2025-2026学年江苏省无锡市锡山区九年级（上）期中数学试卷-自定义类型

这是一份2025-2026学年江苏省无锡市锡山区九年级（上）期中数学试卷-自定义类型，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. x-2=0B. C. 2x-3y=1D. x2=1
2.用配方法解一元二次方程x2+4x+3=0，将它转化为（x+a）2=b的形式，则a的值为（ ）
A. -2B. 2C. -4D. 4
3.已知⊙O的半径是5，OP=6，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A. 点P在圆上B. 点P在圆内C. 点P在圆外D. 不能确定
4.如图，l1∥l2∥l3，AB=2，DE=3，BC=4，则EF的长为（ ）
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
5.下列说法中，正确的是（ ）
A. 长度相等的弧是等弧B. 任意三点确定一个圆
C. 优弧一定比劣弧长D. 在等圆中，相等的圆心角所对的弦相等
6.俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看.”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘.假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，设每天“遗忘”的百分比为x,根据题意可列方程为（ ）
A. B. C. D.
7.生活中到处可见黄金分割的美，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子.如图，点P是AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB长为8cm,那么AP的长约为（ ）cm.
A.
B.
C.
D.
8.若关于x的一元二次方程a（x+m）2+n=0的两根分别为x1=-2，x2=1，则关于x的一元二次方程a（x+m-2025）2+n=0（a≠0）的两根分别为（ ）
A. x1=-2，x2=1B. x1=2023，x2=2026
C. x1=-2023，x2=2026D. x1=-2027，x2=-2022
9.如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，分别以点A，B，C，D为圆心的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
10.如图，已知正方形ABCD中，连结AC，在AC上截取AE=AD，作△ADE的外接圆分别交AB、CD于点F、G，连结DF交AC于点M，连结EF.
下列结论：
①DE=EF；
②AM=CE；
③S四边形BCMF=S四边形ADEF；
④∠EFB=∠AFD.
其中正确的是（ ）
A. ①②B. ①②④C. ①③④D. ①②③④
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.已知一元二次方程x2-2x+k=0有一个根为-1，则k的值为 .
12.已知圆锥的底面圆半径为3cm,母线长为4cm,则该圆锥的侧面积为 cm2.
13.如图，AB与CD交于点O，连结AD和BC，要使△AOD∽△BOC，请添加一个条件： .
14.两个相似三角形的面积比是4：9，其中较小三角形周长为6cm,则较大三角形周长为 cm
15.正五边形绕其中心至少旋转 度后能与自身重合.
16.如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上.若∠ABC=38°，则∠BDC的度数为 °.
17.现定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如，[-1.2]=-2，[3]=3，则方程的解为x= .
18.如图，⊙O为Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，，AC=4，点D是⊙O上的动点，且点C、D分别位于AB的两侧，则⊙O的半径是 ；连接AD，设AD的中点为M，在点D的运动过程中，线段CM的最大值为 .
三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
解下列方程：
（1）x2-4x-21=0；
（2）x（x+1）=2（x+1）.
20.(本小题8分)
已知.
（1）求的值；
（2）若a-b+c=9，求3a-2b+c的值.
21.(本小题10分)
关于x的一元二次方程x2+mx+3m-9=0.
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根为非负数，求m的取值范围.
22.(本小题10分)
如图，在△ABC中.过点B作∠ABD=∠C，使边BD交AC于点D.
（1）求证：△ABD∽△ACB.
（2）若AB=6，AD=4，求线段CD的长.
23.(本小题10分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D，交AB于点E.
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BE=2，BD=4，求AB长.
24.(本小题10分)
前段时间，首届“苏超”联赛火爆出圈.某商家抓住商机，花费10800元采购120个入门款足球和20个专业款足球，已知专业款足球单价是入门款单价的3倍.
（1）求入门款足球和专业款足球的进价各是多少元？
（2）为庆祝首届“苏超”联赛无锡队位列第四，商家决定对入门款足球进行降价销售，经市场调研，售价为120元时，每天可卖出40个；售价每降低1元，每天可多卖出2个.请问商店将每个入门款足球降价多少时，每天销售入门款足球的利润为3000元？
25.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°.
（1）尺规作图：作⊙O，使得⊙O经过点C，并且与边AB、BC都相切；（不写作法，保留痕迹）
（2）在（1）的条件下，若AC=3，BC=4，则⊙O的半径为______.
26.(本小题10分)
定义：两根都为整数的一元二次方程ax2+bx+c=0称为“整根方程”，代数式的值为该“整根方程”的“特征值”，用Q（a,b,c）表示.若另一个一元二次方程px2+qx+r=0也为“整根方程”，其“特征值”记为Q（p,q,r）.当满足Q（a,b,c）-Q（p,q,r）=c时，则称一元二次方程ax2+bx+c=0是一元二次方程px2+qx+r=0的“整根关联方程”.
（1）“整根方程”x2-3x-4=0的“特征值”是______；
（2）若（1）中的方程是一元二次方程x2+qx+4=0的“整根关联方程”，求q的值；
（3）若一元二次方程x2+（1-m）x+m-2=0是x2+（n-1）x-n=0（m,n均为正整数）的“整根关联方程”，求m-n的值.
27.(本小题10分)
如图，将两张完全相同的菱形纸片ABCD和EFGH叠放在一起，把菱形ABCD固定，让菱形EFGH的顶点F沿对角线BD以每秒1个单位的速度由B向D运动，在运动过程中边EF始终经过点A，对角线FH与边AD相交于点M.已知AB=10，BD=12，设运动时间为t秒（0＜t＜12）.
（1）求证：△ABF∽△FDM；
（2）当△AFM为等腰三角形时，求t的值；
（3）请直接写出AM的最小值.
28.(本小题10分)
如图1，在矩形ABCD中（AB＞AD），对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A'，连接AA'交BD于点E，连接CA'.
（1）求证：AA'⊥CA'；
（2）以点O为圆心，OE为半径作圆.
①如图2，若⊙O与CD相切于点F，求∠BAC的度数；
②若AD=2，⊙O与CA'相切，则⊙O的面积为______.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】C
10.【答案】B
11.【答案】-3
12.【答案】12π
13.【答案】∠B=∠A（答案不唯一）
14.【答案】9
15.【答案】72
16.【答案】128
17.【答案】x=0或x=或x=
18.【答案】4
2+2

