2025-2026学年重庆市永川区文理附中教共体九年级（上）期中数学试卷-自定义类型

这是一份2025-2026学年重庆市永川区文理附中教共体九年级（上）期中数学试卷-自定义类型，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.2025年10月31日23时44分，搭载神舟二十一号载人飞船的长征二号F遥二十一运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，下列航天图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A. 中国火箭B. 中国探火
C. 航天神舟D. 中国行星探测
2.已知点P在⊙O外，且⊙O的半径为5，则OP的长可能是（ ）
A. 1B. 2C. 5D. 8
3.如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB=55°，则∠ABO的度数是（ ）
A. 30°
B. 35°
C. 40°
D. 55°
4.将抛物线y=x2向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的抛物线表达式为（ ）
A. y=（x+3）2+5B. y=（x+3）2-5C. y=（x-3）2+5D. y=（x-3）2-5
5.如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体的最大深度CD=2cm，则截面圆中弦AB的长为（ ）
A. B. 6cmC. 8cmD. 8.4cm
6.2025年国庆节期间，重庆市游客数量再创新高，第一天游客数量为300万人，第三天游客数量为610万人.设平均增长率为x,可列方程为（ ）
A. 300（1+x2）=610B. 300（1-x2）=610
C. 300（1+x）+300（1+x）2=610D. 300（1+x）2=610
7.已知抛物线y=x2-4x+5，下列结论错误的是（ ）
A. 抛物线开口方向向上B. 当x＜2时，y随x的增大而增大
C. 抛物线的对称轴为直线x=2D. 抛物线与y轴交点坐标为（0，5）
8.如图，一次函数y1=kx+n（k≠0）与二次函数的图象相交于A，B（3，1）两点，则关于x的不等式kx+n≤ax2+bx+c的解集为（ ）
A. 1≤x≤3
B. 或x≥3
C.
D. x≤1或x≥3
9.如图，在正方形ABCD中，P为对角线AC上的点，Q为边CD上的点，连接PQ，将线段PQ绕点P顺时针旋转90°，点Q恰和点B重合，连接BQ交AC于点E.若正方形的边长为，AP=1，则PE的长为（ ）
A.
B.
C. 1
D.
10.已知多项式M=2x2-3x-2，多项式N=x2-ax+3，则下列结论正确的有（ ）
①若M=0，则代数式的值为-10；
②当a=-3，x≥5时，代数式M-N的最小值为-10；
③当a=0时，若M•N=0，则关于x的方程有两个实数根；
④当a=3时，若|M-2N+2|+|M-2N+15|=13，则x的取值范围是.
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.关于x的一元二次方程x2-2025x+m=0有一个根是x=1，则m的值是 .
12.抛物线y=（x-2）2+1的顶点坐标是______．
13.若关于x的一元二次方程x2+4x-m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 .
14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=2，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，此时点A′恰好在AB边上，则点B′与点B之间的距离为 .
15.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上半圆的一个动点，CE⊥AB于点E，∠OCE的角平分线交⊙O于点D.且⊙O的半径为5，连接AD，则AD= ；若弦AC的长为6，则CD= .
16.一个两位自然数m,若各位数字之和小于等于9，则称为“完美数”.将m的各个数位上的数字相加所得的数放在m的前面，得到一个新数m′，那么称m′为m的“前置完美数”；将m的各个数位上的数字相加所得的数放在m的后面，得到一个新数mn，那么称mn为m的“后置完美数”.记，例如：m=12时，m′=312，mn=123，.请计算F（32）= ；已知两个“完美数”m=10a+b（6≤a≤9，0≤b≤9），n=10x+y（1≤x≤9，0≤y≤9），若F（m）是一个完全平方数，且2m+F（n）-8y=140，则n的最大值为 .
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解方程：
