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安徽省六安第一中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题
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这是一份安徽省六安第一中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题，共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
1．已知命题，，则它的否定形式为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．是的（ ）条件
A．充要 B．必要不充分 C．充分不必要 D．既不充分也不必要
3．函数的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
4．设，，，则a，b，c之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
6．若，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，其中表示不超过x的最大整数，下列说法正确的是（ ）
A．为偶函数 B．的值域为
C．为周期函数，且最小正周期 D．与的图像恰有一个公共点
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列各式中，值为的是（ ）
A． B．
C． D．
10．若，，则下列不等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，已知点O为正六边形ABCDEF的中心，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数的图象过点，下列说法中正确的有（ ）
A．若，则在上单调递减
B．若在上有且仅有4个零点，则
C．若把的图象向左平移个单位后得到的函数为偶函数，则的最小值为2
D．若，则与有3个交点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．一个扇形的弧长为，面积为，则此扇形的圆心角为________．（用弧度制表示）
14．已知简谐运动的图象经过点，则该简谐运动初相为________．
15．________．
16．已知方程，则当时，该方程所有实的和为________．
四、解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）
已知集合，集合．
（1）求；
（2）若集合，且，求实数a的取值范围．
18．（本小题满分12分）
如图，以Ox为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点P，Q，已知点P的坐标为．
（1）求的值；
（2）若，，求的值．
19．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）填写下表，并用“五点法”画出在上的图象；
（2）将的图象横坐标扩大为原来的2倍，再向左平移个单位后，得到的图象，求的对称中心．
20．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；
（2）当时，求函数的值域．
21．（本小题满分12分）
六安一中新校区有一处矩形地块ABCD，如图所示，米，万米，为了便于校园绿化，计划在矩形地块内铺设三条绿化带OE，EF和OF，考虑到整体规划，要求O是边AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且．
（1）设，，试将的周长l表示成的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，为增加夜间照明亮度，决定在两条绿化带OE和OF上按装智能照明装置，已知两条绿化带每米增加智能照明装置的费用均为m元，当新加装的智能照明装置的费用最低时，求大小（备注：）
22．（本小题满分12分）
已知函数（且）．
（1）求的定义域；
（2）若当时，函数在有且只有一个零点，求实数b的范围；
（3）是否存在实数a，使得当的定义域为时，值域为，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
六安一中2023年秋学期高一年级期末考试
数学试卷参考答案
一、选择题
二、填空题
13．
14．将点带入可得，．
15．原式．
16．令，，作图可知，图像都关于点中心对称且，图像在上共有8个交点，故根的和为8．
三、解答题
17．（1），． 4分
（2）当时，，即，满足条件； 7分
当时，且，无解．综上所述：实数a的取值范围． 10分
18．（1）由题得，，，
所以． 6分
（2）由题得，，，所以，
所以． 12分
19．（1），列表如下：
4分
图象如图：
7分
（2）的图象横坐标扩大为原来的2倍得，
再向左平移个单位后，得，
令，，得，，
所以函数的对称中心为，． 12分
20．（1）， 2分
所以最小正周期为， 4分
由，
得单调递减区间是； 6分
（2）当时，，则，即时，最小值为1，
，即时，有最大值为2，所时的值为． 12分
21．（1）在中，由，可得，
在中，由，可得，
又在中，由勾股定理得
，
所以，． 5分
（2）根据题意，要使费用最低，只需最小即可，
由（1）得，，
设，则，
得，
由，得，
令，易知在上为增函数，
所以当时，最小，此时． 12分
22．（1）由，得或．
∴的定义域为． 2分
（2）令，
∵，∴在上为减函数；
又∵函数在有且只有一个零点，
即在上有且只有一个解，∵函数在上的值域为，
∴b的范围是． 7分
（3）假设存在这样的实数a，使得当的定义域为时，
值域为，由且，可得．
又由（2）知在上为增函数，在上为减函数．
则在上为减函数，得
即在上有两个互异实根，因
即，有两个大于1相异实数根．
则 12分x
0
1
0
