人教版（2024）九年级下册反比例函数教学设计

这是一份人教版（2024）九年级下册反比例函数教学设计，共9页。教案主要包含了内容和内容解析，目标和目标解析，教学问题诊断分析，教学过程设计，教学反思等内容，欢迎下载使用。
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级下册第二十六章 反比例函数 26.1反比例函数，第1课时，内容包括：反比例函数.
2.内容解析
这一节是人教版九年级数学下册第二十六章第1节《反比例函数》第1课时的内容，本节知识体现了现实世界中事物的相互联系，是继一次函数学习之后又一类新的函数---反比例函数，它位居初中阶段三大函数中的第二，区别于一次函数，但又建立在一次函数之上，而又为以后更高层次函数的学习，函数、方程、不等式间的关系的处理奠定了基础。函数本身是数学学习中的重要内容，而反比例函数则是基础函数，因此，本节内容有着举足轻重的地位。
基于以上分析，本节课的教学重点是: 学生能理解反比例函数的概念，识别反比例函数的形式，会根据已知条件确定反比例函数的表达式.
二、目标和目标解析
1.目标
（1）学生能理解反比例函数的概念，识别反比例函数的形式，会根据已知条件确定反比例函数的表达式；
（2）通过对实际问题的分析、探究，培养学生观察、分析、归纳和概括的能力，经历从实际问题中抽象出反比例函数模型的过程，体会函数思想;
（3）让学生感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣，在探究活动中，培养学生的合作交流意识和勇于探索的精神.
2.目标解析
（1）教材由具体实际问题引入，并引导学生通过观察、比较、归纳等方法，发展学生的数学建模能力.通过小组讨论，培养合作精神，让学生在探索问题的过程中，体验解决问题的方法和乐趣，增强学习兴趣.
（2）培养学生对实际问题的理解和反比例函数定义的运用能力，体会利用反比例函数解决问题.
（3）鼓励学生在实践中探索，培养实验探究能力和解决问题的能力，激发学生对数学学习的兴趣，培养学生认真、严谨的学习态度和责任感，为后续数学学习打下坚实基础.
三、教学问题诊断分析
本节课是在学生学习了一次函数和二次函数的基础上，学习反比例函数，学生往往能背诵反比例函数的一般形式，但对于其本质特征，即两个变量的乘积是一个定值理解不深刻.九年级学生理性思维的发展趋于成熟，但是形象直观思维仍然占主导地位，但抽象思维能力理解还未完全成熟。本节课对于含参函数字母求解，学生容易忽略系数不为0的情况.
基于以上分析，本节课的教学难点为: 通过对实际问题的分析、探究，培养学生观察、分析、归纳和概括的能力，经历从实际问题中抽象出反比例函数模型的过程，体会函数思想.
四、教学过程设计
（一）情景导入
1.根据下列具体情景回答问题
(1)京沪线铁路全程为1463km，某次列车的平均速度v(单位：km/h)
随此次列车的全程运行时间t(单位：h)的变化而变化;
问1.(1)中有几个变量，变量之间具有函数关系吗？
(1)中有两个变量t与v，当一个量t变化时，另一个量v随着它的变化而变化，而且对于t的每一个确定的值，都有唯一确定的v值与其对应，所以变量间具有函数关系.
问2.你能写出(1)中的函数解析式吗？解析式为：v=1463t
(2)某住宅小区要种植一个面积为1000m2的矩形草坪，草坪的长y(单位：m)
随宽x(单位：m)的变化而变化;
问3.(2)中有几个变量，变量之间具有函数关系吗？如果有请写出函数解析式.
(2)中有两个变量y与x，当一个量x变化时，另一个量y随着它的变化而变化，而且对于x的每一个确定的值，都有唯一确定的y值与其对应，所以变量间具有函数关系,解析式为：y=1000x.
(3)已知北京市的总面积为1.68×104平方千米，人均占有的土地面积S(单位：平方千米/人)随全市总人口n(单位：人)的变化而变化.
问4.(3)中有几个变量，变量之间具有函数关系吗？如果有请写出函数解析式.
(3)中有两个变量s与n，当一个量n变化时，另一个量s随着它的变化而变化，而且对于n的每一个确定的值，都有唯一确定的s值与其对应，所以变量间具有函数关系,解析式为：S=1.68×104n.
【设计意图】通过由实际问题引入，激发学生学习兴趣，让学生明白数学来自生活，服务于生活，倡导学有用的数学.
（二）新知探究
问5.观察v=1463t， y=1000x， S=1.68×104n这三个函数解析式有什么共同点？
上面的函数解析式，右边都具有分式的形式，其中分子是常数。
一般地，形如y=kx(k为常数且k≠0)的函数称为反比例函数. 其中x是自变量，y是函数，k叫比例系数.
