安徽省安庆市太湖县第二中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷（解析版）-A4

这是一份安徽省安庆市太湖县第二中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷（解析版）-A4，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题人：喻永祥 审题人：朱晓兰
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若复数z在复平面内对应的点的坐标为，则的共轭复数（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由复数的几何意义求得复数，然后由共轭复数相关概念求解即可．
【详解】由题可知，所以．
故选：D
2. 已知向量，，则“”是“，的夹角是钝角”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据夹角为钝角，得到且，不反向共线，从而得到不等式，求出且，从而得到“”是“，的夹角是钝角”的必要不充分条件.
【详解】，的夹角是钝角，则且，不反向共线，
故且，解得且，
故“”是“，的夹角是钝角”的必要不充分条件.
故选：B.
3. 已知两点在圆上运动，且，则的值（ ）
A. B. 1C. D. 与点的具体位置有关
【答案】B
【解析】
【分析】作，根据题意利用数量积的定义求解即可.
【详解】如图，

连接，过点作交于点，则是的中点，
故.
故选：B
4. 已知复数，则（ ）
A. 2B. 4C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】借助复数的运算法则及复数的模的定义计算即可得.
【详解】∵，
∴．
故选：C.
5. 平面上三个力作用于一点且处于平衡状态.，，与的夹角为150°，则（ ）
A. 1NB. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知条件，推得，再将两边同时平方，即可求解.
【详解】平面上三个力作用于一点且处于平衡状态，则，
，，与的夹角为150°，
故.
故选：A.
6. 在中，已知，则的形状为（ ）
A. 锐角三角形B. 钝角三角形
C. 等腰三角形D. 没有符合条件的三角形
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角变换可得，故可得正确的选项.
【详解】因为，故，
故，故，
而，故即，故三角形为等腰三角形，
故选：C.
7. 若，，，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系
【详解】，，，
故.
故选：B
8. 若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3－－＝，则△ABM与△ABC的面积之比为（ ）
A. 1∶2B. 1∶3C. 1∶4D. 2∶5
【答案】B
【解析】
【分析】由平面向量的加法结合已知可得M为AD的三等分点，然后由等高的三角形面积之比等于底边之比可得.
【详解】如图，D为BC边的中点，
则
因为－－＝
所以，
所以
所以.
故选：B
二、选择题：本题3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知复数在复平面内对应的点为，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则z为纯虚数B. 若，则z为实数
C. 若，则点Z在直线上D. 若，则点Z在第三象限
【答案】BC
【解析】
【分析】时，可得判断A；时，可得判断B；时，可判断C；若点第三象限，可得且，求解可判断D.
【详解】对于A，当时，，是实数，故A错误；
对于B，当时，，是实数，故B正确；
对于C，当时，，所以，所以点在直线上，故C正确；
对于D，由，得，由，得，
所以不存在点在第三象限，故D错误．
故选：BC.
10. 在中，角、、对边分别为、、，则下列结论成立的是（ ）
A. 若，则
B. 在锐角中，不等式恒成立
C. 若，则
D. 若，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用正弦定理结合大角对大边定理可判断A选项；利用诱导公式结合正弦函数的单调性可判断B选项；利用正弦定理可判断CD选项.
【详解】对于A：因为，所以，由正弦定理可得（是外接圆的半径），
所以，故选项A正确；
对于B：因为是锐角三角形，所以，所以，
又、，所以，则，即，
又因为在单调递增，所以，B正确；
对于C：因为，由正弦定理可得，
即，
又因为中至少有两个锐角，不妨设、为锐角，则，
故也为锐角，
又因为函数在上单调递增，故，所以，故选项C正确；
对于D：利用正弦定理化边为角可得，所以，
因为、，则、，
则或或.
若，即，此时，为等腰三角形，合乎题意；
若，则，此时，为直角三角形，合乎题意；
若，可得，不合乎题意.
