2025-2026学年江苏省无锡市湖滨中学九年级（上）期中数学试卷-自定义类型

这是一份2025-2026学年江苏省无锡市湖滨中学九年级（上）期中数学试卷-自定义类型，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. x+1=0B. x2-1=0C. x（x+1）=x2+1D.
2.若⊙O的直径为8cm,点A到圆心O的距离为4cm,那么点A与⊙O的位置关系是（ ）
A. 点A在圆外B. 点A在圆上C. 点A在圆内D. 不能确定
3.肚脐眼是人上下身的分界点，已知某人的肚脐眼恰好是他的身高的黄金分割点，且他的上身比下身长，若该人的身高约为1.8米，则他的上身长度约为（ ）（精确到0.1米）
A. 0.9米B. 1.0米C. 1.1米D. 1.2米
4.关于x的一元二次方程x2+mx-8=0的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
5.我国学者墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因.图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示.已知AC与BD交于点O，AB∥CD.若点O到AB的距离为10cm,点O到CD的距离为15cm,蜡烛火焰AB的高度是2cm,则蜡烛火焰倒立的像CD的高度是（ ）
A. 3cmB. C. D. 4cm
6.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，4），B（-4，4），C（-6，2）都在⊙M上，则⊙M的半径为（ ）
A.
B. 2
C.
D.
7.要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），计划安排30场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？设应邀请x个球队参加比赛，则可列方程为（ ）
A. B. C. x（x+1）=30D. x（x-1）=30
8.下列有关圆的一些结论：
①任意三点可以确定一个圆；
②相等的圆心角所对的弧相等；
③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；
④圆内接四边形对角互补；
⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等．
正确的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
9.对于代数式M、N，定义新运算M⊗N=M2-MN-N2，则下列说法正确的个数为（ ）
①若（2x）⊗1=1，则或1
②若方程x2+5x+3=0的解为a、b,则a⊗b的值为
③若关于x的方程|2⊗（x-1）|=x+b有两个不相等的实数解，则
A. 0B. 1C. 2D. 3
10.如图，AB为⊙O的直径，AB=2，C为的中点，连接OC，点D在射线AC上，连接BD，取BD的中点E，过E作EF⊥BD交OC于F，连接CE.下列结论：①DF⊥BF；②EC=EF；③∠OFB=∠ADB；④为定值2.其中正确结论的个数为（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.方程x2=3x的解为： .
12.若一元二次方程kx2=1没有实数根，则k的值可以是 .（写出一个即可）
13.如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB=5，BC=6，EF=4，则DE的长为______．
14.已知△ABC，AC=5，BC=12，AB=13，则它的内切圆的半径为 .
15.如图，在△ABC中，AB=10cm,BC=20cm,点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动.若点P、Q分别从点A、B同时出发，问经过 秒钟，△PBQ与△ABC相似.
16.如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内原有液体的最大深度CD=4cm．部分液体蒸发后，瓶内液体的最大深度下降为2cm，则截面圆中弦AB的长减少了 cm（结果保留根号）．
17.在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1.对于⊙O的弦AB和不在直线AB上的点C，给出如下定义：若点C关于直线AB的对称点C'在⊙O上或其内部，且∠ACB=α，则称点C是弦AB的“α可及点”.点A（0，1），B（1，0）.
①在点C1（2，1），，C3（3，1）中，点 是弦AB的“α可及点”；
②若点D是弦AB的“90°可及点”，则点D的横坐标的最大值为 .
18.矩形ABCD中，AB=1，AD=2，点M是AD中点，点N从点B出发，沿BC边运动至点C停止，四边形MNB'A'与四边形MNBA关于直线MN对称，设BN=x,四边形MNB'A'与矩形ABCD重叠部分的面积记为S.
①当点M、A′、C三点共线时，则x= ；
②求S关于x的函数表达式 .
三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
解下列方程：
（1）（2x-1）2-3=0；
（2）x2-4x+1=0.
20.(本小题8分)
关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根x1、x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的一个根是-1，求另一个根及k的值．
21.(本小题10分)
如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD，点E在BD上，连接CE，若
∠1=∠2.
（1）求证：△ABD∽△EDC.
（2）若∠A=130°，BE=BC，求∠DBC的度数.
22.(本小题10分)
在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，-2），B（2，-1），C（4，-3）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1；
（3）设点P（a，b）为△ABC内一点，则依上述两次变换后点P在△A2B2C2内的对应点P2的坐标是______．
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23.(本小题10分)
如图，在半⊙O中，直径AB的长为6，点C是半圆上一点，过圆心O作AB的垂线交线段AC的延长线于点D，交弦BC于点E．
（1）求证：∠D=∠ABC；
（2）若OE=CE，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）．
24.(本小题10分)
如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，且CD⊥AB垂足为M，∠CAB的平分线AE交⊙O于点E，过点E作EF⊥AC交AC的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若CD=24，=，求EF的长．
25.(本小题10分)
如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=5，E是CD边上的一点，点P在BC边上，且满足∠PEC=∠DAP．
（1）请用不带刻度的直尺和圆规，在所给的图中作出符合条件的点P（不要求写作法，但保留作图痕迹）；
（2）若CE=1，试确定BP的长．
26.(本小题10分)
2025年春节联欢晚会吉祥物“巳升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“已”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在市场上一度走红.
根据上述素材，解决任务1、任务2的问题.
27.(本小题10分)
已知平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径的⊙O交y轴的正半轴于点P，小刚同学用手中的三角板（∠B=90°，∠ACB=30°，AB=8）进行了如下的实验操作：
（1）如图1，将三角板的斜边放置于x轴上，边AB恰好与⊙O相切于点D，则切线长AD=______；
（2）如图2，将三角板的顶点A在⊙O上滑动，直角顶点B恰好落在x轴的正半轴上，若BC边与⊙O相切于点M，求点B的坐标；
（3）请在备用图上继续操作：将三角板的顶点A继续在⊙O上滑动，直角顶点B恰好落在⊙O上且在y轴右侧，BC边与y轴的正半轴交于点G，与⊙O的另一交点为H，若PG=1，求GH的长.
28.(本小题10分)
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=4.点P为边BC上一动点（不与点B，点C重合），以BP为直径作圆，圆心记为点O，连接AP交⊙O于点E.过点B作BD∥AC，与⊙O交于点D，连接BE，DE.
（1）当∠BDE=45°时，求BP的长；
（2）当△BDE为等腰三角形时，求所有满足条件的BP的长.
（3）延长BE交边AC于点F，若=k，求的值.（用含k的代数式表示，直接写出答案）
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】C
11.【答案】x=0或x=3
12.【答案】-1（答案不唯一，任一负数均可）
13.【答案】
14.【答案】2
15.【答案】2或5
16.【答案】（4-8）
17.【答案】C1