（1）x2-2x-6=0；
（2）x（x-3）+x-3=0.
18.(本小题8分)
如图，已知点A，B，C在⊙O上，E是BA延长线上一点，请用尺规完成基本作图：作出∠EAC的角平分线AD交⊙O于点D，连接BD，CD，猜想线段BD与CD的数量关系，并证明你的猜想.（尺规作图保留作图痕迹，不写作法）
证明：∵四边形ABCD为⊙O内接四边形，
∴∠BAD+ ______=180°，
∵∠BAD+∠EAD=180°，
∴ ______，
∵AD平分∠CAE，
∴ ______，
∴∠BCD=∠CAD，
又∵ ______（同弧所对的圆周角相等），
∴∠BCD=∠CBD，
∴BD=CD.
19.(本小题10分)
关于x的一元二次方程x2-3x+k=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）请选择一个k的正整数值，并求出方程的根．
20.(本小题10分)
如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（2，4），C（3，0）.
（1）将△ABC绕着点O逆时针旋转90°，画出旋转后的△A1B1C1，并写出B1的坐标；
（2）画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2，并写出B2的坐标；
（3）在x轴上找一点P，使AP+BP的值最小，请直接写出点P的坐标______.
21.(本小题10分)
某服装店以每件50元的价格购进一批T恤，如果以每件60元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高x元.
（1）服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3640元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？
（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？
22.(本小题10分)
如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=75°，∠ABC=45°，连接AO并延长交⊙O于点D，过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．
（1）求证：AD∥EC；
（2）若AD=6，求线段AE的长．
23.(本小题10分)
已知在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，动点P从B点出发，沿B→A方向以每秒1个单位的速度运动，同时，动点Q从点B出发，沿B→C方向以每秒2个单位的速度运动，当Q点到达C点时，P、Q两点都停止运动.设动点P运动的时间为x秒，规定y1=S△PBQ，y2=S△DQC.
（1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象；并写出函数y1的一条性质；
（3）根据函数，当y1=y2时，直接写出x的值为______.
24.(本小题10分)
如图，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（-2，0），点B（3，0），交y轴于点C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，已知直线BC上方抛物线上有一点P，过点P作PE∥y轴与BC交于点E，过点P作PF∥x轴与y轴交于点F，求PE+PF的最大值和此时点P的坐标；
（3）将原抛物线沿x轴向右平移1个单位长度，新抛物线与y轴交于点C′，点B的对应点为B′，点N是第一象限中新抛物线上一点，且点N到y轴的距离等于点A到y轴的距离的一半，问在平移后的抛物线上是否存在点M，使得∠MNB′=∠C′B′N，请直接写出所有符合条件的点M的坐标.
25.(本小题10分)
如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，AB=AC，点E是BC边上一点，连接AE，将AE绕着点A顺时针旋转α得到线段AF.
（1）如图1，若α=∠BAC=90°，连接BF，BF=3，BC=8，求△ABE的面积；
（2）如图2，若α=2∠BAC=120°，连接CF交AB于H，求证：2AH+CE=AD；
（3）若在（2）的条件下，3CE=BC=9，点P为AB边上一动点，连接EP，将线段EP绕着点E顺时针旋转60°得到线段EQ，连接CQ，当线段CQ取得最小值时，直接写出四边形BHQE的面积.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】A
10.【答案】C
11.【答案】2024
12.【答案】（2，1）
13.【答案】m＞-4
14.【答案】2
15.【答案】

