丽给妈妈选了5枝红色和4枝粉色的康乃馨，花店送出2枝黄色或白色的康乃馨，当选一支黄色康乃馨时，她送给妈妈的花束中有黄色康乃馨的概率是 14+5+2=111；当选两支黄色康乃馨时，她送给妈妈的花束中有黄色康乃馨的概率是 24+5+2=211；当选零支黄色康乃馨时，她送给妈妈的花束中有黄色康乃馨的概率是 04+5+2=011=0；所以她送给妈妈的花束中有黄色康乃馨的概率是 111或 211或0．
2.C
3.D
【解析】设 x3＝ y4＝ z5＝k，则x＝3k，y＝4k，z＝5k，∴原式＝ 16k2＋20k215k2＝ 125.
4.A
【解析】∵直线AB∥CD∥EF，∴ ACCE=BDDF，∵AC＝2CE，∴ 2CECE=8DF，即 21=8DF，∴DF＝4．
5.B
【解析】当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，∴此时“钉尖向上”的频率是：308÷500＝0.616，但“钉尖向上”的概率不一定是0.616，故①错误，随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618，故②正确，若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率可能是0.620，但不一定是0.620，故③错误．
6.C
7.C
8.C
9.B
【解析】∵四边形ABCD为正方形，∴AD∥BC，AD＝BC，S△ACD＝S△ABC，∴△AFD∽△CFE，∴ AFCF=ADCE，∵点E为BC的中点，∴AD＝2EC，∴ AFFC=2，∴S△AFD＝4S△EFC，S△AFD＝2S△DFC，∴S△DFC＝2S△EFC，∴S四边形ABEF＝S△ABC－S△EFC＝5S△EFC，∴S△DFC∶S四边形ABEF＝2∶5．
10.C
【解析】因为四边形ABCD是矩形，所以∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝3，AD＝BC＝4，由折叠的性质得，C′D＝CD＝3，∠DC′E＝∠C＝90°，C′E＝CE，设CE＝C′E＝x，当△AC′D为直角三角形时，则∠AC′D＝90°，所以∠AC′D＋∠DC′E＝180°，所以A,C′,E三点共线，分两种情况：①当点E在线段CB上时，如解图①所示，则∠C＝∠DC′E＝90°，所以∠AC′D＝90°，所以AC′＝ AD2−C′D2＝ 42−32＝ 7，在Rt△ABE中，AE＝C′E＋AC′＝x＋ 7，BE＝BC－EC＝4－x，由勾股定理得，BE2＋AB2＝AE2,即(4－x)2＋32＝(x＋ 7)2，解得x＝4－ 7，所以CE＝4－ 7；②点E在线段CB的延长线上时，如解图②所示，则∠C＝∠DC′E＝90°，所以AC′＝ AD2−C′D2＝ 42−32＝ 7，在Rt△ABE中，AE＝C′E－AC′＝x－ 7，BE＝CE－BC＝x－4，由勾股定理得，BE＋AB2＝AE2,即(x－4)2＋32＝(x－ 7)2，解得x＝4＋ 7，所以CE＝4＋ 7，综上所述，当△AC′D为直角三角形时，CE的长为4－ 7或4＋ 7.

解图① 解图②
填空题
11.0.5千米
【解析】根据比例尺＝图上距离∶实际距离，设两地实际距离为x厘米，得1∶10000＝5∶x，∴相距5厘米的两地实际距离是5×10000＝50000(厘米)＝0.5(千米).
12. 16
【解析】设立春用A表示，立夏用B表示，秋分用C表示，大寒用D表示，画树状图如下，由图可得，一共有12种等可能性的结果，其中小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的可能性有2种，∴小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是 212= 16．
13. 732
【解析】如解图，过点E作EG∥AC交BD于点G，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO＝3，OB＝OD＝4，∵点E是BC的中点，∴EG是△BOC的中位线，∴点G是OB的中点，∴OG＝2，EG＝ 12OC＝ 32，∵F是OD中点，∴FG＝4，∠EGF＝90°，∴根据勾股定理，得EF＝ EG2＋FG2＝ （32）2＋42＝ 732.
解图
14.(－1 +5)
【解析】∵BE2＝AE•AB，AB＝2，设BE＝x，则AE＝(2 −x)，∴x2＝2(2 −x)，即x2+2x −4＝0，解得 x1＝ −1 +5， x2＝ −1 −5(舍去)，∴线段BE的长为( −1 +5)米．
15.3
【解析】点(2，3)到x轴的距离是3.
解答题
16.解：(1) x2−5=45,
∴x2=50.
∴x1=52，x2=−52.
(2) (1−2x)2=9,
∴1−2x=±3.
∴1−2x=3,1−2x=−3.
∴x1=−1,x2=2.
17.解：（1）设小明的平均速度为3x km/h，则小华的平均速度为4x km/h，
由题意得 33x+ 16= 54x，
解得x= 32.
