安徽省六安第一中学2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题（解析版）-A4

这是一份安徽省六安第一中学2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题（解析版）-A4，共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若函数的导函数存在，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据导数的概念将已知式配凑成定义式可得答案.
【详解】，所以，
故选：C.
2. 直线，则“”是“”的（ ）条件
A. 充分不必要B. 必要不充分
C. 充要D. 既不充分也不必要
【答案】A
【解析】
【分析】先求出两直线垂直时的值，进而可判断充分必要条件．
【详解】直线，
当时，有，解得或.
所以“”时“”成立，“”时“”不一定成立，
则“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线焦点得双曲线的半焦距，进而求得，即可求解渐近线方程.
【详解】的焦点是，∴双曲线的半焦距，
又虚半轴长且，
∴双曲线的渐近线方程是.
故选：D
4. 已知定点，点A在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中点关系，即可将代入圆的方程求解.
【详解】设，则，由于在上运动，
故，化简得，
故选：D.
5. 点A是曲线上任意一点，则点A到直线的最小距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】动点在曲线，则找出曲线上某点的斜率与直线的斜率相等的点为距离最小的点，利用导数的几何意义即可
【详解】不妨设，定义域：
对求导可得：
令
解得：（其中舍去）
当时，，则此时该点到直线的距离为最小
根据点到直线的距离公式可得：
解得：
故选：A
6. 已知数列为等比数列，为数列的前n项和.若，，成等差数列，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据等差中项性质以及等比数列前n项和公式代入计算可得结果.
【详解】设数列的公比为，
由，，成等差数列可得，即，
因为，所以，解得或（舍）；
所以.
故选：A
7. 若直线l与两函数、的图象都相切，则该直线的斜率为（ ）
A. 0或1B. 1或C. 1或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】设出直线方程，利用导数的几何意义可得答案.
【详解】设直线l的方程为，分别与两函数相切于，
，，则，整理得①；
由，整理得②；
联立①②可得，解得或.
故选：C
8. 已知为椭圆的右焦点，过点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，P为AB的中点，O为坐标原点，若△OFP是以OF为底边的等腰三角形，且外接圆的面积为，则椭圆C的短轴长为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】由外接圆面积求半径，应用正弦定理求中的，结合已知有，根据中点弦，应用点差法有，即可求椭圆的长轴长.
【详解】
由外接圆的面积为，
则其外接圆半径为，设，
因为是以为底边等腰三角形，
所以，所以，
所以，所以或，
不妨设点在轴下方，由是以OF为底边的等腰三角形得或，
根据点差法可得，
有，而（此时焦点在轴上，舍去），
因为为椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点，
所以，故椭圆的短轴长为.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：利用外接圆的面积求半径，由正弦定理、等腰三角形的性质求相关直线斜率，应用点差法列方程求椭圆参数.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9. 下列命题不正确的是（ ）
A. 常数列既是等差数列，又是等比数列
B. 等差数列的公差，则是递增数列
C. 数列的前项和，则是等比数列
D. 等比数列是递增数列，则的公比
【答案】ACD
【解析】
【分析】举例说明判断A；利用递增等差数列及公差的意义判断B；由数列的通项和前项和的关系求解判断C；利用递增等比数列求得公比判断D.
【详解】对于A，当时，该常数列不是等比数列，A错误；
对于B，若，即，则，是递增数列，B正确；
对于C，由，当时，，
当时，，
当时，代入上式，，所以，
则数列不是等比数列，C错误；
对于D，等比数列是递增数列，当时，；当时，，D错误.
故选：ACD
10. 已知动点在直线上，动点在圆上，过点作圆的两条切线，切点分别为A、，则下列描述正确的有（ ）
A. 直线与圆相交
B. 的最小值为
C. 不存在点，使得
D 直线过定点
【答案】BD
【解析】
【分析】利用圆心到直线的距离及点圆的位置关系可判定A，B；由切线长定理结合正弦函数的单调性确定的最大值即可判定C，根据两圆的位置关系及公共弦方程可得直线方程判定D.
【详解】圆的圆心，半径，连接，
对于A，点到直线的距离，
直线与圆相离，故A错误；
对于B，点在圆上，则，故B正确；
对于C，由切线长定理知，，而，
又是锐角，正弦函数在上单调递增，则的最大值为，
当且仅当时取等号，因此的最大值为，故C错误；
对于D，设，则以为直径的圆的方程为，
即，
与已知圆的方程相减可得直线的方程为，
即，由，
解得，即直线过定点，故D正确.
故选：BD.
【点睛】思路点睛：利用点与圆可处理直线与圆上点的距离最值问题，根据直线与圆、圆与圆的位置关系处理相切及切点弦问题即可.
11. 下列不等关系中正确的有（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】令，利用导数说明函数的单调性，利用函数的单调性判断A、D，利用与0的大小关系判断B；令，求导，利用单调性判断C.
【详解】令，则，
所以当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以，
又，所以，所以，
所以，所以，故A正确；
又，即，所以，即，故D正确；
因为，所以，故B正确；
令，则，
当时，，即函数在上为减函数，
所以，所以，所以，
所以，即即，故C错误.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：解决的关键在于观察不等式的结构，通过构造函数，判断函数的单调性，利用单调性比较大小即可.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数导函数为，若，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】由求导，先求得，进而得到 求解.
