2022-2023学年安徽省阜阳市颍上第一中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年安徽省阜阳市颍上第一中学高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意先解出集合A,进而得到结果．

【详解】解：由集合A得,

所以

故答案选C.

【点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题．

2．已知存在量词命题，，则命题的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】根据特称命题的否定形式书写即可.

【详解】因为命题，，

则命题的否定为：，

故选：.

3．下列函数中，周期为的是（    ）

A．y＝sin B．y＝sin2x

C．y＝cos D．y＝cos(－4x)

【答案】D

【解析】根据周期公式求解即可.

【详解】根据公式

的周期为，故A错误；

的周期为，故B错误；

的周期为，故C错误；

的周期为，故D正确；

故选：D

【点睛】本题主要考查了求正弦型函数和余弦型函数的周期，属于基础题.

4．已知，则a、b、c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可；

【详解】解：因为，即，，即，，即，所以

故选：B

5．函数的零点所在的一个区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】将选项中区间的端点代入运算，然后利用零点存在性定理判断零点所在区间.

【详解】解：因为函数，所以，，

所以，

根据零点存在性定理，函数的零点所在的一个区间是，

故选：A.

6．函数的部分图像大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用函数的奇偶性和特殊区间的函数值确定正确选项.

【详解】的定义域为，，所以为奇函数，排除AB选项.

当时，，，由此排除C选项.

故选：D

7．医学家们为了揭示药物在人体内吸收､排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述.在该模型中，人体内药物含量x(单位：)与给药时间t(单位：)近似满足函数关系式，其中，k分别称为给药速率和药物消除速率(单位：).经测试发现，当时，，则该药物的消除速率k的值约为()（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】将，代入，得到，再解方程即可.

【详解】由题知：将，代入，

得：，化简得.

即，解得.

故选：A

8．已知且，若函数的值域为[1，+∞），则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先求出当时，的取值范围，再根据对数函数的单调性求出的值域，结合分段函数的值域即可求解.

【详解】由函数，

当时，，

当时，，若时，

函数单调递减，所以，

若时，函数单调递增，所以，

又因为分段函数的值域为[1，+∞），

所以，，

所以.

所以的取值范围是.

故选：D

二、多选题

9．下列关系式正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】由元素和集合之间的关系以及集合和集合之间的关系判断可得答案.

【详解】对于A选项，由于符号用于元素与集合间，是任何集合的子集，所以应为，A错误；

对于B选项，根据子集的定义可知，B正确；

对于C选项，由于符号用于集合与集合间，C错误；

对于D选项，是整数集，所以正确.

故选：BD.

10．已知，则下列不等式成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【解析】根据指数函数、对数函数的单调性进行判断.

【详解】解：因为，为减函数，

所以，

因为，为增函数，

所以，

又因为在区间上为减函数，在区间上也为减函数，

所以，同理可得，，

故选：ACD

【点睛】本题考查了比较大小的问题，主要考查运用初等函数的单调性判断大小的问题，熟记初等函数的单调性是关键.

11．已知，且，则下列结果正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】利用同角三角函数的基本关系求解即可.

【详解】因为，

且，所以所以，

故A正确；

，

且，所以所以，

B错误，C正确；

联立解得，

所以，故D正确；

故选:ACD.

12．函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．函数图象的对称轴为直线

C．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象

D．若在区间上的值域为，则实数的取值范围为

【答案】ABD

【解析】利用函数图象求出函数的解析式，可判断A选项的正误；解方程可判断B选项的正误；利用三角函数图象的平移规律可判断C选项的正误；由求出的取值范围，结合题意求出的取值范围，可判断D选项的正误.

【详解】对于A选项，由图可知，

设函数的最小正周期为，则，，，则，

由得，解得，

又，，，A正确；

对于B选项，由，得，B正确；

对于C选项，将函数的图象向左平移个单位长度，

得的图象，C错误；

对于D选项，由得，

由的图象可知，要使函数在区间上的值域为，

则，解得，D正确.

故选：ABD.

【点睛】思路点睛：根据三角函数的部分图象求函数解析式的步骤如下：

（1）求、，；

（2）求出函数的最小正周期，进而得出；

（3）取特殊点代入函数可求得的值.

三、填空题

13．已知一个扇形的面积为，圆心角为，则其半径为___________.

