安徽省阜阳市2023_2024学年高一数学下学期期中试题含解析

这是一份安徽省阜阳市2023_2024学年高一数学下学期期中试题含解析，共14页。试卷主要包含了本卷主要考查内容， 在中，，则， 如图，在中，为的中点，则， 已知i为虚数单位，复数，则， 在中，，则的面积可以是等内容，欢迎下载使用。
全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5.本卷主要考查内容：必修第一册，必修第二册第六章~第八章8.4.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合 ，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题知，对集合M，N进行转化，根据补集的概念求出，结合交集的运算求出.
【详解】由题意知，，
所以.
故选：B.
2. 计算的值（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用两角差的余弦公式计算可得.
【详解】.
故选：C．
3. 已知，在上的投影为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平面向量的数量积的几何意义，即可求解.
【详解】因为，在上的投影为，可得，所以.
故选：C.
4. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ）
A. B. 2C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】由函数为奇函数，有，代入函数解析式求值即可．
【详解】是定义在上的奇函数，当时，，
则．
故选：B．
5. 如图，为水平放置的斜二测画法的直观图，且，则的周长为（ ）
A. 9B. 10C. 11D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】
由斜二测画法的直观图与原图的关系，运算即可得解.
【详解】由直观图可得，在中，，且，
所以，
所以的周长为.
故选：D.
6. 在中，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知利用余弦定理可求的值，根据正弦定理可求的值．
【详解】∵，
∴由余弦定理可得：,
∴解得：，或（舍去），
∴由正弦定理可得：．
故选:B
7. 如图，在中，为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】运用平面向量线性运算及共线向量关系即可求解.
【详解】由题意知.
故选：C.
8. 如图，在梯形中，，，，，，以所在直线为轴将梯形旋转一周，所得的几何体的体积为（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】易得旋转形成的几何体为圆台，结合圆台体积公式计算即可得.
【详解】易得旋转形成的几何体为圆台，
所以.
故选：C.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知i为虚数单位，复数，则（ ）
A. 的共轭复数为B.
C. 为实数D. 在复平面内对应的点在第一象限
【答案】BD
【解析】
【分析】根据共轭复数的定义可判断A，根据模长的计算公式可判断B，根据复数的加法以及乘法运算即可判断CD.
【详解】对于A,故A错误，
对于B，则，故，故B正确，
对于C，为虚数，故C错误，
对于D，，对应的点为，故在复平面内对应的点在第一象限，故D正确，
故选：BD
10. 在中，，则的面积可以是（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】由余弦定理求出，再根据三角形的面积公式即可求出答案．
【详解】解：∵，
由余弦定理得，
∴，
∴，或，
∴由的面积公式得或，
故选：AD．
【点睛】本题主要考查三角形的面积公式的应用，考查余弦定理解三角形，属于基础题．
11. 已知函数（，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的解析式
B. 直线是函数图象一条对称轴
C. 在区间上单调递增
D. 不等式解集为，
【答案】ABD
【解析】
【分析】由图象结合五点法求得函数解析式，然后根据正弦函数的性质判断各选项．
【详解】对于A，由图知函数的最小正周期，所以，
所以，将点代入，得，
所以，解得，
又，所以，所以，故A正确；
对于B，当时，，故B正确；
对于C，当时，，
当时，取得最小值，所以区间上不单调递增，故C错误；
对于D，由，得，所以，，
解得，，故D正确．
故选：ABD．
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，则__________.
【答案】8
【解析】
【分析】根据题意，结合指数幂与对数的运算法则，准确计算，即可求解.
【详解】由函数，可得，
所以.
故答案为：.
13. 已知，且，则的最小值为______.
【答案】##
【解析】
【分析】由利用基本不等式求最值可得答案.
【详解】因为，所以，
又，所以，
所以，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为.
故答案为：.
14. 已知向量满足，若对任意的实数，都有，则的最小值为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】利用数量积与模的关系结合二次不等式恒成立计算得，再根据向量不等式计算即可.