问6.反比例函数y=kx(k≠0)的自变量x的取值范围是什么？
自变量x的取值范围是不等于０的一切实数.
问7.反比例函数除了可以用y=kx(k≠0)的形式表示，还有没有其他表达方式？
反比例函数的三种表达方式：(注意k ≠ 0)
一般式y=kx
负指数形式y=kx−1
乘积形式xy=k
【设计意图】从具体实例出发，让学生通过观察，归纳得到反比例函数的一般形式，从而理解反比例的定义，知识生成自然.
（三）典例讲解
例1.下列哪些关系式中的y是x的反比例函数，如果是，请指出k的值．
(1)y=−3x
(2)xy=2
(3)y2x=1
(4)y=−53x
(5)y=3x−1
(6)y=1x2
(7)y=1x−1
(8)y=−1πx
解(1)是，k=−3
(2)是，k=2
(3)不是，y=2x是正比例函数
(4)是，k=−53
(5)是，k=3
(6)不是
(7)不是
(8)是，k=−1π
例2.已知y是x的反比例函数，并且当x=2时，y=6.
(1)写出y关于x的函数解析式;
(2)当x=4时，求y的值.
解:(1) 设y=kx,
∵当x=2时，y=6，∴6=k2
解得:k=12.
(2)把x=4代人y=12x，得y=124=3
用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤是：
（1）设，即设所求的反比例函数解析式为y=kx（k≠0）．
（2）代，即将已知条件中对应的x、y值代入y=kx中得到关
于k的方程．
（3）解，即解方程，求出k的值．
（4）定，即将k值代入y=kx中，确定函数解析式．
例3.(1)已知函数y=4x2m−2是反比例函数，求m的值.
(2)已知函数y=(a+1)xa−2是反比例函数，求a的值.
(3)已知y是x的反比例函数,其解析式为xm2−8y=m−3，求m的值.
解:(1)由题意可得：2m−2=1,解得m=1.5
(2)由题意可得：a+1≠0a−2=−1,解得:a=1
(3)由题意可得：m2−8=1m−3≠0,解得：m=−3
求解析式中参数的取值方法总结：
①确定反比例解析式的表达形式；
②根据不同形式确定系数和自变量的指数；
③建立方程求解；
④检验：主要考虑系数不为0.
例4.已知y与x+1成反比例，并且当x=3时，y=4.
(1)写出y关于x的函数解析式；
(2)当x=7时，求y的值．
解:(1)设y=kx+1
∵当x=3时，y=4,∴4=k3+1解得：k=16
∴y关于x的函数解析式为:y=16x+1
(2)当x=7时,代入解析式的y=167+1=2
【设计意图】通过例题讲解让学生深刻理解反比例函数的概念，并利用函数的概念解决问题.
（四）针对训练
1.下列的数表中分别给出了变量y与x之间的对应关系，其中有一个表示的是反比例函数的是( D )
A. B.
C. D.
反比例函数:变量乘积一定=k
2.点A(-3，-4)在反比例函数y=kx(k≠0)上,则下列各点在此函数图象上的是( B ).
A.(3,4) B.(-2,-6) C.(-2,6) D.(3,-4)
3.已知反比例函数y=18x,当x=6时，y=_3__;当x= −9 ，y=−2.
4.已知点A(x1,y1)和B (x2,y2)都在y=6x的图像上，若x1×x2=4，则y1×y2=____9_____
5.已知函数y=2m2+m−1x2m2+3m−3是反比例函数，求m的值.
解：∵ y=2m2+m−1x2m2+3m−3是反比例函数，
∴2m2+m−1≠02m2+3m−3=−1
∴解得m=−2
6.已知y=y1+y2，其中y1与x2成正比例，y2与x−1成反比例．当x=2时，y=2；当x=−1时，y=2，
(1)求y关于x的函数解析式．
(2)求x的取值范围．
(3)当x=3时，求y的值
解：(1)设y1=k1x2,y2=k2x−1k1≠0,k2≠0，
∴y=y1+y2=k1x2+k2x−1，
∵当x=2时，y=2；当x=−1时，y=2，∴2=4k1+k22−12=k1+k2−1−1，解得：k1=1k2=−2；
∴y关于x的函数解析式为y=x2−2x−1．
(2)∵y关于x的函数解析式为y=x2−2x−1，
∴x的取值范围为：x≠1.
(3)当x=3时，y=32−23−1=8
【设计意图】通过针对训练让学生进一步熟练掌握反比例函数的概念并运用概念解决问题.
（五）拓展探究
1.如图，半圆O的直径AB=10cm，射线AM和BN是它的两条切线，D点在射线AM上运动（且不与点A重合），E点在半圆O上，满足DE=AD，连接DE并延长交射线BN于点C．