18.【答案】

19.【答案】；

20.【答案】解：（1）∵方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根，
∴Δ=（2k+1）2-4（k2+1）＞0，
即4k-3＞0，
解得：k＞；
（2）把x=-1代入原方程得：k2-2k+1=0，
解得k=1，
∴原方程化为：x2+3x+2=0，
解这个方程得，x1=-1，x2=-2
故另一个根为-2，k的值为1．
21.【答案】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDE，
又∠1=∠2，
∴△ABD∽△EDC；
（2）解：∵△ABD∽△EDC，
∴∠A=∠DEC=130°，
∴∠BEC=50°，
∵BE=BC，
∴∠BEC=∠BCE=50°，
∴∠DBC=180°-2×50°=80°．
22.【答案】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
（3）（2a，-2b）．
23.【答案】（1）证明：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°
∴∠A+∠ABC=90°
∵DO⊥AB，
∴∠A+∠D=90°
∴∠D=∠ABC；
（2）解：设∠B=α，则∠BCO=α，
∵OE=CE，
∴∠EOC=∠BCO=α，
在△BCO中，α+α+90°+α=180°，
∴α=30°
∴∠A=60°，
∵OA=AB=3，
∴OC=OA=3，OD=3，OA边上的高为，
∴S=3×3--=-π．
24.【答案】（1）证明：∵AE平分∠BAF，
∴∠EAF=∠EAB，
∵OA=OE，
∴∠EAB=∠AEO，
∴∠EAF=∠AEO，
∴OE∥AF，
∵EF⊥AC，
∴OE⊥EF，
∵OE是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：AB为⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CM=CD=12，
∵=，
设AM=4x，BM=9x，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACM+∠BCM=∠ACM+∠CAM=90°，
∴∠CAM=∠BCM，
∴△ACM∽△CBM，
∴=，
∴CM2=AM•BM，
∴122=4x•9x，
∴x=2（负值舍去），
∴AM=8，BM=18，
∴BC==6，
设OE与BC交于H，
∵∠F=∠FEO=∠FCH=90°，
∴四边形CHEF是矩形，
∴∠CHE=90°，CH=EF，
∴CH=EF=BC=3，
故EF的长的长为3．
25.【答案】解：（1）如图，连接AE，作AE的垂直平分线，以AE为直径画圆，交BC于点P′和P″，
则点P′和P″即为所求；

