安徽省阜阳第一中学2022-2023学年高一下学期期末考试数学试题（解析版）-A4

这是一份安徽省阜阳第一中学2022-2023学年高一下学期期末考试数学试题（解析版）-A4，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据交集的定义计算可得.
【详解】因为，，
所以.
故选：B
2. 设为虚数单位，复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数除法运算法则化简复数，再由复数虚部的定义可得结果.
【详解】，虚部为.
故选：B.
3. 已知为定义在上的奇函数，当时，，则等于（ ）
A. －2B. 2
C. －8D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据奇函数的性质，可得的值，进而求出函数的解析式，再由得到答案.
【详解】因为为定义在上的奇函数，
所以，，
所以，
所以当时，，
所以.
故选：C.
4. 计算的值为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，进行构角，利用正切差角公式，再适当的变形即可求出结果.
【详解】因为，所以，交叉相乘得：
所以.
故选：B.
5. 设为两个随机事件，以下命题错误的为（ ）
A. 若是独立事件，，，则
B. 若是对立事件，则
C. 若是互斥事件，，，则
D. 若，，且，则是独立事件
【答案】C
【解析】
【分析】利用互斥公式、独立公式、对立公式满足的条件可以一一判断.
【详解】对于A：当是独立事件时，也是独立事件，，A正确；
对于B：当是对立事件时，，B正确；
对于C：当是互斥事件，，，则，C错；
对于D：，，故是独立事件，即是独立事件，D正确.
故选：C
6. 鹅被人类称为美善天使，它不仅象征着忠诚、长久的爱情，同时它的生命力很顽强，因此也是坚强的代表．除此之外，天鹅还是高空飞翔冠军，飞行高度可达9千米，能飞越世界最高山峰“珠穆朗玛峰”．如图是两只天鹅面对面比心的图片，其中间部分可抽象为如图所示的轴对称的心型曲线．下列选项中，两个函数的图象拼接在一起后可大致表达出这条曲线的是（ ）
A. 及B. 及
C 及D. 及
【答案】A
【解析】
【分析】根据图形的对称性与定义域特点选择合适的函数.
【详解】因为图形为轴对称图形，所以与对应的值相等，故函数为偶函数，只有A、C选项中函数均为偶函数，故排除B、D；
根据图象可知为封闭图形，的定义域有限，C中及定义域均为，不符合题意.
故选：A
7. 函数，且）最多有6个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数零点的定义结合函数与的图像性质，列式得出答案.
【详解】，则，
的最小正周期，
根据函数与的图像性质可得，
若函数，且）最多有6个零点，
当，则，解得，
当，则，解得，
故实数a的取值范围是，
故选：D.
8. 已知平面向量，，满足：，，夹角为，且.则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意知，可设，由向量的坐标运算可得，可转为在直线上取一点，使得最小，利用化曲为直的思想即可得到答案.
【详解】由题意知，可设，因为，夹角为，则点B在直线上，如图，

则，，
，
则的最小值可转化为在直线上取一点，使得最小，作点关于直线的对称点，则的最小值即为，
设点，则，解得，，
则，
故的最小值为.
故选：A.
【点睛】本题考查了向量的坐标运算及向量的几何意义，属于中档题.
二、多选题
9. 已知互不相同的两条直线，和两个平面，，下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，，，则
C. 若，，且，则
D. 若，，且，则
【答案】BD
【解析】
【分析】根据直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐项判断即可得答案.
【详解】对于A，若，，则或与异面，故A不正确；
对于B，根据面面垂直的性质定理可知，B正确；
对于C，若，，且，则或与相交，故C不正确；
对于D，若，，则，过作平面，使得，因为，所以，所以，因为，所以.故D正确.