(1)求证：CD是半圆O的切线；
(2)设AD=xcm，BC=ycm．
①写出y与x的关系式；
②若CD=10cm，求阴影部分的面积．
证明(1)：连接OE，OD，OC，如图，

∵射线AM是半圆O的切线，E点在半圆O上，
∴DA⊥AB，OA=OE，
∵DE=AD，OD=OD，
∴△OAD≌△OEDSSS．
∴∠DAO=∠DEO=90°，
∴CD是半圆O的切线；
（2）解(2)：①过点D作DF⊥BC于点F，如图，

∵CD、BN是半圆O的两条切线，
∴CE=CB=ycm，
∵DA⊥AB，CB⊥AB，DF⊥BC，
∴四边形ADFB为矩形，
∴BF=AD=xcm，DF=AB=10cm．
∴CF=CB−BF=y−xcm，CD=DE+EC=x+ycm．
在Rt△CDF中，
∵DF2+CF2=CD2，
∴102+y−x2=x+y2，
∴xy=25．
∴y与x之间的函数关系式为y=25x；
②当CD=10cm时，
∵DF=AB=10cm，
∴FD与CD重合，此时四边形ABCD为矩形，
连接OE，则四边形OECB为正方形，如图，

∴∠EOB=90°，OE=OB=12AB=5cm，
∴S阴影=2(S正方形OBCE−S扇形OBE)=2×52−2×90π×52360=50−25π2cm2．
【设计意图】通过此题练习培养学生分析问题，发现问题和综合解决问题的能力从而培养学生勇于探索、敢于创新的精神，体验数学活动中的探索性.
（六）当堂巩固
1.下列函数中，其中y是关于x的反比例函数的是（ D ）
A．y=−x+1x B．y=xk(k≠0)C．y=1xD．y=24x
2.在平面直角坐标系中，下列各点在双曲线y=−6x上的是（ A ）
A．3,−2 B．2,3 C．−2,−3 D．−6,−1
3.点A(-4，2)在反比例函数y=kx(k≠0)上,则k=_-8__.
4.已知函数y=m2+2mxm2+m−1是反比例函数，求m的值.
解：∵y=m2+2mxm2+m−1是反比例函数，
∴m2+2m≠0m2+m−1=−1
∴解得m=−1
5.已知函数y=m+n,其中m与x+1成正比例,n与x+1成反比例,且当x=0时,y=−5;当x=2时，y=−7.
(1).求y与x的函数关系式.
(2).若点P(−6,a)在此函数图象上，求点P的坐标.
解(1)：设m=k1(x+1),n=k2x+1
∵函数y=m+n,∴y= k1x+1+k2x+1
∵当x=0时,y=−5;当x=2时，y=−7 ，
∴−5=k1+k2−7=3k1+k23,∴解得k1=−2k2=−3
∴ y与x的函数关系式为：y=−2x−2−3x+1
(2)：∵ y与x的函数关系式为：y=−2x−2−3x+1
∴当x=−6时代入可得
y=−2×−6−2−3−6+1=535,
∴点P的坐标为(-6, 535,)
【设计意图】通过此题练习巩固学生对本节课所学知识的掌握和理解，并利用所学知识解决问题.
（七）课堂小结
【设计意图】通过课堂小结，使学生对本节课的知识有一个系统的回顾和认识，进而形成一个清晰的脉络，加深学生对本节课知识的理解与掌握．
（八）布置作业
P3 练习1、2、3题.
五、教学反思