安徽省芜湖市第一中学2024-2025学年高二上学期1月期末数学试题（原卷版）-A4

这是一份安徽省芜湖市第一中学2024-2025学年高二上学期1月期末数学试题（原卷版）-A4，共5页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时间：120分钟；满分：150分
第I卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若，，则（ ）
A. B. C. 5D. 10
2. 空间四边形中，，，，且，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 过点作直线的垂线，垂足为，则到直线距离的最小值为
A. B. C. D.
4. 已知等差数列满足，则（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
5. 若直线经过点，且点，到它的距离相等，则的方程为（ ）
A. B.
C. x=1或D. 或x=1
6. 与圆关于直线对称的圆的方程为，则等于（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
7. 如图，、是椭圆：与双曲线：的公共焦点，A、B分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是 （ ）
A. B. C. D.
8. 已知曲线，则下列结论中错误的是（ ）
A 曲线E与直线无公共点
B. 曲线E上的点到直线的最大距离是2
C. 曲线E关于直线对称
D. 曲线E与圆有三个公共点
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ）
A. 若非零向量，，满足，，则有
B. 任意向量，，满足
C. 若，，是空间的一组基底，且，则四点共面
D. 已知向量，，若，则为锐角
10. 已知曲线，则下列结论正确是（ ）
A. 若曲线C是椭圆，则其长轴长为B. 若，则曲线C表示双曲线
C. 曲线C可能表示一个圆D. 若，则曲线C中过焦点的最短弦长为
11. 如图，在棱长为的正方体中，分别为棱的中点，点为线段上的一点，则下列说法正确的是（ ）
A. 平面平面
B. 直线与所成角的余弦值为
C. 平面与平面夹角的余弦值为
D. 点到直线距离的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 过点且与圆相切的直线方程为________.
13. 已知正项数列中，，，，则数列前60项和______．
14. 如图，已知矩形中，，，现将沿对角线折成二面角，使，则异面直线和所成角为___________.
四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 如图，四棱锥的底面为平行四边形，且，是的中点．
（1）若，求的值；
（2）求线段的长．
16. 已知斜率且过点的直线与直线：相交于点．
（1）求以点为圆心且过点的圆的标准方程；
（2）求过点且与（1）中的圆相切的直线方程．
17. 如图1，在边长为2的菱形ABCD中，于点，将沿DE折起到的位置，使，如图2．
（1）求证：平面BCDE；
（2）求二面角的余弦值；
（3）在线段BD上是否存在点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
18. 已知椭圆C：的离心率为，其四个顶点构成的四边形面积为
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若P是C上异于A，B的一点，不垂直于x轴的直线l交椭圆C于M，N两点，
①证明：为定值；
②的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由．
19. “外观数列”(设各位上的数字均不为是指以下特点的整数序列：它以正整数开始，逐项地描述前一项的外观，将描述结果作为下一项．比如外观数列为：
第一项：
第二项：描述第一项为个
第三项：描述第二项为个个
第四项：描述第三项为个个个
第五项：描述第四项个个个．
（1）求“外观数列”的第三项和第五项；
（2）若从“外观数列”中随机选取一个数列，求该数列第二项小于第一项概率；
（3）证明：当是六位数时，“外观数列”从首项开始最多连续项单调递减．