故选：BD
10. 某中学高三学生500人，其中男生300人，女生200人，现希望获得全体学生的身高信息，按照分层抽样的原则抽取了容量为50的样本，经计算得到男生身高样本均值为171cm，方差为29cm2；女生身高样本均值为161cm，所有样本的方差为49cm2，下列说法中正确的是（ ）
A. 男生样本容量为30B. 每个男生被抽入到样本的概率均为
C. 所有样本的均值为167cmD. 女生身高的样本方差为19cm2
【答案】ACD
【解析】
【分析】直接考查简单随机抽样的概念，分层抽样的概念判断A，B，根据均值公式判断C；利用男生、总体方差数据计算女生方差数据，可得D正确．
【详解】解：对于A选项，因为按照分层抽样的原则抽取了容量为50的样本，
所以，样本中，男生人数为人，故男生样本容量为30，A选项正确；
对于B选项，根据分层抽样定义，每个男生抽到的概率均相等，为，故B错误；
对于C选项，因为容量为50的样本，男生身高样本均值为171cm，女生身高样本均值为161cm，所以，所有样本的均值为cm ，故C正确；
对于D选项，设男生分别为，平均数，，
女生分别为，，，，平均数，，
总体的平均数为，方差为，则
因为
，
而，
所以，
同理可得，
所以，解得，即女生身高的样本方差为19cm2，故D正确.
故选：ACD
11. 已知分别是内角的对边，，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由题知，，进而得，再结合题意得，进而令，将问题转化为，再结合二次函数性质求解即可.
【详解】解：因为，，
所以，
所以
因为，且，
因为，
所以，故A选项错误；、
所以，，
所以，，即，故B选项正确；
所以，
因为，
所以，
所以，
所以
令，
因为，所以，
所以，即，
所以，
所以，，
因为，
所以，即，故C正确，D错误.
故选：BC
12. 如图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 三棱锥外接球的表面积为9π
C. 点C到平面AEF的距离为
D. 平面AEF截正方体所得的截面面积为
【答案】BCD
【解析】
【分析】假设，推出，又不可能有即可判断A选项；先求出外接球球心，进而求得外接球半径，求出表面积即可判断B选项；由等体积法即可判断C选项；先判断出截面形状，再求截面面积即可判断D选项.
【详解】
对于A，取中点，连接，由于是的中点，，而平面，则平面，
又平面，，若，又，平面，平面，
又平面，则，但正方形中，是中点，不可能有，则A错误；
对于B，连接交于点，则是的外心，取中点，连接，则，
又底面，则底面，又底面，则，则，
又可得，则即为三棱锥外接球的球心，又，
则外接球半径为，则外接球表面积为，B正确；
对于C，连接，，则，
则，则，，底面，
设点C到平面AEF的距离为，由可得，解得，C正确；
对于D，连接，易得，则，又，
则平面AEF截正方体所得的截面即为等腰梯形，，
则等腰梯形的高为，则等腰梯形的面积为，即截面面积为，D正确.
故选：BCD.
三、填空题
13. 设．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据充分不必要条件列不等式求解．
【详解】．若是的充分不必要条件，则且两等号不能同时取到，解得．
故答案为：．
14. 已知，，，则向量与的夹角为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据平面向量夹角公式进行求解即可.
【详解】设向量与的夹角为，
因为，
所以.
故答案为：
15. 复数是关于的方程的一个根，则_________．
【答案】3
【解析】
【分析】由根与方程的关系可得，解得即可计算出结果.
【详解】由题意可得，将代入方程可得
，整理得；
由复数概念可得，解得，
所以.
故答案为：3
16. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数在上有且只有3个零点，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】首先根据图像平移得的解析式，然后将与代入得的解析式，通过恒等变换化简整理得，最后根据已知条件在存在三个零点得到满足的条件，解不等式组即可求出参数的取值范围.
【详解】由已知得，
，
令，则，
所以在上有且只有三个根，
分别为，，，接下来第四个根为
所以，解得，
所以的取值范围是，
故答案为：
四、解答题
17. 在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知.
（1）求B ；
（2）若△ABC的面积,a= 10，求sin AsinC的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用倍角公式和诱导公式变形可求得的值，即可求解；
（2）利用面积公式求出，利用余弦定理求出，再用正弦定理即可求解.
【小问1详解】
由题知，
，
，,
解得：或（舍去），
，.
【小问2详解】
△ABC的面积，
，即，
解得：，
由余弦定理得：，
即，
，
由正弦定理知：，
.
18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，E，F分别为SD、BC的中点.

（1）证明：平面SAB；
（2）若平面SAD⊥平面ABCD，且是边长为2的等边三角形，.求四棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析
（2）2
【解析】
【分析】（1）根据题意，取SA中点M，连接BM，EM，即可证明MEFB为平行四边形，再由线面平行判定定理即可证明；
（2）根据题意，取AD的中点N，连接SN，由线面垂直的判定定理即可得到SN⊥平面ABCD，再由三棱锥的体积公式即可得到结果.
【小问1详解】

证明：取SA中点M，连接BM，EM.
又E分别为SD的中点，
所以，且ME＝AD，
因为底面ABCD为菱形，F分别为BC的中点，
所以BF＝AD，，
所以，且ME＝BF.
所以MEFB为平行四边形.
所以.
又因为EF平面SAB，平面SAB，
所以平面SAB.
【小问2详解】

