精品解析：河南省平顶山市汝州市部分学校八年级上学期9月月考数学试题 含答案

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注意事项：
1．本试卷共6页，三大题，满分120分，考试时间100分钟．
2．请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔直接答在试卷上．
3．答卷前请将密封线内的项目填写清楚．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中有一个是正确的．
1. 下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形的内角和，以及勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握三角形的内角和为；两边平方和等于第三边平方的三角形为直角三角形．根据三角形的内角和为，即可判断A、B；根据平方差公式和勾股定理的逆定理，即可判断C；根据勾股定理的逆定理，即可判断D．
【详解】解：A、∵，，
∴，解得：，
能判定是直角三角形，不符合题意；
B、∵，
∴，，，
不能判定是直角三角形，符合题意；
C、∵，
∴，
能判定是直角三角形，不符合题意；
D、设，
，
能判定是直角三角形，不符合题意；
故选：B．
2. 下列各式：①，②，③，④中，最简二次根式有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】利用最简二次根式的概念分析得出答案．
【详解】解：①是最简二次根式；
②=，不是最简二次根式；
③，不是最简二次根式；
④，不是最简二次根式；
最简二次根式有1个，
故选：A．
【点睛】本题考查了最简二次根式，正确理解二次根式的定义是解题的关键．
3. 如图，中，，点为的中点，则点到的距离为（ ）

A. 15B. C. 9D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接，过点作的垂线段，交于点，利用等腰三角形的三线合一性质，证明，求得，再根据面积法，即可求得的值，即点到的距离．
【详解】解：如图，连接，过点作的垂线段，交于点，

，点为的中点，
且，
，
，
，
即点到的距离，
故答案为：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形面积公式，作出需要的辅助线，熟练利用面积法解题的解题的关键．
4. 估计的值应在（ ）
A. 4和5之间B. 5和6之间C. 6和7之间D. 7和8之间
【答案】C
【解析】
【分析】先将原式化简为2+，由于在4和5之间，那么2+就在6和7之间.
【详解】解：=2+6=2+
又因为4＜＜5
所以6＜2+＜7
故答案为C.
【点睛】本题考查了二次根式的化简，其中明确化简方向和正确的估值是解题的关键.
5. 如图，正方形ABCD的面积为100cm2，△ABP为直角三角形，∠P＝90°，且PB＝6cm，则AP的长为（ ）
A. 10cmB. 6cmC. 8cmD. 无法确定
【答案】C
【解析】
【详解】解：∵正方形ABCD的面积为100cm2，
∴AB=10cm，
∵△ABP为直角三角形，∠P=90°，且PB=6cm，
∴AP=．
故选C．
6. 如果，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：可知：，
所以，
解得，
故选：B．
7. 已知为实数，且．则的值为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据算术平方根的非负性，可得，则，再将代入原式即可解答．
【详解】解：根据算术平方根非负性，可得，
解得，
把代入，可得，
，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，求一个数的立方根，根据题意得出，是解题的关键．
8. 设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（ ）
A. 6B. C. 12D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据的整数部分可确定的值，进而确定的值，然后将与的值代入计算即可得到所求代数式的值．
【详解】∵，
∴，
∴的整数部分，
∴小数部分，
∴．
故选：．
【点睛】本题考查了二次根式运算，正确确定的整数部分与小数部分的值是解题关键．
9. 如图，下列各数中，数轴上点A可能表示的是（ ）
A. 8的立方根B. |1﹣2|
C. 5的算术平方根D. ﹣
【答案】D
【解析】
【分析】根据无理数大小的估算结合数轴上点的位置，逐项分析即可求得答案．
【详解】A. 8的立方根为2，故该选项不符合题意；
B. |1﹣2|，
，即，
，故该选项不符合题意；
C. 5的算术平方根为，
，
，
故该选项不符合题意；
D. ﹣，
，
故D选项符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查了无理数大小的估算，数轴表示无理数，掌握无理数大小估算是解题的关键．
10. 已知﹣，则的解为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由两边平方得，从而得出，再两边开方即可得出答案．
【详解】解：
（负舍）
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的运算及通过对完全平方式的变形求值，解决本题的关键是熟练掌握完全平方公式的恒等变形．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 如图所示的网格是正方形网格，点A、B、C、D、E是网格线交点，则的度数为______ 度．
【答案】
【解析】
【分析】如图，连接、，根据勾股定理的逆定理可得，从而知是等腰直角三角形，根据平行线的性质和三角形全等，可知：，即可得解．
【详解】解：如图，连接、，
设网格中正方形的边长为x，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴.
∵，
∴，
在和中，
，
∴≌，
∴，
∴.
故答案为：45．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
12. 如图，已知四边形中，，则四边形的面积等于________.
【答案】36
【解析】
【分析】连接AC，先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，最后利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】连接AC，如下图所示：
∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
∴AC=，
在△ACD中，AC2+AD2=25+144=169=CD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴S四边形ABCD=AB•BC+AC•AD=×3×4+×5×12=36.
【点睛】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，正确作出辅助线是解题的关键.
13. 如图所示，已知四边形ABCD是等边长为2的正方形，AP=AC，则数轴上点P所表示的数是________．
【答案】1﹣2
【解析】
【详解】根据勾股定理，可得AC==2，根据数轴上两点间的距离AP=AC=2，可得P点坐标1﹣2．
故答案为1﹣2．
14. 按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的结果是 _______
【答案】8+
【解析】
【分析】根据程序框图的流程逐步进行计算，判断根式的大小即可解题．
【详解】解：输入n=，n(n+1)=2+15，
输入n=2+， n(n+1)= 8+15，
∴输出结果为8+．
【点睛】本题考查了实数比较大小，实数的计算，程序框图的应用，中等难度，读懂流程图，会判断根式的大小是解题关键．
15. 实数在数轴上的点如图所示，化简__________．

