福建省莆田市哲理中学2025-2026学年八年级上学期期中考 数学试卷

这是一份福建省莆田市哲理中学2025-2026学年八年级上学期期中考 数学试卷，共16页。试卷主要包含了下列计算正确的是等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”“黄金螺旋线”“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”．其中不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．如图，已知两个三角形全等，则∠1的度数是（ ）
A．38°B．50°C．54°D．76°
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．如图，在△ABC中，AB＝7，AC＝5，AD是△ABC的中线，则△ABD与△ADC的周长之差为（ ）
A．0B．1C．2D．3
如图，在Rt△ABC中，∠B＝30°，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AB于点D，连结DC，则∠DCB的度数是（ ）
A．37°B．36°C．27°D．26°
6．已知，△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，BB'交MN于点O，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A．AC＝A′C′B．BO＝B′OC．BB′⊥MND．AB∥B′C′
7．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为（ ）
A．180°B．270°C．360°D．90°
8．如图，网格中的每个小正方形边长均为1，△ABC的顶点均落在格点上，若建立适当的坐标系，记点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（5，1），则到△ABC三个顶点距离相等的点的坐标为（ ）
A．（4，2）B．（3，2）C．（2，2）D．（3，1）
9．下列关于全等三角形的说法中，不正确的是（ ）
A．面积及一直角边对应相等的两个直角三角形全等
B．面积相等的两个等腰直角三角形全等
C．面积及底边对应相等的两个等腰三角形全等
D．面积及腰对应相等的两个等腰三角形全等
10．当题目条件出现角平分线时，我们往往可以构造等腰三角形解决问题．如图1，在△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2，AC＝3，求BC的长，解决方法：如图2，在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE．可得△DEC≌△DAC且△BDE是等腰三角形，所以BC的长为5．试通过构造等腰三角形解决问题：如图3，△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，要想求AD的长，仅需知道下列哪些线段的长（BC＝a，BD＝b，DC＝c）（ ）
A．a和bB．b和cC．a和cD．a、b和c
二．填空题（每题4分，共24分）
11．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）关于x轴的对称点坐标是 ．
12．已知三角形的两边长分别是3和7，如果第三边长为x（x是整数），则x最大为 ．
13．如果n边形的内角和是它外角和的2倍，则n等于 ．
14．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．△ABC的面积为20，AB＝12，DE＝2，则BC的长为 ．
15．已知am＝2，an＝3，求的值是 ．
16．如图，在直角坐标系中，点A的坐标是（0，8），点B是x轴上的一个动点．以AB为边向右侧作等边三角形ABC，连接OC，在运动过程中，OC的最小值为 ．
三．解答题（共9题，86分。）
17．（1） （2）
18．如图．∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，求证：Rt△ABC≌Rt△ADC．
19．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，CD平分∠ACB．
求证：△BCD是等腰三角形．
20．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．
（1）若∠B＝42°，∠E＝26°，求∠BAC的度数；
（2）直接写出∠BAC、∠B、∠E三个角之间存在的等量关系．
21．已知，如图，△ABC为等边三角形，点E在AC边上，点D在BC边上，并且AE＝CD，AD和BE相交于点M，BN⊥AD于N．MN＝3cm，ME＝1cm，求AD的长
22．如果xn＝y，那么我们规定（x，y）＝n．例如：因为32＝9，所以（3，9）＝2．
（1）（理解）根据上述规定，填空：（2，8）＝ ，（）＝ ；
（2）（说理）记（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c．试说明：a+b＝c；
（3）（应用）若（m，16）+（m，5）＝（m，t），直接写出t的值．
23．（1）如图1，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，求证：AB+CD＝AD；
