黑龙江省鸡西市2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题（Word版附解析）

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考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4．本卷命题范围：集合，常用逻辑用语与不等式，函数的概念与基本初等函数，导数，三角函数，解三角形.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】由存在量词命题的否定求解.
【详解】由存在量词命题的否定知，
， 否定为：，.
故选：D
2. 函数的最小正周期为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由函数的最小正周期为 直接求解即可.
【详解】由，得到函数的最小正周期为.
故选：B
3. 函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由二次根式及分式的性质，列出不等式组，求解即可.
【详解】由题意，，解得且，的定义域是．
故选：C．
4. 已知x，y为实数，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】分充分性、必要性两方面说明即可求解.
【详解】当时，x，y同号，所以，所以“”是“”的充分条件；
若时，，此时，所以“”不是“”的必要条件，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
5. 若函数满足，则的值为（ ）
A. B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】求解导函数，再赋值，解关于的方程可得.
【详解】由，得，
则，解得，
故选：C
6. 若函数的减区间为，则的值为（ ）
A. 3B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，求得，结合的解集为，列出方程组，即可求解.
【详解】由函数，可得，
因为函数的减区间为，即不等式的解集为，
所以，且，解得，
所以且，解得.
故选：A.
7. 若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（ ）
A. B. 4C. 5D.
【答案】B
【解析】
【分析】由不等式恒成立，确定，且，再由基本不等式即可求解.
【详解】当时，不可能对任意的恒成立，不满足要求，
当时，开口向下，不满足题意，
所以，
令，得，
当时，不等式对任意的恒成立，
所以，即，且，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为4.
故选：B.
8. 如图，在扇形OAB中，半径，弧长为，点是弧AB上的动点，点分别是半径上的动点，则周长的最小值是（ ）

A. B. 4C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用弧长公式可得，再根据对称性分别作点关于直线，的对称点，，再利用余弦定理可得结果.
【详解】连接，作点关于直线的对称点，关于直线的对称点，
连接分别交，与点，连接如下图所示：

