2025-2026学年四川省成都市双流区棠湖中学九年级（上）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年四川省成都市双流区棠湖中学九年级（上）期中数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图所示三棱柱的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
2.下列方程中，是一元二次方程的是( )
A. 2x+1=0B. x2+1=0C. y2+x=1D. 1x+x2=1
3.如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是( )
A. ∠B=∠D
B. ABAD=ACAE
C. ∠C=∠AED
D. ABAD=BCDE
4.用配方法解方程x2−4x+3=0，下列配方正确的是( )
A. (x−2)2=1B. (x+2)2=1C. (x−2)2=7D. (x−2)2=4
5.如图，设△DEF缩小为原来的一半，操作方法如下：任意取一点P，连接DP，取DP的中点A，再连接EP、FP，取它们的中点B、C，得到△ABC，下列说法错误的是( )
A. △ABC与△DEF是位似图形B. △ABC与△DEF是相似图形
C. △ABC与△DEF的周长比是1：2D. △ABC与△DEF的面积比是1：2
6.如图，在平面直角坐标系内有一点P(3,4)，连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是( )
A. 45
B. 35
C. 43
D. 34
7.下列命题是真命题的是( )
A. 对角线相等的四边形是平行四边形B. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形
8.函数y=kx(k≠0)与函数y=kx−k在同一坐标系中的图象可能是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
9.已知2x=3y(y≠0)，则xy= .
10.如图，AB//CD//EF.若ACCE=12，BD=5，则DF= .
11.如果点(−1,y1)、B(1,y2)、C(2,y3)是反比例函数y=1x图象上的三个点，则y1、y2、y3的大小关系是______.
12.如图，在A时测得某树的影长为4米，B时又测得该树的影长为9米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为______米．
13.如图，在▱ABCD中，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F.分别以点F，B为圆心，大于12BF长为半径作弧，两弧交于点G，作射线AG交BC于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为______.
14.设m，n分别为一元二次方程x2+2x−2025=0的两个实数根，则m2+3m+n= .
15.在三张分别标有数字−1，−2，3的不透明卡片，它们除数字不同外其余均相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a后放回，再次洗匀从中任取一张，将数字记为b，则方程x2+ax+b=0有解的概率是______.
16.同学们学习了线段的黄金分割之后，曾老师提出了一个新的定义：点C是线段AB上一点，若BC nAC= nACAB=kn，则称点C为线段AB的“近A，n阶黄金分割点”．例如：若BC 2AC= 2ACAB=k2，则称点C为线段AB的“近A，2阶黄金分割点”；若BC 3AC= 3ACAB=k3，则称点C为线段AB的“近A，3阶黄金分割点”．若点C为线段AB的“近A，6阶黄金分割点”时，k6= .
17.在等边△ABC中，AB=6，点D、E分别是边BC和边AC上的动点，且满足BD=CE，连接AD和BE交于点O，连接OC，则OC的最小值是 .
18.已知点D、E都是双曲线y=kx(k>0)在第一象限内的点(点E在点D的右侧)，过点D作AD⊥y轴与过点E作EB⊥x轴的直线交于点C，连接DO并延长DO交双曲线于点F，连接EF，△DCE的面积用S1表示，△DEF的面积用S2表示，若ADDC=mn，则S1S2= (用含m和n的代数式表示).
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题12分)
(1)计算：sin45∘−|2− 2|+(π−1)0+(−12)−1；
(2)解方程：x2=3x.
20.(本小题8分)
双流某中学为了解九年级学生的体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级.请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
(1)本次抽样调查共抽取了______名学生，并补全条形图；
(2)若从体能为A等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，作为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率.
21.(本小题8分)
越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，已知测倾器的高度为1.6米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角∠MBC=33∘，在与点A相距3.5米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角∠MEC=45∘(点A，D与N在一条直线上)，求电池板离地面的高度MN的长．(结果精确到1米；参考数据sin33∘≈0.54，cs33∘≈0.84，tan33∘≈0.65)
22.(本小题10分)
如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC中点，过点O作EF⊥AC分别交边AB，CD于点E，F.