【详解】因为，所以对任意的实数恒成立，
即，
所以，所以.
所以，
当且仅当与反向时等号成立，即的最小值为.
故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.
15. 已知复数满足，．
（1）求复数；
（2）求复数的实部和虚部．
【答案】（1）
（2）复数的实部为，虚部为.
【解析】
【分析】（1）设复数，由，列方程组可求出的值，即可求出复数.
（2）由复数的乘法运算即可求出，即可得到的实部和虚部.
【小问1详解】
设复数，则，由，解得：.
再由， ，解得：，故复数.
【小问2详解】
因为，，，复数的实部为，虚部为.
16. 已知向量，且.
（1）求的值；
（2）求向量与的夹角的余弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）运用平面向量垂直的坐标公式计算即可.
（2）运用平面向量夹角公式计算即可.
【小问1详解】
因为，，
所以，解得.
故的值为3.
【小问2详解】
由（1）知，，
所以，
所以，
所以.
故与的夹角的余弦值为.
17. 如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是，圆柱筒长.

（1）这种“浮球”的体积是多少?
（2）要在这样个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方厘米需要涂胶克，共需胶多少克？
【答案】（1）
（2）克
【解析】
【分析】（1）利用球和圆柱体积公式即可求解得到结果；
（2）结合球的表面积和圆柱侧面积公式可求得几何体的表面积，进而确定所需胶的质量.
【小问1详解】
该半球的直径，“浮球”的圆柱筒直径也是，，
两个半球的体积之和为，
又，
该“浮球”的体积是.
【小问2详解】
上下两个半球的表面积，
“浮球”的圆柱筒侧面积为，
个“浮球”的表面积为，
个“浮球”的表面积的和为，
每平方厘米需要涂胶克，共需要胶的质量为（克）.
18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角B；
（2）若为锐角三角形，，D是线段AC的中点，求BD的长的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理角化边，再用余弦定理边化角，即可求出角；
（2）由中线向量公式来计算中线长，再利用边化角得到中线与角的三角函数，再利用三角恒等变换，再结合锐角三角形得到角的范围，即可求出中线长的取值范围.
【小问1详解】
因为，由正弦定理得，
所以，
由余弦定理得，
又，所以；
【小问2详解】
因，所以．
因为D是线段AC的中点，所以，
所以，
由正弦定理得，所以，，
所以
,
又为锐角三角形，所以，解得，所以，
即，则，所以，
即，则BD的长的取值范围是．
19. 在中，内角的对边分别为，已知.
（1）求角；
（2）已知是边上的两个动点（不重合），记.
①当时，设的面积为，求的最小值；
②记.问：是否存在实常数和，对于所有满足题意的，都有成立？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）；
（2）①；②存在，.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理与和角公式将等式化成，由的范围得到，利用内角和即得；
（2）①设利用正弦定理分别求出,代入三角形面积公式，整理成，利用正弦函数的图象性质即可求得；
②假设等式成立，利用和差化积公式化简，代入，得到对于所有满足题意的成立，联立方程组计算即得.
【小问1详解】
由，和正弦定理可得，，
即，
移项得，，即，
因为,则有，
故，即，又，所以；
【小问2详解】
①因为，所以，又，所以.
如图，因，设则，
则在中，由正弦定理，得，所以，
在中，由正弦定理，得，所以，
，
因，则，故当，即时，；
②假设存在实常数，对于所有满足题意的，都有成立，
即都有，
由题意，代入整理得，对于所有满足题意的成立，
故有，从而有，即，
因为，所以.
即存在实常数，对于所有满足题意的，都有成立.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查与三角函数有关的含参数的等式恒成立问题，属于难题.
一般思路是通过参数整理，将等式整理成关于参数为整体的方程恒成立的形式，依题，使其系数和常数项都等于零，联立方程，最后根据方程组的解的情况进行分析判断.