安徽省六安第一中学2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题

这是一份安徽省六安第一中学2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题，共4页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

时间：120分钟 满分:150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若函数的导函数存在，且=4，则（ ）
A．B．C．D．
2．直线，则“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
3．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是（ ）
A．B．C．D．
4．已知定点，点A在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．点A是曲线上任意一点，则点A到直线的最小距离为（ ）
A．B．C．D．
6．已知数列为等比数列，为数列的前n项和.若，，成等差数列，则（ ）
A．B．C．D．
7．若直线l与两函数、的图象都相切，则该直线的斜率为（ ）
A．0或1B．1或C．1或D．或
8．已知为椭圆的右焦点，过点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，P为AB的中点，O为坐标原点，若△OFP是以OF为底边的等腰三角形，且外接圆的面积为，则椭圆C的短轴长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9．下列命题不正确的是（ ）
A．常数列既是等差数列，又是等比数列
B．等差数列的公差，则是递增数列
C．数列的前项和，则是等比数列
D．等比数列是递增数列，则的公比
10．已知动点在直线上，动点在圆上，过点作圆的两条切线，切点分别为A、，则下列描述正确的有（ ）
A．直线与圆相交
B．的最小值为
C．不存在点，使得
D．直线过定点
11．下列不等关系中正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知函数的导函数为，若，则 ．
13．若数列满足，，则 ．
14．已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的左、右两支分别相交于两点，直线与双曲线的另一交点为，若，且的面积是的面积的3倍，则双曲线的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知数列的前项和为，，数列是以1为公差的等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和.
16．（本小题满分15分）
已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，且，直线与抛物线交于另一点B，点在抛物线的准线上，且轴.
（1）求抛物线的方程；
（2）若线段中点的纵坐标为，求直线的方程；
（3）求证：直线过定点，并求该定点坐标.
17．（本小题满分15分）
已知函数.
（1）若在区间上单调递增，求实数的取值范围；
（2）若在区间上的最小值为，求实数的值.
18．（本小题满分17分）
已知椭圆，点、分别为椭圆的左、右焦点.
（1）若椭圆上点满足，求的值；
（2）定点在轴上，若点S为椭圆上一动点，当取得最小值时点S恰与椭圆的右顶点重合，求实数的取值范围；
（3）设椭圆的左右顶点分别为、，过的直线交椭圆于点、（异于、），设直线、的斜率分别为、，求的值.
19．（本小题满分17分）
已知函数的定义域为，设，曲线在点处的切线交轴于点，当时，设曲线在点处的切线交轴于点，依次类推，称得到的数列为函数关于的“数列”，已知.
（1）求证：的图象与轴有两个交点；
（2）若是函数关于的“数列”，记.
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①证明：数列为等比数列，并求其通项公式；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②记，（），证明：.
六安一中2024年秋学期高二年级期末考试
数学试卷参考答案
12． 13． 14．
15．（1）数列是以1为公差的等差数列，且，
，，
当时，；
经检验，当时，满足上式.
．分
（2）由，则，
则，
，
两式相减得
，
所以．分
16．（1）由抛物线的定义知：，
所以，解得，所以抛物线的方程为．分
（2）由（1）知，，因为的斜率不为，设方程为，，
由，化简的，所以，
又由，得，所以方程为，即．分
（3）由（2）知：，
因为，所以方程为，
即：，又因为，
所以，
所以直线经过点．分
17．（1），
因为在区间上单调递增，所以在上恒成立，
只需，即实数的取值范围是．分
（2）令，得或，
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①当时，恒成立，在单调递增，
所以，不合题意，舍去；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②当时，；，
所以在上单减，在上单增，所以，解得；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③当时，恒成立，在单调递减，
所以，解得，舍去；
综上所述，．分
18．（1）因为，所以设点，则，所以，即，
所以．分
（2）设，则，，
则，
所以，，
要使时取最小值，则必有，所以．分
（3）由已知：，设，
联立，得，
所以，所以，即，
所以
．分
19．（1）由题意知，，
当单调递减；当单调递增，
所以，
因为（或者：当时，），
（或者：），
所以在和上各有一个零点，
即的图象与轴有两个交点．分（注：合理找点均给分）
（2） = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①，
则在处的切线斜率为，
所以在处的切线方程为，
令，解得，
所以，所以，
即，
所以是以首项为，公比为2的等比数列，所以．分
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②由，
则．分题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
A
D
D
A
B
C
B
ACD
BD
ABD