(1)求证：四边形AECF是菱形；
(2)当AF平分∠CAD时，且CF=5，DF=2，求AD的值．
23.(本小题10分)
已知：如图，反比例函数y=kx的图象与直线y=x+b交于点A(1,3)和点B.
(1)求反比例函数的解析式和点B的坐标；
(2)连接AO并延长AO交双曲线于点C，在双曲线上找点P(点P不与点C重合)使△ABP和△ABC的面积相等，求点P的坐标；
(3)点D在x轴的负半轴上，点E在平面内上，点Q(−4,3)，以点A、D、E、Q为顶点的四边形是菱形，请直接写出点E的坐标.
24.(本小题8分)
商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调査发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
(1)若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？
(2)设每件商品降价x元，则商场日销售量增加____件，每件商品，盈利____元(用含x的代数式表示)；
(3)在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？
25.(本小题10分)
已知：双曲线y=kx(k0，
∴−k0，
∴−ky3>y1
【解析】解：∵1>0，
∴反比例函数y=1x图象在一、三象限，并且在每一象限内y随x的增大而减小，
∵−10，
∴B、C两点在第一象限，
∴y2>y3>0，
∴y2>y3>y1.
故答案是：y2>y3>y1.
先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据各点横坐标的特点及反比例函数的性质进行解答即可
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及反比例函数的性质，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
12.【答案】6
【解析】解：根据题意，作△EFC；
树高为CD，且∠ECF=90∘，ED=4，FD=9；
易得：Rt△EDC∽Rt△FDC，
∴EDDC=DCFD；
即DC2=ED⋅FD，
代入数据可得DC2=36，
DC=6；
故答案为6.
根据题意，画出示意图，易得：Rt△EDC∽Rt△FDC，进而可得EDDC=DCFD；即DC2=ED⋅FD，代入数据可得答案．
本题通过投影的知识结合三角形的相似，求解高的大小；是平行投影性质在实际生活中的应用．
13.【答案】8
【解析】解：如图，设AE交BF于点O.
由作图可知：AB=AF，∠FAE=∠BAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠EAF=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE=AF，
∵AF//BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴OA=OE，OB=OF=3，
在Rt△AOB中，∵∠AOB=90∘，
∴OA= AB2−OB2= 52−32=4，
∴AE=2OA=8.
故答案为：8.
设AE交BF于点O.证明四边形ABEF是菱形，利用勾股定理求出OA即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
14.【答案】2023
【解析】解：设m，n分别为一元二次方程的两个实数根，
∴m2+2m=2025，m+n=−2，
∵m2+3m+n=(m2+2m)+(m+n)，
∴m2+3m+n=2025−2=2023.
故答案为：2023.
根据一元二次方程的根，可得m2+2m=2025，根据根与系数的关系得m+n=−2，将代数式变形得m2+3m+n=(m2+2m)+(m+n)，代入求值即可．
本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，代入求值，理解并掌握一元二次方程的解的含义，代入求值的方法是解题的关键．
15.【答案】23
【解析】解：画树状图如下：
共有9种等可能结果，能使a2−4b≥0的结果有：(−1,−1)、(−1,−2)、(−2,−1)、(−2,−2)、(3,−1)、(3,−2)这6种，
故方程x2+ax+b=0有解的概率为69=23；
故答案为：23.