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
C
D
B
A
A
D
BC
BD
AC
ABC
0
x
0
1
0
0
时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
1．已知命题，，则它的否定形式为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．是的（ ）条件
A．充要 B．必要不充分 C．充分不必要 D．既不充分也不必要
3．函数的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
4．设，，，则a，b，c之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
6．若，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，其中表示不超过x的最大整数，下列说法正确的是（ ）
A．为偶函数 B．的值域为
C．为周期函数，且最小正周期 D．与的图像恰有一个公共点
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列各式中，值为的是（ ）
A． B．
C． D．
10．若，，则下列不等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，已知点O为正六边形ABCDEF的中心，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数的图象过点，下列说法中正确的有（ ）
A．若，则在上单调递减
B．若在上有且仅有4个零点，则
C．若把的图象向左平移个单位后得到的函数为偶函数，则的最小值为2
D．若，则与有3个交点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．一个扇形的弧长为，面积为，则此扇形的圆心角为________．（用弧度制表示）
14．已知简谐运动的图象经过点，则该简谐运动初相为________．
15．________．
16．已知方程，则当时，该方程所有实的和为________．
四、解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）
已知集合，集合．
（1）求；
（2）若集合，且，求实数a的取值范围．
18．（本小题满分12分）
如图，以Ox为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点P，Q，已知点P的坐标为．
（1）求的值；
（2）若，，求的值．
19．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）填写下表，并用“五点法”画出在上的图象；
（2）将的图象横坐标扩大为原来的2倍，再向左平移个单位后，得到的图象，求的对称中心．
20．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；
（2）当时，求函数的值域．
21．（本小题满分12分）
六安一中新校区有一处矩形地块ABCD，如图所示，米，万米，为了便于校园绿化，计划在矩形地块内铺设三条绿化带OE，EF和OF，考虑到整体规划，要求O是边AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且．
（1）设，，试将的周长l表示成的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，为增加夜间照明亮度，决定在两条绿化带OE和OF上按装智能照明装置，已知两条绿化带每米增加智能照明装置的费用均为m元，当新加装的智能照明装置的费用最低时，求大小（备注：）
22．（本小题满分12分）
已知函数（且）．
（1）求的定义域；
（2）若当时，函数在有且只有一个零点，求实数b的范围；
（3）是否存在实数a，使得当的定义域为时，值域为，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
六安一中2023年秋学期高一年级期末考试
数学试卷参考答案
一、选择题
二、填空题
13．
14．将点带入可得，．
15．原式．
16．令，，作图可知，图像都关于点中心对称且，图像在上共有8个交点，故根的和为8．
三、解答题
17．（1），． 4分
（2）当时，，即，满足条件； 7分
当时，且，无解．综上所述：实数a的取值范围． 10分
18．（1）由题得，，，
所以． 6分
（2）由题得，，，所以，
所以． 12分
19．（1），列表如下：
4分
图象如图：
7分
（2）的图象横坐标扩大为原来的2倍得，
再向左平移个单位后，得，
令，，得，，
所以函数的对称中心为，． 12分
20．（1）， 2分
所以最小正周期为， 4分
由，
得单调递减区间是； 6分
（2）当时，，则，即时，最小值为1，
，即时，有最大值为2，所时的值为． 12分
21．（1）在中，由，可得，
在中，由，可得，
又在中，由勾股定理得
，
所以，． 5分
（2）根据题意，要使费用最低，只需最小即可，
由（1）得，，
设，则，
得，
由，得，
令，易知在上为增函数，
所以当时，最小，此时． 12分
22．（1）由，得或．
∴的定义域为． 2分
（2）令，
∵，∴在上为减函数；
又∵函数在有且只有一个零点，
即在上有且只有一个解，∵函数在上的值域为，
∴b的范围是． 7分
（3）假设存在这样的实数a，使得当的定义域为时，
值域为，由且，可得．
又由（2）知在上为增函数，在上为减函数．
则在上为减函数，得
即在上有两个互异实根，因
即，有两个大于1相异实数根．
则 12分x
0
1
0
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
C
D
B
A
A
D
BC
BD
AC
ABC
0
x
0
1
0
0
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