【详解】解：因为，
所以，则 ，
解得 ，所以 ，
所以 ，
故答案为：
13 若数列满足，，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据与的关系，结合累乘法求解即可.
【详解】因为①，
所以②，
②①得，，
所以有，
所以．
故答案为：.
14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的左、右两支分别相交于两点，直线与双曲线的另一交点为，若，且的面积是的面积的3倍，则双曲线的离心率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由双曲线的定义，结合三角形的余弦定理和离心率公式，计算可得所求值．
【详解】设，由双曲线的定义可得，
由的面积是的面积的3倍，可得，
因为，所以，解得，，在中，；
在中，，解得，即.
故答案为：2
【点睛】关键点点睛：本题关键结合双曲线的定义及余弦定理求出a、c 的关系.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列的前项和为，，数列是以1为公差的等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据数列是以1为公差的等差数列，得到，再利用通项和前n项和的关系求解；
（2）由，利用错位相减法求解.
【小问1详解】
解：数列是以1为公差的等差数列，且，
，，
当时，；
经检验，当时，满足上式.
.
【小问2详解】
由，则，
则，
，
两式相减得
，
所以.
16. 已知抛物线y2=2pxp>0的焦点为，为抛物线上一点，且，直线与抛物线交于另一点，点在抛物线的准线上，且轴.
（1）求抛物线的方程；
（2）若线段中点的纵坐标为，求直线的方程；
（3）求证：直线过定点，并求该定点坐标.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析，
【解析】
【分析】（1）由可得，进而可得；
（2）设方程为，联立，可得，进而可得；
（3）设，可得直线方程为，由，，可得，进而可得.
【小问1详解】
由抛物线的定义知：，
所以，解得，所以抛物线的方程为.
【小问2详解】
由（1）知，，因为的斜率不为，设方程为，，
联立，得，
所以，
又由，得，所以方程为，即.
【小问3详解】
由（2）知：，
因为，所以方程为，
即：，又因为，
所以，
故直线方程为，
所以直线经过点.
17. 已知函数.
（1）若在区间上单调递增，求实数的取值范围；
（2）若在区间上的最小值为，求实数的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）问题转化为f′x≥0在0,4上恒成立，进而可得；
（2）先根据与区间的关系分类：当时，函数单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在0,4单调递减，进而根据最小值为可得.
【小问1详解】
由题意函数的定义域为，
，
因为在区间0,4上单调递增，所以f′x≥0在0,4上恒成立，
只需，即实数的取值范围是.
【小问2详解】
令，得或，
①当时，f′x≥0恒成立，在0,4单调递增，
所以，不合题意，舍去；
②当时，；，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，解得；
③当时，恒成立，在0,4单调递减，
所以，解得，舍去；
综上所述，.
18. 已知椭圆，点、分别为椭圆的左、右焦点.
（1）若椭圆上点满足，求的值；
（2）定点在轴上，若点S为椭圆上一动点，当取得最小值时点S恰与椭圆的右顶点重合，求实数的取值范围；
（3）设椭圆的左右顶点分别为、，过的直线交椭圆于点、（异于、），设直线、的斜率分别为、，求的值.
【答案】（1）3 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，求出，再利用椭圆定义求解.
（2）设，利用两点间距离公式建立函数关系，借助二次函数探讨最小值.
（3）设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式计算即得.
【小问1详解】
椭圆的焦点，
由，设点，则，解得，即，
所以.
【小问2详解】
设，则，，
则，
所以，，
要使时取最小值，则必有，所以.
【小问3详解】
依题意，，设，
由消去，得，
则，即，
所以.
19. 已知函数y=fx的定义域为，设，曲线在点x0,fx0处的切线交轴于点，当时，设曲线在点处的切线交轴于点，依次类推，称得到的数列为函数y=fx关于的“数列”，已知.
（1）求证：的图象与轴有两个交点；
（2）若是函数y=gx关于的“数列”，记.
①证明：数列为等比数列，并求其通项公式；
②记，（），证明：.
【答案】（1）证明见解析
（2）①证明见解析，；②证明见解析
【解析】
【分析】（1）求出函数导数，求得单调区间，进而利根的存在性定理可判断在每个区间上各有一个零点；
（2）①根据“数列”的含义，结合等比数列定义，即可证明结论；②，利用累加法可证明结论.
【小问1详解】
由题意知，，
当单调递减；当x∈(−12,+∞),f'(x)>0,f(x)单调递增，
所以，
因为（或者：当时，），
（或者：），
所以在和上各有一个零点，
即的图象与轴有两个交点.
【小问2详解】
①，
则在处的切线斜率为，
所以在处的切线方程为，
令，解得，
所以，所以，
即，
所以是以首项为，公比为2的等比数列，所以
②由，
则.
【点睛】难点点睛：本题考查了导数和数列知识的综合问题，难度较大，解答的难点在于数列不等式的证明，放缩法与累加法的运用.