画出树状图，共有9种等可能结果，能使a2−4b≥0的结果有6种，由概率公式即可得出答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；概率=所求情况数与总情况数之比．
16.【答案】 63
【解析】解：∵点C为线段AB的“近A，6阶黄金分割点”，
∴BC 6AC= 6ACAB=k6，
∴BC= 6k6AC，
∵点C是线段AB上一点，
∴AB=BC+AC= 6k6AC+AC，
∵ 6ACAB=k6，
∴ 6AC 6k6AC+AC=k6，
整理得： 6k62+k6− 6=0，
解得：k=− 62或k= 63，
经检验，k=− 62或k= 63是原方程的解，
但k=− 620)在第一象限内的点(点E在点D的右侧)，连接DO并延长DO交双曲线于点F，
∴OD=OF，D(m,km)，E(m+n,km+n)，
∴S2=2S△ODE，
∵S1=12CD⋅CE=12n⋅(km−km+n)=kn22m(m+n)，
12S2=S△ODE=S矩形OBC−S△AOD−S△BOE−S1=(m+n)⋅km−12k−12k−S1，
∴12S2+S1=(m+n)⋅km−k=knm，
∴12S2=knm−kn22m(m+n)=nk(2m+n)2m(m+n)，
∴S2=nk(2m+n)m(m+n)，
∴S1S2=kn22m(m+n)，⋅m(m+n)nk(2m+n)=n4m+2n.
故答案为：n4m+2n.
连接OE，设AD=m，CD=n，则AC=m+n，由题意可知OD=OF，则S2=2S△ODE，然后求得S1、S2，即可求得结果．
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，正确表示出相等的长度是解题的关键．
19.【答案】3 22−3；
x1=0，x2=3
【解析】(1)原式= 22−(2− 2)+1−2
= 22−2+ 2+1−2
=3 22−3；
(2)原方程整理得：x2−3x=0，
因式分解得：x(x−3)=0，
解得：x1=0，x2=3.
(1)利用特殊锐角三角函数值，绝对值的性质，零指数幂，负整数指数幂计算后再算加减即可；
(2)将原方程整理后利用因式分解法解得x的值即可．
本题考查解一元二次方程，实数的运算，熟练掌握解方程的方法及相关运算法则是解题的关键．
20.【答案】50；
16
【解析】(1)10÷20%=50(名)，
所以本次抽样调查共抽取50名学生，
C等级的人数为50−10−20−4=16(名)，
补全条形图为：
故答案为：50；
(2)画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中所抽取的两人恰好都是男生的结果数为2，
所以所抽取的两人恰好都是男生的概率=212=16.
(1)用A等级人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再计算出C等级人数，然后补全条形统计图；
(2)画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出所抽取的两人恰好都是男生的结果数，然后根据概率公式计算．
本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中找出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A.
21.【答案】解：延长BC交MN于点H，AD=BE=3.5米，
设MH=x米，
∵∠MEC=45∘，故EH=x米，
在Rt△MHB中，tan∠MBH=MHHE+EB=xx+3.5≈0.65，解得x=6.5，
则MN=1.6+6.5=8.1≈8(米)，
∴电池板离地面的高度MN的长约为8米。
【解析】设MH=x，∠MEC=45∘，故EH=x，则tan∠MBH=MHHE+EB=xx+3.5≈0.65，进而求解。
本题是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另外当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC，
∴∠FCO=∠EAO，∠CFO=∠AEO，
∵点O是对角线AC中点，
∴CO=AO，
在△CFO和△AEO中，
∠FCO=∠EAC∠CFO=∠AEOCO=AO，
∴△CFO≌△AEO(AAS)，
∴CF=AE，
∵CF//AE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形；
(2)解：由(1)得：四边形AECF是菱形，
∴∠FAC=∠BAC，
∵AF平分∠CAD，
∴∠DAF=∠FAC，
∴∠DAF=∠BAC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=CF+DF=5+2=7，AD=BC，∠ADF=∠ABC，
∴△ADF∽△ABC，
∴DFBC=ADAB，
即AD2=DF⋅AB=2×7=14，
∴AD= 14.