【答案】0
【解析】
【分析】由数轴可知，，则，即可化简算术平方根求值.
【详解】解：由数轴可知，，
则，
，
故答案为：0.
【点睛】此题考查数轴上数的大小关系，算术平方根的性质，整式的加减计算.
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据立方根定义，绝对值意义，负整数指数幂运算法则进行化简，然后再计算即可；
（2）根据二次根式混合运算法则进行计算即可．
【小问1详解】
解：
；
小问2详解】
解：
．
【点睛】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握立方根定义，绝对值意义，负整数指数幂运算法则和二次根式混合运算法则，准确计算．
17. 甲同学用图3-①所示的方法作出了点C，表示数，在△OAB中，∠OAB=90°，OA=2，AB=3，且点O，A，C在同一数轴上，OB=OC．
(1)请说明甲同学这样做的理由；
(2)仿照甲同学的作法，在图3-②所给的数轴上描出表示-的点A．

【答案】(1) 详见解析；(2)详见解析．
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理求得OB=，所以点C表示的数为；
（2）如图，取OB=5，作BC⊥OB，取BC=2，根据勾股定理OC=，所以点A表示的数为-．
【详解】解：（1）在Rt△AOB中，OB===，
因为OB=OC，所以OC=，
所以点C表示的数为；
（2）如图所示：

取OB=5，作BC⊥OB，取BC=2，
由勾股定理得OC==，
因为OA=OC=，
所以点A表示的数为-．
18. 如果蚂蚁处于的位置是一个长、宽、高分别为15、5、3的长方体的左下端A，它到右上端的最短路线该怎样选择呢．请计算最短路线．
【答案】见解析．
【解析】
【分析】利用展开图的不同形式分别展开利用勾股定理求出，然后比较大小即可判断．
【详解】分三种情况：
如图①，AB=15，，
∴
在Rt△中，
如图②，AB=15，，
∴
在Rt△中，
如图③，，，
∴
在Rt△中，
∵
∴沿第①种方式爬行路线最短．
【点睛】本题考查平面展开图-最短问题、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，灵活运用勾股定理解决问题．
19. 如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的处到公路上的停靠站的距离，到公路上另一停靠站的距离，停靠站之间的距离为，为方便运输货物，现要从公路上的处开凿隧道修通一条公路到处，且．