（2）如图2，为一家餐馆的平面区域示意图，AB，CF为走廊通道，BC为顾客用餐区域，其中∠B＝∠C＝90°．为了提高配菜及送餐效率，需规划一条直线型的机器人通道AD（其中点D在通道CF上），并在通道AD上设置一个机器人送餐停靠点G，使得机器人从点G出发，分别沿送餐路线G→A→B与G→D→C送至接餐点B，C的路程相等，且都等于通道AD的长度．求作通道AD和机器人送餐停靠点G．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
24．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．点D为△ABC内部一点，连接CD，AD，BD．
（1）如图1，若AD＝AC，CD＝8，求点B到直线CD的距离；
（2）如图2，以CD为直角边作等腰直角△CDE，DE＝DC，线段EC，AD交于点F，若∠DCB＝∠ABD，求证：AF＝DF；
25 ．如图，△ABC与△AED均为等腰三角形，AB＝AC，AE＝AD，∠EAD＝∠BAC，D为线段BC上一个动点，AB与DE相交于点G．
（1）求证：BE＝DC；
（2）AD将△ABC分为△ACD和△ABD两部分，记S△ACD＝S1，S△ABD＝S2；AB将△ADE分为△AEG和△ADG两部分，记S△AEG＝S3，S△ADG＝S4.求证：；
（3）若AE⊥AC，且∠BAD＝2∠BDE，BD＝4，求△BDE的面积．
2025-2026学年哲理中学八年级上学期期中考试卷
参考答案与试题解析
一．选择题
10．【解答】解：要想求AD的长，仅需知道BC和BD的长，理由是：
如图4，∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，
∴∠ABC＝∠C＝80°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠1＝∠2＝40°，∠BDC＝60°，
在BA边上取点E，使BE＝BC＝a，连接DE，
在△DEB和△DCB中，
∴△DEB≌△DCB（SAS），
∴∠BED＝∠C＝80°，
∴∠4＝60°，∴∠3＝60°，
在DA边上取点F，使DF＝DB，连接FE，
则△BDE≌△FDE（SAS），
∴∠5＝∠1＝40°，BE＝EF＝a，
∵∠A＝20°，∴∠6＝20°，∴AF＝EF＝a，
∵BD＝DF＝b，∴AD＝AF+DF＝a+b．
故选：A．
二．填空题
11．（﹣2，﹣3）12．913．614.815.1216．4
16．【解答】解：如图所示，以AO为边，在AO左边作等边三角形AOD，连接BD，
∴AO＝AD，∠OAD＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴∠OAD＝∠OAD，
∴∠OAD﹣∠OAB＝∠BAC﹣∠OAB，即∠DAB＝∠OAC，
在△ABD和△ACO中，，
∴△ABD≌△ACO（SAS），
∴OC＝BD，
∴BD的值最小时，OC的值最小，
当BD⊥OB时，BD的值最小，
∵点A的坐标是（0，8），
∴OA＝8，
∵△AOD是等边三角形，
∴OA＝AD＝OD＝8，∠AOD＝60°，
∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△BOD中，，即BD的长为4，
所以在运动过程中，OC的最小值为4，
故答案为：4．
三．解答题
17.（1）原式=
（2）原式=
18．【解答】证明：∵∠B＝∠D＝90°，
∴△ABC和△ADC都是直角三角形．
在Rt△ABC和Rt△ADC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）．
19．证明：∵AB＝AC，∠A＝36°
∴∠DBC＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝72°．
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB＝∠ACB＝36°．
在△DBC中∠DCB＝36°，∠DBC＝72°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝72°＝∠DBC，
∴CD＝CB，即△BCD是等腰三角形．
20．【解答】（1）解：∵∠B＝42°，∠E＝26°，
∴∠ECD＝∠B+∠E＝42°+26°＝68°，
∵EC平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠ECD＝68°，
∴∠BAC＝∠ACE+∠E＝68°+26°＝94°；
（2）解：∠BAC＝∠B+2∠E，证明如下：
∵EC平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠ECD，
又∵∠ECD＝∠B+∠E，
∴∠BAC＝∠ACE+∠E
＝∠ECD+∠E
＝∠B+∠E+∠E
＝∠B+2∠E，
即：∠BAC＝∠B+2∠E．
21．证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°．
在△ABE和△CAD中，，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴BE＝AD，
∵BN⊥AD，
∴∠BNM＝90°，
∴∠MBN＝90°﹣∠BMN＝30°，
∵MN＝3cm，ME＝1cm，
∴BM＝2MN＝6（cm），
∴AD＝BE＝BM+ME＝6+1＝7（cm）．
22．【解答】解：（1）∵23＝8，