16.【答案】23
45

17.【答案】解：（1）∵x2-2x-6=0，
∴x2-2x=6，
配方得x2-2x+1=6+1，
x2-2x+1=7，
（x-1）2=7，
开方得，
∴；
（2）∵x（x-3）+x-3=0，
∴（x-3）（x+1）=0，
则x-3=0或x+1=0，
解得：x1=3，x2=-1．
18.【答案】∠BCD ∠ BCD=∠EAD ∠ CAD=∠EAD ∠ BCD=∠CAD
19.【答案】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2-3x+k=0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，即△=9-4k＞0，
∴k＜；
（2）∵由（1）可知k＜，
∴选择k等于2代入原方程得：x2-3x+2=0，
解方程得：x1=2，x2=1．
20.【答案】画图见解答；B1的坐标为（-4，2）．
画图见解答；B2的坐标为（-2，-4）．
（）
21.【答案】解：（1）设T恤的销售单价提高x元，依题意得：
（x+60-50）（300-10x）=3640，
解得：x1=4或x2=16，
∵要尽可能减少库存，
∴x2=16不合题意，舍去．
∴T恤的销售单价应提高4元，
答：T恤的销售单价应提高4元；
（2）设利润为M元，由题意得：
M=（x+60-50）（300-10x）
=-10x2+200x+3000，
=-10（x-10）2+4000，
∴当x=10时，M最大值 =4000元，
∴销售单价：60+10=70（元），
答：当服装店将销售单价定为70元时，得到最大利润是4000元．
22.【答案】（1）证明：连接OC，
∵CE是⊙O的切线，
∴∠OCE=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠AOC=2∠ABC=90°，
∵∠AOC+∠OCE=180°，
∴AD∥EC；
（2）解：过点A作AF⊥EC交EC于点F，
∴∠AFC=∠AOC=∠OCF=90°，
∴四边形OAFC是矩形，
∵OA=OC，
∴四边形OAFC是正方形，
∴AF=OA，
∵AD=6，
∴AF=AD=3，
∵∠AOC=90°，OA=OC，
∴∠OAC=45°，
∵∠BAC=75°，
∴∠BAD=∠BAC-∠OAC=75°-45°=30°，
∵AD∥EC，
∴∠E=∠BAD=30°，
在Rt△AFE中，
∴sinE=，
∴AE==6．
23.【答案】y1=S△PBQ=x2，y2=S△DQC=-4x+12，自变量x的取值范围为0≤x≤3 图象见解答 2
24.【答案】；
最大值为，此时点P的坐标为；
存在点M，使得∠MNB'=∠C'B'N，点M的坐标为（3，2）或（6，-7）
25.【答案】（1）解：如图，过点A作BC的垂线交BC于点M，

∵a=∠BAC=90°，
∴∠FAB=∠EAC，
在△FAB和△EAC中，
，
∴△FAB≌△EAC（SAS），
∴FB=CE，
又∵BF=3，BC=8，
∴BE=BC-CE=8-3=5，
又∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴AM=BC=4．
∴S△ABE=BE•AM=×5×4=10．
（2）解：在BH上截取BP=CE，连接CP，

∵a=2∠BAC=120°，
∴∠BAC=60°，
∵AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，BC=AC，
在△CBP和△ACE中，
，
∴△CBP≌△ACE（SAS），
∴CP=AE=AF，∠BPC=∠AEC=60°+∠BAE，
∴∠APC=180°-（∠BAE+60°），
∵∠FAB=120°-∠BAE，
∴∠APC=∠FAB，
在△AHF和△CPH中，
，
∴△AHF≌△PHC（AAS），
∴AH=PH，
∵BP=CE，
∴AB=BC=AD=AH+PH+CE=2AH+CE．
（3）解：如图：

∵3CE=BC=9，
∴CE=3，BE=BC-CE=6，
连接EH，由（2）可知∠BAC=∠ABC=60°，BE=BH=6，
∴△BHE是等边三角形，
∴∠BEH=60°，BE=HE，
将线段EP绕着点E顺时针旋转60°得到线段EP1，
∴PE=P1E，∠PEP1=60°，即，∠HEP1=∠BEP，
在，△BPE和△HEP1中，
，
∴△BEP≌△HEP1（SAS），
∴∠B=∠EHP1=60°，
∵∠BEH=60°，
∴∠BEH=∠EHP1=60°，
∴HP1∥BC，点P的轨迹为过点H且平行BC的直线
过H作HP1∥BC，其延长线交CD于M，过C作CQ⊥BP于Q，
由点到直线的距离，垂线段最短，可知：当CQ⊥MH时，即CQ有最小值，
∵BH∥CM，BC∥HM，
∴四边形BHMC是平行四边形，
∴CM=BH=6．∠HMC=∠B=60°，
∴∠QCM=30°，
∴MQ=CM=3，
∴CQ==3，
∴四边形BHQE的面积为BE•CQ=6×3=18．