取AD的中点N，连接SN，
因为是边长为2的等边三角形，所以SN⊥AD，
因为平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，平面SAD，
所以SN⊥平面ABCD，
因为菱形ABCD中，，AD＝2，
所以，
因为SA＝AD＝SD＝2，N是AD的中点，易得SN＝.
所以三棱锥S﹣ABC的体积 V＝.
19. 某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)， [260，280)，[280，300]分组的频率分布直方图如图：
（1）求直方图中的的值
（2）估计月平均用电量的众数和中位数，第80百分位数．
（3）从月平均用电量在[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]内的四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，求从月平均用电量在[220，240)内的用户中应抽取多少户？
【答案】（1）
（2）众数、中位数、第80百分位数分别为230、224、253.33
（3）5
【解析】
【分析】（1）由各组数据频率之和即所有矩形面积之和为1可得答案；
（2）由直方图中最高矩形底边的中点得众数，在频率分布直方图中，中位数左边和右边直方图面积相等、第80百分位数左边面积占总面积的，据此可得答案；
（3）利用频率估计月平均用电量为的居民在四组中所占比例，即可得答案.
【小问1详解】
因直方图中，各组数据频率之和为所有矩形面积之和为1，
则，
得.
【小问2详解】
月平均用电量的众数是＝230.
因前3个矩形面积之和为.
前4个矩形面积之和为.
则中位数在内，设为，则，得，即中位数为224.
因为前4个矩形面积之和为，前5个矩形面积之和为，则第80百分位数在[240，260)内，
设第80百分位数为，则，解得，即第80百分位数约为253.33.
【小问3详解】
月平均用电量为的居民对应的频率为：.
又由（2）分析可知，月平均用电量为的四组居民对应频率之和为：.
则应抽取居民的户数为：.
20. 10月9日晚，2022年世界乒乓球团体锦标赛在中国成都落幕.中国队女团与男团分别完成了五连冠与十连冠的霸业.乒乓球运动在我国一直有着光荣历史，始终领先世界水平，被国人称为“国球”，在某次团体选拔赛中，甲乙两队进行比赛，采取五局三胜制（即先胜三局的团队获得比赛的胜利），假设在一局比赛中，甲队获胜的概率为0.6，乙队获胜的概率为0.4，各局比赛结果相对独立.
（1）求这场选拔赛三局结束的概率；
（2）若第一局比赛乙队获胜，求比赛进入第五局的概率.
【答案】（1）0.28
（2）0.432
【解析】
【分析】(1)根据题意，找出这场选拔赛三局结束事件，利用概率公式即可求解；
(2)先找出满足条件的基本事件，然后利用概率公式即可求解.
【小问1详解】
设“第i局甲胜”为事件，“第j局乙胜”为事件（i，，2，3，4，5），
记“三局结束比赛”，则，
∴
；
【小问2详解】
设“第i局甲胜”为事件，“第j局乙胜”为事件（i，，2，3，4，5），
记“决胜局进入第五局比赛”，则，
∴
.
21. 已知函数是定义在上的奇函数．
（1）求的值；
（2）判断函数在R 上的单调性，并用定义证明.
（3）是否存在实数，使得函数在区间上的取值范围是？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）是上的单调增函数，证明见解析
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）先利用奇函数的性质求出字母，然后检验；
（2）根据函数单调性定义证明即可；
（3）先假设存在，利用函数单调性结论得出两个等式，再结合两个等式的特点转化为一个方程，使用换元法可得一个一元二次方程两个不等正根的问题，结合一元二次方程根与系数关系即可求解.
【小问1详解】
因为函数是定义在上的奇函数，所以，
所以，
检验：因为，故满足题意
【小问2详解】
是上的增函数，证明如下：
设任意，，，
，
，∴，，，，
∴是上的单调增函数．
【小问3详解】
假设存在实数，使之满足题意．
由（2）可得函数在上单调递增，
∴，∴
∴，为方程的两个根，即方程有两个不等的实根．
令，即方程有两个不等的正根．
，∴
故存在，实数的取值范围为：
22. 如图①，在梯形中，，，，，分别是，上的点，，.沿将梯形翻折，使平面平面（如图②）.
（1）判断平面与平面的位置关系，并说明理由；
（2）作出二面角的平面角，说明理由并求出它的余弦值.
【答案】（1）平面平面，理由见解析
（2）图象见解析，理由见解析；余弦值为
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直的判定证明平面，进而得到平面平面；
（2）在平面中，过作且交于.在平面中，过作且交于，连接，根据线面垂直的性质，结合二面角的定义可判断即为二面角的平面角，再根据几何关系求解即可
【小问1详解】
平面平面，理由如下
在直角梯形中，，，
因为，故.
所以在折叠后的几何体中，有，，
而，故平面，又平面，
所以平面平面；
【小问2详解】
如图，在平面中，过作且交于.
在平面中，过作且交于，连接，
即为二面角的平面角，
因为平面平面，平面平面，平面，故平面，因为平面，故，
而，故平面，
又平面，故，
所以为二面角的平面角，
在平面中，因为，，
故，
又在直角梯形中，且，
故，故四边形为平行四边形，
故，，
在直角三角形中，，因为三角形内角，
故
故，故，
因为三角形内角，故
所以二面角的平面角的余弦值为
另解：
如图，在平面中，过作且交于.
在平面中，过作且交于，连接，
即为二面角的平面角，
因为平面平面，平面平面，平面，
故平面，
因为平面，故，而，
故平面，
又平面，故，
所以为二面角的平面角，
在平面中，因为，，
故，
又在直角梯形中，且，
故，故四边形为平行四边形，
故，
易知，所以
故
在中，
故
所以二面角的平面角的余弦值为