【解析】(1)由平行四边形的性质得出AB//DC，则∠FCO=∠EAO，∠CFO=∠AEO，再由AAS证得△CFO≌△AEO，得出CF=AE，则四边形AECF是平行四边形，再由对角线垂直的平行四边形是菱形即可得出结论；
(2)由菱形的性质与角平分线定义得出∠DAF=∠BAC，再由平行四边形的性质得出AB=CD=7，AD=BC，∠ADF=∠ABC，则△ADF∽△ABC，得出DFBC=ADAB，即可得出结果．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明△ADF∽△ABC是解题的关键．
23.【答案】反比例函数解析式为：y=3x；B(−3,−1)；
P(3,1)；
E(−32,6)或(−3,0)或E(−8,0)
【解析】(1)∵点A(1,3)在反比例函数y=kx的图象上，
∴k=1×3=3，
∴反比例函数解析式为：y=3x；
∵点A(1,3)在一次函数y=x+b图象上，
∴3=1+b，
解得b=2，
∴一次函数解析式为y=x+2，
联立方程组y=3xy=x+2，
解得x=1y=3，x=−3y=−1，
∴B(−3,−1)；
(2)如图，连接BO，延长BO交反比例函数图象于点P，
由反比例函数的中心对称图形性质可知：S△BOC=S△AOP，
∴S△ABC=S△ABP，
∵B(−3,−1)，
∴P(3,1)；
(3)如图，当线段AQ是菱形的对角线时，
∵A(1,3)，Q(−4,3)，
∴AQ//x轴，
由菱形性质可知OD=52−1=32，
∴D(−32,0)，
∴E(−32,6)；
当线段AQ是菱形的边时，如图，作AH⊥x轴，垂足为H，
∵A(1,3)，Q(−4,3)，
∴AQ=5，EH=4，
∴E(−3,0)，D(−8,0)，
∵点D在x轴的负半轴，点E是平面内一点，
∴D(−3,0)，E(−8,0)，
综上分析点E的坐标为E(−32,6)或(−3,0)或E(−8,0).
(1)利用待定系数法求出一次函数和反比例函数解析式，联立方程组求出点B的坐标即可；
(2)利用反比例函数图象的中心对称性质，直接找到满足题意的点P坐标即可；
(3)根据题意画出图形，分别求出满足条件的点E坐标即可．
本题考查了反比例函数的综合应用，熟练掌握菱形的性质是关键．
24.【答案】解：(1)当天盈利：(50−3)×(30+2×3)=1692(元).
答：若某天该商品每件降价3元，当天可获利1692元；
(2)2x；(50−x)；
(3)根据题意，得：(50−x)×(30+2x)=2000，
整理，得：x2−35x+250=0，
解得：x1=10，x2=25，
∵商城要尽快减少库存，
∴x=25.
答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元.
【解析】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出一元二次方程(或算式)是解题的关键．
(1)根据“盈利=单件利润×销售数量”即可得出结论；
(2)根据“每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件”结合每件商品降价x元，即可找出日销售量增加的件数，再根据原来每件盈利50元，即可得出降价后的每件盈利额；
(3)根据“盈利=单件利润×销售数量”即可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根据尽快减少库存即可确定x的值．
【解答】
解：(1)见答案；
(2)∵每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，
∴设每件商品降价x元，则商场日销售量增加2x件，每件商品，盈利(50−x)元．
故答案为2x；(50−x)；
(3)见答案.
25.【答案】k=−4，m=−2.
(−2,2)或(6−4 2,−6−4 2)或(6+4 2,−6+4 2).
2
【解析】(1)把点(2,m)代入直线y=x−4，m=−2.
又因(2,−2)在双曲线y=kx上，则−2=k2，k=−4.
故k=−4，m=−2.
(2)对于直线y=x−4和双曲线y=−4x，联立两解析式可得：−4x=x−4，
整理得：x2−4x+4=0，解得：x=2，此时y=−2，
故根据图象可以看出直线BC与双曲线的第四象限的这一支相切，切点M坐标为(2,−2).