（1）请判断的形状，并说明理由；
（2）求修建的公路的长．
【答案】（1）直角三角形．理由见解析
（2）修建的公路的长为
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得，再根据三角形面积公式即可求解；
（2）根据勾股定理求出的长，即可得出结论．
【小问1详解】
）是直角三角形．理由如下：
，
∴，
是直角三角形；
【小问2详解】
，
，
即修建的公路的长为．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
20. 为迎接六十周年校庆，重庆外国语学校准备将一块三角形空地进行新的规划，如图，点D是边上的一点，过点D作垂直于的小路，点E在边上．经测量，米，米，米，比长米．
（1）求的面积；
（2）求小路的长．
【答案】（1）平方米
（2）米
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理推知△ABD是直角三角形，然后利用直角三角形的面积公式作答；
（2）根据三角形的面积公式即可得到结论．
【小问1详解】
解：∵米，米，米，，
∴，
∴是直角三角形，即，
∴平方米，
答：的面积是平方米；
【小问2详解】
由（1）知，，
∵比长米，
∴．
由勾股定理知：，即．
∴米．
∴米，
∵，
∴，
∴（米），
答：小路的长为米．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，以及勾股定理的逆定理的应用，运用等面积法求垂线段的长是常用方法，属于常考题型．
21. 《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（门槛）一尺，不合四寸，问门广几何？其大意：如图，推开双门（大小相同），双门间隙CD＝4寸，点C、点D与门槛AB的距离CE＝DF＝1尺（1尺＝10寸），求AB的长．
【答案】52寸
【解析】
【分析】取的中点为点，由题意可得，设寸，则寸，利用勾股定理即可求解
【详解】如图：取的中点为点，则的中点也为
根据题意可得：，
设寸，则寸．
， 尺寸
解得：寸
寸
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，弄清题意，构建直角三角形是解题关键．
22. 如图，每个小正方形的边长都为1，
（1）填空___________；___________
（2）是直角吗？如果是，请证明，如果不是请说明理由．
（3）直接写出点D到的距离．
【答案】（1），
（2）是直角，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理求解即可；
（2）利用勾股定理得逆定理进行求解即可；
（3）利用割补法求出的面积，再用等面积法求解即可．
【小问1详解】
解：由题意得，，，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：是直角，证明如下：
由题意得，，
∵，
∴是直角三角形，即，
∴是直角；
【小问3详解】
解：设点D到的距离为，
由题意得：，
∴，
∴，
∴，
∴点D到的距离为．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，分母有理化，熟知勾股定理和勾股定理得逆定理是解题的关键．
23. 如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝3cm，AB＝6m，点P在线段AC上以1cm/s的速度由点C向点A运动，同时，点Q在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，设运动时间为t（s）．
（1）当t＝1时，判断△APQ的形状，并说明理由；
（2）当t为何值时，△APQ与△CQP全等？请写出证明过程．

【答案】（1）△APQ是等边三角形；（2）t＝1.5．
【解析】
【分析】（1）分别求出AP、AQ的长，根据等边三角形的判定定理即可得出结论；
（2）根据全等的条件和已知分别求出AP、CP、AQ、CQ的长，根据全等三角形的判定定理即可得出结论．
【详解】（1）△APQ等边三角形．理由如下：
∵t＝1，∴AP＝3﹣1×1＝2，AQ＝2×1＝2，∴AP＝AQ．
∵∠A＝60°，∴△APQ是等边三角形；
（2）存在t，使△APQ和△CPQ全等．当t＝1.5s时，△APQ和△CPQ全等．理由如下：∵在Rt△ACB中，AB＝6，AC＝3，∴∠B＝30°，∠A＝60°，当t＝1.5时，此时AP＝PC．
∵t＝1.5s，∴AP＝CP＝1.5cm．
∵AQ＝3cm，∴AQ＝AC．
又∵∠A＝60°，∴△ACQ是等边三角形，∴AQ＝CQ．
在△APQ和△CPQ中，∵AQ=CQ，AP=CP，PQ=PQ，∴△APQ≌△CPQ（SSS）；
即存在时间t，使△APQ和△CPQ全等，时间t＝1.5；
【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．