【答案】

【分析】利用扇形面积公式即可求得该扇形的半径

【详解】扇形的面积为，圆心角，设其半径为r,

则由，可得

故答案为：

14．已知或，，若是的充分不必要条件，则的取值范围是_______．

【答案】

【分析】依题意可得推得出，推不出，即可求出参数的取值范围；

【详解】解：因为是的充分不必要条件，所以推得出，推不出，

又或，，

所以，即；

故答案为：

15．已知函数（且）恒过定点，且满足，其中m，n是正实数，则的最小值__________．

【答案】9

【分析】根据对数函数的性质确定定点坐标，结合基本不等式“1”的妙用求最值即可.

【详解】解：函数，当时，，所以函数恒过定点，

所以，其中m，n是正实数，

所以，当且仅当时，即时等号成立，

则的最小值为.

故答案为：.

16．已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是_______

【答案】

【分析】画出函数图象，将问题转化为函数与有个交点，数形结合即可得解.

【详解】解：由函数，可得函数图象如下所示：

令，则，即与有个交点，

由图可知，实数的取值范围是．

故答案为：

四、解答题

17．（1）计算；

（2）求值：．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）根据诱导公式及特殊角的三角函数值即得；

（2）根据对数及指数的运算法则运算即得.

【详解】（1）原式；

（2）原式.

18．已知角满足.

(1)若角是第一象限角，求的值；

(2)若角是第三象限角，，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用同角三角函数基本关系先求得的值，进而求得的值；

（2）先利用三角函数诱导公式化简，进而求得的值.

【详解】（1）由题意和同角三角函数基本关系式，有，

消去得，

解得或，

又角是第一象限角，则．

（2）因为角是第三象限角，所以，

，

所以.

19．若定义在上的函数为奇函数.

（1）求的值；

（2）判断的单调性（无需证明），并求的解集.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）利用奇函数的性质，求后，再验证；

（2）利用函数的定义域和单调性，解抽象不等式.

【详解】（1）因为函数是定义在的奇函数，所以，

得，

此时，，

，满足函数是奇函数，所以成立；

（2）是减函数，

所以，解得：，

所以不等式的解集是

20．已知函数的最小正周期为.

(1)求的值；

(2)求函数的单调递减区间：

(3)若，求的最值.

【答案】(1)

(2)

(3)最大值为3，最小值为

【分析】（1）由最小正周期，求得，得到，再求；

（2）整体代入法求函数的单调递减区间；

（3）由的取值范围，得到的取值范围，可确定最值点，算出最值.

【详解】（1）由最小正周期公式得：，故，

所以，所以.

（2）令，解得，

故函数的单调递减区间是.

（3）因为，所以，

当，即时，的最大值为3，

当，即时，的最小值为.

21．某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x台机器人的总成本为万元，且.

(1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台机器人?

(2)现按（1）中的数量购买机器人，需要安排人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量为（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1000件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少多少?

【答案】(1)使每台机器人的平均成本最低，问应买150台机器人

(2)引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少155人

【分析】（1）由题意，整理每台机器人的平均成本的函数解析式，利用二次函数的性质以及基本不等式，比较大小，可得答案；

（2）根据每台机器人的日平均分拣量的函数，根据二次函数的性质，求得最值，进而求得引进机器人直线，所需人数，可得答案.

【详解】（1）由题意，每台机器人的平均成本，

当时，，易知该开口向上的二次函数的对称轴为直线，则此时，当时，；

当时，，当且仅当，即时，等号成立；

由，则使每台机器人的平均成本最低，问应买150台机器人.

（2）当时，，；令 易知该开口向下的二次函数的对称轴为直线，则此时，当时，，

由，则在上的最大值为，此时，即引进机器人后，日平均分拣量的最大值为（件）.

（人），（人）.

故引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少155人.

22．已知函数．

(1)若的图象与x轴的两个不同交点的横坐标分别为，，求的取值范围；

(2)若在上是减函数，且对任意的，，总有成立，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求得的范围，利用韦达定理代入，然后配方求得答案；

（2）在上是减函数求得的范围，转化为，求出、，然后解不等式可得答案．

【详解】（1）由题意可知方程有两个不相等的实数根，，

由韦达定理得，，

所以，解得或，

，

令，

则当时，，当时，，

所以，所以，即的取值范围为．

（2）函数图象的对称轴为直线，在上是减函数，

所以有，即，

又因为对任意的，，总有，

要使成立，则必有，

在区间上，在上单调递减，在上单调递增，

又，所以，，

所以有，即，解得，

综上，实数m的取值范围是．