综上所述，或，故选项D错误．
故选：ABC．
11. 已知向量，，，则下列命题正确的是（ ）
A. 不存在x，使得
B. 的最小正周期是
C. 对任意x，都有
D. 当时，在方向上的投影向量的模长
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据向量共线可得，故可判断A的正误；根据向量数量积的坐标形式可求，故可判断B的正误；根据向量模的计算公式计算后可判断C的正误；根据可求，根据投影模长的计算公式计算后可判断D的正误.
【详解】对于A，等价于，
而，故不存在，使得，故A正确；
对于B，，故，
该函数的最小正周期为，故B错误；
对于C，，故对任意x，都有，
故C正确；
对于D，若，则，故即，
此时，
此时在方向上的投影向量的模长为，
故D正确，
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则符合条件的三角形有____个．
【答案】2
【解析】
【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出，进而确定三角形个数.
【详解】在中，由正弦定理得，由，得，
所以符合条件三角形有2个.
故答案为：2
13. 已知函数，若，则____________．
【答案】或
【解析】
【分析】由奇偶性定义可判断是偶函数，且结合在上单调递增，即可求解.
【详解】由题可知，，所以是偶函数．
由于函数在上单调递增，而 且单调递增，
在上单调递增，故在上单调递增，
进而可得在上单调递增，又，
所以或，解得或．
故答案为：或
14. 如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，点P为AC边上的一个动点，长度为6的线段EF的中点为点B，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】由向量的数量积公式得出，求出的最大值和最小值即可得出结果.
【详解】由线段EF的中点为点B，得出.
.当点P位于点A或点C时，取最大值8.
当点P位于的中点时，取最小值，即，
∴的取值范围为，∴的取值范围为.
故答案：.
四、解答题：本题共小题．共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知．
（1）求；
（2）当为何值时，与垂直?
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据数量积的运算律求出，再由计算可得；
（2）依题意，根据数量积的运算律计算可得.
【小问1详解】
因为，，
所以，即，则，
所以；
【小问2详解】
若与垂直，
则，
即，
即，解得.
16. 在平面直角坐标系中，角的始边在x轴的正半轴上，终边与单位圆的交点为，其中.
（1）求和的值；
（2）设向量，若，求的值.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）求出值，再利用三角函数的定义求解即得.
（2）利用共线向量的坐标表示求出，再利用诱导公式、二倍角公式，借助齐次式法求值.
【小问1详解】
依题意，，而，解得，则，
所以，.
【小问2详解】
由（1）知，，，而，
由，得，因此，
所以
.
17. 已知复数满足.
（1）求；
（2）若是实系数一元二次方程的一个根，求方程的另一个根和bc的值.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）结合复数模公式，以及复数相等的条件，即可求解；
（2）根据已知条件，推得也为实系数一元二次方程的一个根，再结合韦达定理，即可求解.
【小问1详解】
设，
因为，则，
故，解得，
故；
【小问2详解】
因为是实系数一元二次方程的一个根，
则也为实系数一元二次方程的一个根，
故，解得，
故.
18. 如下图，两点都在河的对岸（不可到达），设计者设计了一种测量两点间距离的方法：测量者在两点的对岸取定一点（称作测量基点），但在点处只能测出的大小，因而无法解决问题．为此，可以再取一点，测出线段，以及，，，，请根据测量的数据求出间的距离.
【答案】
【解析】
【分析】在和中利用正弦定理表示，在利用余弦定理可得结果.
【详解】由题意得，.
在和中，由正弦定理得，，，
即，，
∴，，
在中，由余弦定理可得两点间的距离为
19. 如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点．
（1）若，求的值；
（2）若，，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意根据向量的线性运算法则得到，，再根据三点共线，求得即可求解.
（2）根据题意得到，，结合三点共线得到，利用基本不等式“1”的妙用即可求解.
【小问1详解】
因为，
所以，
因为是线段的中点，所以，
又因为，设，则有，
因为三点共线，所以，解得，即，
所以．
【小问2详解】
因为， ，
由（1）可知，，所以，
因为三点共线，所以，即，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为．