（2）∵矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAP=∠APB，
∵∠PEC=∠DAP，
∴∠APB=∠PEC，
∵∠B=∠C=90°，
∴△ABP∽△PCE，
∴=，
设BP′=x,AB=4，BC=5，
∴P′C=5-x,
∴=，
解得x1=1，x2=4，
∴BP的长为1或4．
26.【答案】20%；
每件的售价应降低20元
27.【答案】 点B的坐标为（，0） GH的长为2-3或3
28.【答案】解：（1）∵∠APB=∠BDE=45°，∠ABC=90°，
∴△ABP是等腰直角三角形，
∴BP=AB=2；
（2）分三种情况：
①当BD=BE时，∠EBP=∠DBP，
∵BP是⊙O的直径，
∴∠BEP=90°，
∴∠EBP+∠APB=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠BAP+∠APB=90°，
∴∠BAP=∠EBP，
∵BD∥AC，
∴∠DBP=∠C，
∴∠BAP=∠C，
又∵∠ABP=∠CBA=90°，
∴△ABP∽△CBA，
∴===，
∴BP=AB=；
②当EB=ED时，连接DP并延长交AC于H，如图1所示：
∵∠ABC=90°，AB=2，BC=4，
∴AC===10，
∵ED=EB，
∴∠EBD=∠EDB=∠BPA，
∵∠APH=∠EBD，
∴∠BPA=∠APH，
∵BP是⊙O的直径，
∴∠BDP=90°，
∵BD∥AC，
∴∠PHC=∠BDP=90°，∠AHP=180°-90°=90°=∠ABP，
又∵AP=AP，
∴△ABP≌△AHP（AAS），
∴AH=AB=2，BP=PH，
∴CH=AC-AH=10-2，
∵∠PHC=∠ABC，∠C=∠C，
∴△PHC∽△ABC，
∴==，
∴BP=PH=CH=5-；
③当DB=DE时，∠APH=∠EBD=∠DEB=∠DPB=∠CPH，
同②得：==，∠AHP=∠CHP=90°，
又∵PH=PH，
∴△APH≌△CPH（AAS），
∴AH=CH=AC=5，
∴PH=，
∴PC===，
∴BP=BC-PC=4-=；
综上所述，BP的长为或5-或；
（3）延长BE交AC于F，过P作PM∥EF交AC于M，如图2所示：
∵=k，BC=4，
∴=，
∴PC=，BP=，
∵∠ABC=90°，
∴AP===，
∵BP是⊙O的直径，
∴∠BEP=90°，
∴∠AEB=90°=∠ABP，
又∵∠BAE=∠PAB，
∴△ABE∽△APB，
∴=，
∴AE===，
∴=•=，
∴==，
又∵=k，
∴==1+k，
∴==•=，
∴=． 素材1
据统计，某电商平台2024年12月份“已升升”的销售量是5万件，2025年2月份的销售量是7.2万件.
素材2
某实体店“已升升”的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售20件.
素材3
经市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存.
问题解决
任务1
（1）确定增长率
若月平均增长率相同，求月平均增长率.
任务2
（2）确定销售价格
若使每天销售获利为1200元，求每件的售价应降低多少元？