20.1 勾股定理及其应用（课件）2025-2026学年人教版八年级数学下册

验证勾股定理人教·八年级数学下册勾股定理新课导入 直角三角形作为一种特殊的三角形，它的三个角满足其中一个角是直角、其余两个角互余.abc探索新知 在《周髀算经》的开篇，商高（约公元前 11 世纪）构造了一个勾、股、弦分别为三、四、五的直角三角形，并指出“两矩共长二十有五”，意指分别以勾、股为边的正方形的面积之和，恰好等于以弦为边的正方形的面积. 商高所指的面积关系可以用图形表示. 如图，红色直角三角形的三边长分别为 3，4，5，分别以这三边为边向外作正方形.345所得正方形的面积分别为____，____，____.916259 + 16 = 25两条直角边长的平方和等于斜边长的平方.其他直角三角形的三边是否也满足上述数量关系？ 如图，每个小方格的面积均为 1，图中正方形 A1，B1，C1 的面积之间有什么关系？A2，B2，C2 呢？A3，B3，C3 呢？以直角三角形斜边为边的正方形的面积，等于某个正方形的面积减去 4 个直角三角形的面积.    转化思想（补形法）         以格点为顶点，在方格纸中任意画一个直角三角形，类似地作出三个正方形，这三个正方形的面积有什么关系？由此，你能得出关于直角三角形三边关系的猜想吗？     可以发现，以直角三角形两条直角边为边的正方形的面积之和，等于以斜边为边的正方形的面积. 由此我们猜想：证明这个猜想的方法有很多，下面介绍我国古代数学家赵爽（约3世纪）的证法.abc黄实朱实朱实朱实 这个图案是赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”． 赵爽根据此图指出，四个全等的直角三角形（红色）可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形（黄色）.赵爽拼图证明法abcbabca2 + b2 = c2a证法 1:赵爽拼图证明法abcb－a证法 2:     这样就证明了前面的猜想. 它表明了直角三角形三边之间的关系，我国把它称为勾股定理. 赵爽通过对图形的分割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，这种方法是我国古代数学家常用的“出入相补法”.“赵爽弦图”体现了我国古人的聪明才智和对数学的钻研精神，是我国古代数学的骄傲. 2002年在北京召开的国际数学家大会的会标，就是以此图为原型设计的.例 1如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长.解：在Rt△ABC 中，根据勾股定理，AB2 = AC2 + BC2 = 82 + 62 = 100，所以 AB = 10.已知两直角边长，求斜边长.例 1如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长.已知斜边长与一直角边长，求另一直角边长.在 Rt△DEF 中，根据勾股定理，DE2 + EF2 = DF2，从而 DE2 = DF2－EF2 = 172－152 = 64，所以 DE = 8.练 习1. 设直角三角形的两条直角边长分别为 a 和 b，斜边长为 c.（1）已知 a = 6，c = 10，求 b；（2）已知 a = 5，b = 12，求 c；（3）已知 b = 15，c = 25，求 a.c2 = a2 + b2  2. 如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形 都是正方形. 已知正方形 A，B，C，D 的边长分别 是 12，16，9，12，求最大正方形 E 的面积.     解：根据图形，最大正方形 E 的面积为122 + 162 + 92 + 122 = 625.3. 如图，在平面直角坐标系中有两点 A（5，0）和 B（0，4）. 求这两点间的距离.课堂小结这节课有什么收获呢？变式 1: a2 = c2－b2变式 2: b2 = c2－a2勾股定理的应用人教·八年级数学下册勾股定理新课导入波平如镜一湖面，3 尺高处出红莲.亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边.离开原处 6 尺远，花贴湖面像睡莲.请君动脑想一想，湖水在此深几尺？探索新知 一个门框的尺寸如图所示，一块长 3 m，宽 2.2 m 的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？例 2分析：可以看出，木板横着或竖着都不能从门框内通过，只能试试斜着能否通过. 门框对角线 AC 的长度是木板斜着能通过的最大长度. 求出 AC，再与木板的宽比较，就能知道木板能否通过.木板厚度可忽略.2.2 > 2解：连接 AC，在 Rt△ABC 中，根据勾股定理，因为 AC 大于木板的宽 2.2 m，所以木板能从门框内通过. 一个门框的尺寸如图所示，一块长 3 m，宽 2.2 m 的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？