∴（2，8）＝3，
∵，
∴（，）＝2，
（2）∵（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c，
∴4a＝12，4b＝5，4c＝60，
∵12×5＝60，
∴4a×4b＝4c，
∴4a+b＝4c，
∴a+b＝c；
（3）设（m，16）＝p，（m，5）＝q，（m，t）＝r，
∴mp＝16，mq＝5，mr＝t，
∵（m，16）+（m，5）＝（m，t），
∴p+q＝r，∴mp+q＝mr，
∴mp×mq＝mr，即16×5＝t，
∴t＝80．
23．【解答】解：（1）过点E作EF⊥AD于点F，如图所示：
∵∠B＝∠C＝90°，
∴EC⊥CD，EB⊥AB，
∵DE平分∠ADC，
∴EF＝EC，
∵E是BC的中点，
∴EC＝EB，
∴EF＝EB，
∵EF＝EC，ED＝ED，
∴Rt△DEF≌Rt△DEC（HL），
∴DF＝DC，
同理得：Rt△AEF≌Rt△AEB（HL），
∴AF＝AB，
∴AB+CD＝AF+DF＝AD，
即AB+CD＝AD．
（2）AD即为所求通道，点G即为所求停靠点，如图所示：
延长AB，交DQ于点R，
根据作图可知：CQ＝BQ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠RBQ＝180°﹣90°＝90°，
∴∠C＝∠RBQ＝90°，
在△BQR和△CQD中，，
∴△BQR≌△CQD（ASA），
∴DQ＝RQ，CD＝BR，
∵AQ⊥DQ，
∴AQ垂直平分DR，
∴AD＝AR，
∵AG＝CD，
∴AG＝CD＝BR，
∴AG+AB＝AB+BR＝AR＝AD，
∵DG+DC＝DG+AG＝AD，
∴AG+AB＝DG+DC＝AD．
24．【解答】（1）解：过点A作AH⊥CD于H，过点B作BG⊥CD于G，如图1，
则∠AHC＝∠CGB＝90°，
∴∠ACH+∠CAH＝90°，
∵∠ACH+∠BCG＝∠ACB＝90°，
∴∠CAH＝∠BCG，
在△ACH和△CBG中，
，
∴△ACH≌△CBG（AAS），
∴BG＝CH，
∵AD＝AC，AH⊥CD，
∴CH＝DH＝CD＝4，
∴BG＝4，
即点B到直线CD的距离为4；
（2）证明：延长BD交CE于点L，过点A作AS⊥CE于点S，
则∠ASC＝90°，
∵△CDE是等腰直角三角形，DE＝DC，
∴∠DCE＝∠DEC＝45°，
∵∠ABD+∠CBD＝∠ABC＝45°，∠DCB＝∠ABD，
∴∠DCB+∠CBD＝45°，
∴∠DCB+∠CBD+∠DCE＝90°，
∴∠BLC＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ASC＝∠BLC，
∴∠ACS+∠CAS＝90°，
∵∠ACS+∠BCL＝∠ACB＝90°，
∴∠CAS＝∠BCL，
在△ACS和△CBL中，，
∴△ACS≌△CBL（AAS），
∴AS＝CL，
∵∠DCE＝45°，∠CLD＝90°，
∴∠CDL＝90°﹣45°＝45°＝∠DCE，
∴CL＝DL，
∴AS＝DL，
在△AFS和△DFL中，，
∴△AFS≌△DFL（AAS），
∴AF＝DF；
25．【解答】（1）证明：∵∠EAD＝∠BAC，
∴∠EAB＝∠EAD﹣∠BAD＝∠BAC﹣∠BAD＝∠DAC，
在△EAB和△DAC中，
，
∴△EAB≌△DAC（SAS），
∴EB＝DC．

（2）证明：过点G作GM⊥BD于M，过点G作GN⊥BE于N，
由（1）知，△EAB≌△DAC，
∴CD＝BE，∠ABE＝∠C．
∵△ACD和△ABD同高，
∴＝＝，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠ABE＝∠ABC，
∴GM＝GN，
∴△BEG和△BDG等高，
∴＝，
∵△BEG和△BDG也可以看成同高的两个三角形，
∴，
∴＝，
∵△AEG和△ADG同高，
∴＝，
∴＝；
（3）解：延长DB，作EP⊥DB交DB的延长线于点P，在EP延长线上截取PS＝PE，连接DS，交EB的延长线于点H．
∵AB＝AC，AE＝AD，
∴∠ABC＝∠ACB，∠AED＝∠ADE，
∴2∠C+∠BAC＝180°，2∠ADE+∠DAE＝180°，
∵∠EAD＝∠BAC，
∴∠C＝∠ADE，
又∵∠ADE+∠BDE＝∠ADB＝∠CAD+∠C，
∴∠BDE＝∠CAD，
设∠BDE＝α，则∠EAB＝∠CAD＝α，
∵∠BAD＝2∠BDE，
∴∠BAD＝2α，
∵AE⊥AC，
∴∠EAC＝90°，
∴α+2α+α＝90°，
∴α＝22.5°，
∴∠ABE＝∠ACD＝∠ADE，∠EGB＝∠AGD，
∴∠BED＝180°﹣∠EBG﹣∠BGE＝180°﹣∠ADG﹣∠AGD＝∠DAG＝2α，
∴∠BED＝22.5°×2＝45°，
∵DP⊥ES，
∴∠DPE＝∠DPS＝90°，
在△DPE和△DPS中，
，
∴△DPE≌△DPS（SAS），
∴∠PDS＝∠PDE，
∴∠EDS＝2∠PDE＝22.5°×2＝45°，
∴∠EDH＝∠DEH，∠EHD＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴EH＝DH，∠SEH＝90°﹣∠EBP＝90°﹣∠DBH＝∠BDH，∠EHS＝180°﹣90°＝90°，
在△EHS和△DHB中，
，
∴△EHS≌△DHB（ASA），
∴ES＝DB，
∵PS＝PE，BD＝4，
∴EP＝2，
∴S△BDE＝×BD×EP＝4．
答：△BDE的面积为4．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
D
C
C
D
A
B
D
A