北师大版（2024）八年级下册3 公式法课时作业

这是一份北师大版（2024）八年级下册3 公式法课时作业，共4页。试卷主要包含了若k为任意整数，则等内容，欢迎下载使用。
1．下列各式不能运用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A．﹣a2+b2B．﹣x2﹣y2C．49x2﹣z2D．16m2﹣25n2
2．下列多项式能用完全平方公式因式分解的是（ ）
A．a2+2a﹣1 B．x2﹣xy+y2 C．a2−2a+14 D．a2−ab+14b2
3．已知xy＝﹣1，x+y＝2，则12x3y+x2y2+12xy3=（ ）
A．﹣2B．2C．﹣4D．4
4．把多项式x2﹣2xy+y2+2x﹣2y﹣8分解因式的结果是（ ）
A．（x﹣y﹣4）（x﹣y+2）B．（x﹣y﹣1）（x﹣y﹣8）
C．（x﹣y+4）（x﹣y﹣2）D．（x﹣y+1）（x﹣y﹣8）
5．用十字相乘法将x2﹣5x+6因式分解，正确的是（ ）
A．（x+1）（x﹣6）B．（x﹣2）（x+3）
C．（x+2）（x﹣3）D．（x﹣2）（x﹣3）
6．已知a﹣b＝5，b﹣c＝﹣6，则代数式a2﹣ac﹣b（a﹣c）的值为（ ）
A．﹣30B．30C．﹣5D．﹣6
7．已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+3ac+b2＝2ab+3bc，则此三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形
8．若k为任意整数，则（k+5）2﹣（k﹣2）2的值总能（ ）
A．被2整除B．被3整除C．被5整除D．被7整除
9．若a＝4+b，ab＝3，则﹣a3b+2a2b2﹣ab3的值为（ ）
A．﹣48B．﹣12C．﹣36D．12
10．已知m2＝3n+a，n2＝3m+a，m≠n，则m2+2mn+n2的值为（ ）
A．9B．6C．4D．无法确定
二．填空题（共6小题）
11．分解因式：mx2﹣9m＝ ．
12．因式分解：a2﹣a﹣6＝ ．
13．若多项式x2﹣（m﹣1）x+16能用完全平方公式进行因式分解，则m＝ ．
14．不论a、b为任意有理数，多项式a2+b2﹣4a+2b+7的值总是不小于 ．
15．已知x2+x﹣3＝0，则代数式x3+2x2﹣2x+2值为 ．
16．已知a=2023+12024，b=2024+12024，c=2025+12024，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值是 ．
三．解答题（共7小题）
17．因式分解：
（1）（2x+1）（3x﹣2）+（2x+1）2； （2）（m2+1）2﹣4m2； （3）2x2+20xy+50y2．
18．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20这三个数都是神秘数．
（1）28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？
（3）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？
19．“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解如下．
请在他们解法的启发下解答下列各题．
（1）分解因式9x2﹣6xy+y2﹣16．
（2）若a，b，c分别为△ABC三边的长．
①若满足若ac﹣bc+a2﹣2ab+b2＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．
②若满足a2+b2＝12a+8b﹣52，求c的范围．
20．对于多项式x3﹣5x2+x+10，我们把x＝2代入此多项式，发现x＝2能使多项式x3﹣5x2+x+10的值为0，由此可以断定多项式x3﹣5x2+x+10中有因式（x﹣2），（注：把x＝a代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），分别求出m、n后再代入x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），就可以把多项式x3﹣5x2+x+10因式分解．
（1）求式子中m、n的值；
（2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式x3+5x2+8x+4．
21．利用整式的乘法运算法则推导得出：（ax+b）（cx+d）＝acx2+（ad+bc）x+bd．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得acx2+（ad+bc）x+bd＝（ax+b）（cx+d）．通过观察可把acx2+（ad+bc）x+bd看作以x为未知数，a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数ac与常数项bd分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式2x2+11x+12的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则2x2+11x+12＝（x+4）（2x+3）．
根据阅读材料解决下列问题：
用十字相乘法分解因式：x2+6x﹣27；
（2）用十字相乘法分解因式：6x2﹣7x﹣3；
（3）结合本题知识，分解因式：20（x+y）2+7（x+y）﹣6．
22．请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务．
任务：
（1）若多项式x2﹣4x+k是一个完全平方式，则常数k＝ ；
（2）用配方法分解因式：x2﹣6x﹣7；
（3）当x为何值时，多项式﹣2x2﹣4x+3有最大值？并求出这个最大值．
23．阅读以下材料
材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1
解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2
再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）因式分解：（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1＝ ；
（2）因式分解：（a2﹣4a+2）（a2﹣4a+6）+4；
（3）求证：无论n为何值，式子（n2﹣2n﹣3）（n2﹣2n+5）+17的值一定是一个不小于1的数．
甲：a2﹣2ab﹣4+b2
＝（a2﹣2ab+b2）﹣4（分成两组）
＝（a﹣b）2﹣22（直接运用公式）
＝（a﹣b+2）（a﹣b﹣2）
乙：a2﹣ab﹣a+b
＝（a2﹣ab）﹣（a﹣b）（分成两组）
＝a（a﹣b）﹣（a﹣b）（提公因式）
＝（a﹣b）（a﹣1）．
教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．
例如：x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；2x2+4x﹣6＝2（x2+2x+1）﹣8＝2（x+1）2﹣8，则当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8．