例 2探索新知   如图，一架长为 2.5 m 的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点 A 处，底端位于地面的点 B 处，点 B 到墙面的距离 BO 为 0.7 m. 如果将梯子底端沿 OB 向外移动 0.8 m，那么梯子顶端也沿墙 AO 下滑 0.8 m 吗？例 3AB = CD = 2.5 mOB = 0.7 mBD = 0.8 m△AOB 和△COD 均为直角三角形，两次运用勾股定理，即可求出 AC 的长.解：当梯子底端沿 OB 向外移动 0.8 m 时，设梯子的底端由点 B 移动到点 D，顶端由点 A 下滑到点 C. 可以看出，AC = OA－OC.在 Rt△AOB 中，根据勾股定理，OA2 = AB2－OB2 = 2.52－0.72 = 5.76，OA = 2.4.在 Rt△COD 中，根据勾股定理，OC2 = CD2－OD2 = 2.52－(0.7 + 0.8)2 = 4，OC = 2.所以，AC = OA－OC = 2.4－2 = 0.4.因此，当梯子底端向外移动 0.8 m 时，梯子顶端并不是下滑 0.8 m，而是下滑 0.4 m.利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：实际问题数学问题勾股定理直角三角形练 习1. 如图，A，B 是池塘边上的两点，点 C 是与 BA 方向成直角 的方向上一点，测得 BC = 60 m，AC = 20 m. 求 A，B 两点 间的距离（结果取整数）.   2. 如图，用激光测距仪测量一栋楼的高度. 位于地面上 点 A 处的激光测距仪先将激光射向楼底端的点 B， 仪器显示 AB = 23.1 m；再将激光射向楼顶端的点 C， 仪器显示 AC = 31.9 m；最后仪器自动显示出楼高 BC = 22 m. 你能说出其中的数学道理吗？解：根据勾股定理，   3. 电视机的屏幕尺寸是指其屏幕对角线的长度，通常以 英寸（1 英寸= 2.54 cm）为单位. 王芳测得自家电视机 的屏幕宽为 71 cm，高为 40 cm，这台电视机的屏幕尺 寸是多少英寸（结果取整数）？解：根据题意知，屏幕对角线的长度为答：这台电视机的屏幕尺寸是 32 英寸.  课堂小结这节课有什么收获呢？利用勾股定理作图、计算人教·八年级数学下册勾股定理探索新知 在八年级上册中，我们曾经通过探究得出结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？已知：如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A'B’C′ 中，∠C = ∠C' = 90°，AB = A'B'，AC = A'C' .求证：△ABC ≌ △A'B'C' .证明：在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中，∠C = ∠C' = 90°，根据勾股定理， 又 AB = A'B'，AC = A'C'，∴ BC = B'C' .∴△ABC ≌ △A'B'C'（SSS）你能在数轴上表示出 的点吗？      长为 的线段能是直角边的长都为正整数的直角三角形的斜边吗？ 123         你能在数轴上画出表示 的点吗？ 1. 在数轴上找出表示 3 的点 A， 则 OA = 3. 2. 过点 A 作直线 l 垂直于 OA， 在 l 上取点 B，使 AB = 2. 3. 以原点 O 为圆心，OB 长为半径 作弧，弧与数轴正半轴的交点 C 即为表示 的点. 利用勾股定理表示无理数的方法:（1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边 是两个正整数的直角三角形的斜边.（2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧 与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负 无理数，在原点右边的点表示是正无理数.练 习1. 在数轴上画出表示 的点. 2. 如图，等边三角形 ABC 的边长为 6，求： （1）高 AD 的长； （2）等边三角形 ABC 的面积.解：（1）由题意知 BD = CD = 3.在 Rt△ABD 中，由勾股定理，AD2 = AB2－BD2 = 62－32 = 27，（2）等边三角形 ABC 的面积 3. 如图，AD 是△ABC 的边 BC 上的高. 分别以线段 AB，AC， BD，CD 为边向外作正方形，正方形的面积分别为 S1，S2， S3，S4. 请写出关于 S1，S2，S3，S4 的等式.解：在 Rt△ABD 和 Rt△ACD 中，由勾股定理，AD2 = AB2－BD2 = AC2－CD2.∵S1 = AB2，S2 = AC2，S3 = BD2，S4 = CD2，∴S1－S3 = S2－S4 .课堂小结这节课有什么收获呢？利用勾股定理证明“HL”利用勾股定理在数轴上确定无理数的点