根据平行四边形的性质，PQ//BC，
根据双曲线轴对称和中心对称的性质，结合▱BCPQ的面积是某个定值，且符合条件的点P有且只有三个，
可以得出：直线PQ与双曲线的第二象限的这一支相切或直线PQ与双曲线的第四象限的那支相交，这样符合条件的点P在第二象限只有一个，在第四象限有2个．
根据双曲线中心对称的性质，直线PQ在第二象限与双曲线相切时切点P与点M关于原点中心对称，则点P坐标为(−2,2).
如图直线PQ交x轴于点K.
根据双曲线的轴对称性质，OK=OB=4，BK=8，S△PCB=S△KCB=2S△OCB=16.
当点P在第四象限时，由于S△PCB=16，则点P到BC的距离和第二象限时点P到BC的距离相等．
根据直线平移的规律，PQ在第四象限时的解析式为y=(x−8)−4=x−12.
联立y=−4xy=x−12，解得：x=6−4 2y=−6−4 2或x=6+4 2y=−6+4 2，
故点P的坐标为(−2,2)或(6−4 2,−6−4 2)或(6+4 2,−6+4 2).
(3)设点A坐标为(−1,−k)，则点D坐标为(1,k)，
设直线BD的解析式为y=k1x+b1，把B、D两点坐标代入得：
k=k1+b10=4k1+b1，解得k1=−k3b1=4k3，
∴直线BD的解析式为y=−k3x+4k3.
联立直线BD和双曲线的解析式得：y=−k3x+4k3y=kx，解得x=1y=k或x=3y=k3.
∴点D坐标为(1,k)，点E坐标为(3,k3).
过点A、E分别向x轴作垂线，垂足为H、G，则AH//GE.
∴AHGE=FHFG，
∵AH=yA=−k，GE=−yE=−k3，GH=xG−xH=xE−xA=4.
∴FHFG=3，
∴FH=3，
∴OF=FH−OH=3−1=2.
(1)先把点(2,m)代入直线y=x−4求出m的值，再把(2,−2)代入双曲线表达式求得k值．
(2)根据题意先判定点P在双曲线第二象限只有一个位置，并根据双曲线的对称性求出该点坐标，然后根据直线平移规律求出点P在第四象限时直线PQ的解析式，与双曲线解析式联立即可求出点P在第四象限时的坐标．
(3)设点A坐标为(−1,−k)并得出点D坐标，然后根据待定系数法求出直线BD的解析式并与双曲线解析式联立求出D、E两点坐标，再通过构造AH//GE，根据平行线分线段成比例求出OF的长度．
本题考查了反比例函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，平行线四边形的性质，平行线分线段成比例等知识点，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解答本题的关键．
26.【答案】①在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=4，BC=3，
∴AB= AC2+BC2= 42+32=5，
∵D、E分别是AB、AC边的中点，
∴DE//BC，AE=12AC=2，AD=12AB=52，DE=12BC=32，
∴∠AED=∠ACB=90∘，
∵旋转，点E正好落在AB边上，
∴A，E，B三点共线，∠AED=∠BED=90∘，BE=AB−AE=5−2=3，
∴在Rt△BDE中，tan∠EBD=DEBE=323=12，
如图所示，过点E作EH⊥AC于点H，
∴sin∠CAB=BCAB=EHAE=35，cs∠CAB=ACAB=AHAE=45，
∴EH=35AE=35×2=65，AH=45AE=45×2=85，
∴CH=AC−AH=4−85=125，
∴在Rt△CEH中，tan∠HCE=EHCH=65125=12，
∴∠ACE=∠ABD；
②AF= 5；
CE的长为2+4 73
【解析】(1)①证明：在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=4，BC=3，
∴AB= AC2+BC2= 42+32=5，
∵D、E分别是AB、AC边的中点，
