黑龙江省鸡西市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷（Word版附解析）

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考生注意：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：必修第二册.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知某正四棱锥的高为3，体积为64，则该正四棱锥的底面边长为（ ）
A. 9B. 8C. 6D. 4
3. 某型号新能源汽车参加碰撞测试和续航测试，该型号新能源汽车参加这两项测试的结果相互独立.若该型号新能源汽车在碰撞测试中结果为优秀的概率为，在续航测试中结果为优秀的概率为，则该型号新能源汽车在这两项测试中至少有1次测试结果为优秀的概率为（ ）
A B. C. D.
4. 已知，，是非零向量，则“”是“”的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 已知，，且，的夹角为，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知三棱锥中，，，，E，F分别是PA，BC的中点，则EF与AB所成的角大小为（ ）
A B. C. D.
7. 如图，某区域地面有四个5G基站，分别为，，，.已知，两个基站建在河的南岸，距离为，基站，在河的北岸，测得，，，，则，两个基站的距离为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在长方体中，，E，F分别为BC，的中点，点P在矩形内运动（包括边界），若平面AEF，则动点P的轨迹长度为（ ）
A. 2B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. “体育强则中国强，国运兴则体育兴”，为备战2024年巴黎奥运会，运动员们都在积极参加集训.已知某射击运动员在一次集训中7次射击的分数分别为：，，，，，，，则这组数据的（ ）
A. 平均数为9B. 众数为9
C. 第70百分位数为10D. 方差为
10. 已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，，则
C. 若，，，则D. 若，，则
11. 已知内角，，的对边分别为，，，，，，点为的外接圆圆心，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若复数，则______.
13. 设，向量，，且，则____________；当时，的取值范围为____________．
14. 已知正三棱柱的棱长均为2，点M是棱上（不含端点）的一个动点，若点M，A，，C均在球O的球面上，则球O体积的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知复数（是虚数单位），.
（1）若是纯虚数，求的值；
（2）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围.
16. 在中，内角，，所对的边分别为，，，的外接圆半径为，.
（1）求；
（2）已知，是边的中点，且，求的长.
17. 增强青少年体质，促进青少年健康成长，是关系国家和民族未来的大事.某高中为了解本校高一年级学生体育锻炼情况，随机抽取每天体育锻炼时间在（单位：分钟）的50名学生，统计他们每天体育锻炼的时间作为样本并绘制成如下的频率分布直方图，已知样本中体育锻炼时间在的有5名学生.
（1）求，的值；
（2）估计这50名学生每天体育锻炼时间的平均值；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
（3）若从样本中体育锻炼时间在及的学生中用分层抽样的方法随机抽取6人，再从抽取的6人中随机抽取2人，求2人中恰有1人的体育锻炼时间在的概率.
18. 如图，正方形的边长为6，E是的中点，F是边上靠近点B的三等分点，与交于点M．
（1）求的值；
（2）已知点P是正方形四条边上的动点，若，求的长度．
19. 如图，四棱锥底面ABCD是正方形，是正三角形，平面平面ABCD，M是PD的中点.
（1）求证：平面MAC；
（2）求二面角的余弦值；
（3）在棱PC上是否存在点Q使平面平面MAC成立？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由.