经检验，x= 32是原方程的解且符合题意.
∴小明的平均速度为 92 km/h，小华的平均速度为6 km/h;
（2）画树状图如答案图：
答案图
共有16种等可能的结果，其中他们选中同一件兽首参观的结果有4种，
∴他们选中同一件兽首参观的概率为 416= 14.
18.解：(1)如解图，△A1BC1即为所求；
解图
(2)1，1， −3， −1．
19.（1）证明：连接 AC交 BD于O，
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形 ABCD是平行四边形，
∴ AO=CO， DO=BO，
又∵ DE=BF，
∴ OD+DE=OB+BF，即 OE=OF，
∴四边形 AECF是平行四边形，
又∵ ∠AEC=90°，
∴平行四边形 AECF是矩形；
（2）解：设 AE=x，则 AF=2x，
在矩形 AECF中， ∠EAF=90°，
∴ EF=AE2+AF2=5x，
∵ ∠ADB=90°，
∴ 12AE⋅AF=12EF⋅AD，即 12x×2x=12×5x⋅AD，
∴ AD=255x，
∴ ED=AE2−AD2=55x， FD=AF2−AD2=455x，
∵四边形 AECF是矩形，
∴ CE∥AF，
∴ ∠NED=∠AFD,∠END=∠FAD，
∴ △EDN∽ △FDA，
∴ S△EDNS△FDA=(DEDF)2=(55x455x)2=116．
20.(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC，∠DAB＝∠CBA＝90°，
∵△ABE是等边三角形，
∴AE＝BE＝AB，∠EAB＝∠EBA＝60°，
∵∠DAE＝∠BAD－∠EAB＝30°，∠CBE＝∠CBA－∠EBA＝30°，
∴∠DAE＝∠CBE，
∴△CBE≌△DAE(SAS)，
∴CE＝DE；
(2)解：∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，
∴∠ADB＝ 12∠ADC＝45°，
由(1)可知∠DAE＝30°，∴∠ADE＝ 12(180°－∠DAE)＝75°，
∴∠EDF＝∠ADE－∠ADB＝75°－45°＝30°.
21.解：问题1：证明：由题可得AB//CD，
∴∠ABO＝∠CDO，∠BAO＝∠DCO，
∴△ABO∽△CDO，
∴ CDAB=ODOB，
∴ CDOD=ABOB=bl，
∴①号“E”字与②号“E”字测试的视力相同；
问题2：由问题1可得， CDOD=ABOB，
∵AB＝45，OB＝5，OD＝3，
∴ CD3=455，
∴CD＝27，
答：②号“E”的高度CD应为27 mm．
22.解：（1） 60−3x2；
（2）根据题意得(50－2x)(60－3x)－x· 60−3x2=2430，
整理得x2－40x＋76＝0，
解得x1＝2，x2＝38(不符合题意，舍去)．
即通道的宽为2m．
23.解：（1）① DE=2DF，是；
【解法提示】∵ DE⟂AB,DF⟂AC,∠A=90°，∴四边形 AEDF是矩形，∴ DE//AC,DF2//AB，∴ △BDE∽△BCA,△CDF∽△CBA，∵点 D是 BC的中点，∴ DE=12AC=2,DF=12AB=1，则 DE=2DF.
② DE=2DF仍然成立．
如答案图①，过点 D作 DM⟂AB于点 M，作 DN⟂AC于点 N，
则 ∠DME=∠DNF=∠A=90°，
∴ ∠MDN=90°，即 ∠MDE+∠EDN=90°，
∵ DE⟂DF，
∴ ∠EDF=90°，即 ∠EDN+∠NDF=90°，
∴ ∠MDE=∠NDF，
∴ △DME∽△DNF，
∴DEDF=DMDN，
由①知， DMDN=2，
∴DEDF=2，
即 DE=2DF．
答案图①
（2）如答案图②，过点 D作 DP⟂AB于点 P,DQ⟂AC于点 Q，
∴∠DPA=∠DQA=∠A=90°，
∴四边形 APDQ是矩形，
∴ DP=AQ,DQ=AP，
由（1）②可得 △DPE∽△DQF，
∴DEDF=DPDQ，
∵ DP∥AC,DQ∥AB，
∴ △DQC∽△BAC,△DPB∽△CAB，
∴DQAB=CDCB,DPAC=BDBC，
①当 BD=2CD时，
则 CDCB=13,BDBC=23，
∴ DQ=CDCB⋅AB=23,DP=BDBC⋅AC=83，
∴DEDF=DPDQ=4；
②当 2BD=CD时，
则 CDCB=23,BDBC=13，
∴ DQ=CDCB⋅AB=43,DP=BDBC⋅AC=43，
∴DEDF=DPDQ=1；
综上， DEDF的值为1或4．
答案图②