∴DE//BC，AE=12AC=2，AD=12AB=52，DE=12BC=32，
∴∠AED=∠ACB=90∘，
∵旋转，点E正好落在AB边上，
∴A，E，B三点共线，∠AED=∠BED=90∘，BE=AB−AE=5−2=3，
∴在Rt△BDE中，tan∠EBD=DEBE=323=12，
如图所示，过点E作EH⊥AC于点H，
∴sin∠CAB=BCAB=EHAE=35，cs∠CAB=ACAB=AHAE=45，
∴EH=35AE=35×2=65，AH=45AE=45×2=85，
∴CH=AC−AH=4−85=125，
∴在Rt△CEH中，tan∠HCE=EHCH=65125=12，
∴∠ACE=∠ABD；
②解：如图所示，过点F作FI⊥AB于点I，则FI//DE，∠IFE=∠DEF，
由①的计算得到BE=BC=3，
∴∠BCE=∠BEC，
∵∠ACE+∠BCE=90∘，∠BEC=∠FEI，∠IFE+∠IEF=90∘，
∴∠ACE=∠IFE，
∴tan∠ACE=tan∠IFE=tan∠IBF，即IEIF=IFBI=12，
设IE=x，则IF=2IE=2x，IB=2IF=4x，
∵IB=IE+BE=x+3，
∴x+3=4x，
解得x=1，即IE=1，
∴IF=2x=2×1=2，AI=AE−IE=2−1=1，
在Rt△AIF中，AF= AI2+IF2= 12+22= 5；
(2)解：如图所示，设AB，CE交于点P，
由旋转可知∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE+∠EAB=∠EAB+∠BAC，即∠DAB=∠EAC，
根据上述计算得到AEAC=ADAB=12，
∴∠DAB∽△EAC，
∴∠ACE=∠ABD，
∵∠ACP=∠FBP，∠APC=∠FPB，
∴△ACP∽△FBP，
∴APCP=FPBP，∠CAP=∠BFP，
又∵∠APF=∠CPB，
∴△APF∽△CPB，
∴∠AFP=∠CBP，
∵∠CAP+∠CBP=90∘，
∴∠BFP+∠AFP=90∘，即AF⊥BD，
∴∠AFB=∠AFD=90∘，
由上述计算得到∠AED=90∘，
∴A，E，F，D四点共圆，
设DE，AF交于点K，过点K作KL⊥AD于点L，过点A作AR⊥CE于点R，
∵AF平分∠DAE，
∴KE=KL，AK=AK，
∴Rt△AEK≌Rt△ALK(HL)，
∴AL=AE=2，DL=AD−AL=52−2=12，
设KE=KL=y，则KD=DE−KE=32−y，
在Rt△DKL中，DL2+KL2=DK2，即(12)2+y2=(32−y)2，
整理得，3y=2，
解得y=23KE=KL=23，
∴tan∠KAL=KLAL=232=13，
∵∠DAF=∠DEF，∠DEF+∠AER=∠AER+∠EAR=90∘，
∴∠DAF=∠DEF=∠EAR，
∴ERAE=13，
∴ER=13AE=23，则AR= AE2−ER2= 22−(23)2=4 23，
∴CR= AC2−AR2= 42−(4 23)2=4 73，
∴CE=CR+ER=4 73+23=2+4 73，
∴CE的长为2+4 73.
(1)①运用中位线的判定得到DE//BC，AE=12AC=2，AD=12AB=52，DE=12BC=32，结合旋转得到BE=3，在Rt△BDE中，tan∠EBD=DEBE=12，如图所示，过点E作EH⊥AC于点H，由解直角三角形的计算得到EH=65，CH=125，由此即可求解；
②如图所示，过点F作FI⊥AB于点I，则EI//DE，根据解直角三角形的计算得到IF=2IE，IB=2IF，列方程求解得到IE=1，IF=2，运用勾股定理即可求解；
(2)如图所示，设AB，CE交于点P，可证AF⊥BD，运用相似三角形，解直角三角形的计算，数形结合分析，分别计算出ER，CR的值即可求解．
本题主要考查相似三角形，解直角三角形，中位线，旋转等知识的综合运用，掌握以上知识，合理作图，正确运用解直角三角形的计算公式是解题的关键．