19.【答案】x1=-3，x2=7；
x1=-1，x2=2
20.【答案】解：（1）设===k,
则a=2k,b=3k,c=4k,
∴==；
（2）设===k,
则a=2k,b=3k,c=4k,
∵a-b+c=9，
∴2k-3k+4k=9，
解得：k=3，
∴a=6，b=9，c=12，
∴3a-2b+c=3×6-2×9+12=18-18+12=12．
21.【答案】∵a=1，b=m，c=3m-9，
∴Δ=m2-4×1×（3m-9）=m2-12m+36=（m-6）2，
∵（m-6）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
m≤3
22.【答案】证明见解答；
CD的长是5．
23.【答案】（1）证明：∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAC=∠OAD，
∴∠DAC=∠ODA，
∴OD∥AC，
∴∠BDO=∠C=90°，
∵OD是半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为r,则OD=OE=OA=r,OB=2+r,AB=2+2r,
由勾股定理得，OB2-OD2=BD2，即（2+r）2-r2=42，
解得，r=3，
∴AB=2+2×3=8，
∴AB的长为8．
24.【答案】入门款足球的进价是60元，专业款足球的进价是180元；
每个入门款足球降价10元或30元
25.【答案】如图，⊙O即为所求；


26.【答案】-
q=±5；
2
27.【答案】∵菱形ABCD和菱形EFGH完全相同，
∴AB=AD，
∴∠ABF=∠ADB=∠EFH，
∵∠DFE=∠DFM+∠EFH=∠BAF+∠ABD，
∴∠DFM=∠BAF，
∴△ABF∽△FDM；
t的值为或2；
6.4
28.【答案】根据轴对称的性质，点E是AA′的中点，AA′⊥BD．
又∵点O是矩形ABCD的对称中心，点O是AC的中点，
∴EO是△ACA′的中位线，
∴BD∥A′C，
∵AA′⊥BD，
∴AA'⊥CA'．
①30°；②（2+）π