则,,
此时的周长取得最小值，其最小值为的长度；
因为扇形OAB的弧长为，半径为2，所以；
根据对称性可知，
在中，由余弦定理可得，
所以.
即周长的最小值是.
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列函数中，在区间上单调递减的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】去掉绝对值符号后可判断A的正误；根据复合函数单调性：同增异减，即可判断BCD.
【详解】对于A，函数，所以在上单调递减，故A正确；
对于B，函数在上单调递增，函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增，故B错误；
对于C，函数在上单调递增，函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增，故C错误；
对于D，函数在上单调递减，函数在上单调递增，
所以函数在上单调递减，故D正确.
故选：AD.
10. 已知点位于角的终边上，则（ ）
A. 锐角
B.
C.
D. 是奇函数
【答案】BD
【解析】
【分析】根据象限角以及终边相同的角的定义即可求解A，根据三角函数的定义即可求解B，结合和差角公式即可求解CD.
【详解】对于A，是第一象限角，不一定是锐角，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，由于，，故，C错误；
对于D，
，故是奇函数，D正确，
故选：BD
11. 已知定义域为的函数满足，为奇函数，，则（ ）
A. 8是一个周期B. 为偶函数
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】通过已知等式得函数的对称性、周期性，再借助性质赋值（式）求解可得.
【详解】由，得，
则，即函数图象关于对称；
因为为奇函数，所以，
则，即函数图象关于中心对称.
A项，由对称性可知，，
所以，即，
所以，
则是的一个周期，故A正确；
B项，由对称性与周期性可知，，
所以是偶函数，故B正确；
C项，，得，
所以，故C错误；
D项，由周期性和，得，
所以，同理，
由，得，
所以，则，
所以，
故D正确
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知偶函数满足：当时，，则______.
【答案】18
【解析】
【分析】根据偶函数的性质，结合对数运算，可得答案.
【详解】因为为偶函数，所以.
故答案：.
13. 已知是锐角，，则_________.
【答案】##-0.5
【解析】
【分析】利用两角差的正切公式以及二倍角公式即可求解.
【详解】已知是锐角，所以，由，解得：tanα=13(负值已舍去)，
则;
故答案为：
14. 若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】函数恰有两个零点，等价于有两个实数根，设，，利用导数研究函数单调性，作出函数图象通过数形结合求解.
【详解】令，得，
即，令，，
所以函数恰有2个零点等价于函数的图象与的图象有两个交点.
，令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
且时，时，
所以的图象如图所示，
设是经过点的的图象的切线，切点为，
则切线斜率为，
所以的方程为，
又经过点，所以，
即，解得或，
或，
所以由图可知，当或，
即或时，函数的图象与的图象有两个交点，
即函数恰有2个零点，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将函数恰有2个零点转化为函数的图象与的图象有两个交点，数形结合求解.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15 已知集合或，．
（1）求，；
（2）若，且，求实数k的取值范围．
【答案】（1）或，
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出集合，再利用并集的定义求出，根据补集的定义求出；
（2）根据集合包含关系，分和两种情况讨论，列不等式组求出实数k的取值范围．
【小问1详解】
集合，
或或，
．
【小问2详解】
，，
由（1）知，，
当集合时，需满足，无实数解；
当时， 需满足，解得，
实数k的取值范围是．
16. 在中，角的对边分别为，已知.
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，求边的大小.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理结合三角变换公式可得，故可求的值.
（2）根据面积可求，再根据余弦定理可求.
【小问1详解】
由正弦定理与，得.
所以即.
因为，所以，又，所以，
又，所以.
【小问2详解】
因为的面积为，
所以，即，解得.
由余弦定理，得，所以.
17. 已知函数的图象过点和点．
（1）求实数的值；
（2）写出的定义域，并求的值域．
【答案】（1）
（2）的定义域为；值域为.
【解析】
【分析】（1）根据题意列出方程组求解即可；
（2）根据法则求出定义域，利用基本不等式求值域.
【小问1详解】
由，得，，，
上两式联立，解得，.
【小问2详解】
由（1）知，故，得，
所以的定义域为；
，时，，
因为，当且仅当时取等号，
所以，即，
所以的值域为.
18. 已知函数，将的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数.
（1）若，求的值域；
（2）若，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）通过三角函数恒等变换化简 ，然后根据平移和偶函数的性质求解得；
（2）根据解得，然后结合公式求解；
【小问1详解】
，
设将的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为，
则，
由题意得为偶函数，所以，
解得，
又，所以，所以.
当时，，
所以，
所以，即的值域为.
【小问2详解】
因为，
所以，即，
所以，即，
又，
所以.
所以.
19. 已知函数．
（1）证明：的图象与轴相切；
（2）设．
（i）当时，求函数的单调区间；
（ii）若在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）（i）分类讨论，答案见解析；（ii）.
【解析】
【分析】（1）由导数确定单调性，并求出在最高点处切线是轴，即证；
（2）（i）求出导函数，根据的零点的大小分类讨论确定单调区间；（ii）转化为，引入函数，由导数求得它的最小值即可得结论．
【小问1详解】
的定义域为，
所以，令，解得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
又，所以曲线在处的切线方程为，即的图象与轴相切．
【小问2详解】
（i），
．
当时，由，解得或；由，解得，
所以函数在（0，1）和上单调递增，在上单调递减；
当时，由，解得或；由，解得，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减；
当时，由，得函数在上单调递增；
当时，由，解得；由，解得，
所以函数在上单调递增，在（0，1）上单调递减．
综上，当时，函数的单调增区间为（0，1）和，减区间为；
当时，函数的单调增区间为和，减区间为；
当时，函数的单调增区间为，无减区间；
当时，函数的单调增区间为，减区间为（0，1）．
（ii）在上恒成立可转化为，
设，则．
令，则，
所以函数在上单调递减，
又，，则函数在内存在唯一的零点，
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增，
又，得，
则，
所以，即实数的取值范围为．
【点睛】方法点睛：用导数研究不等式恒成立问题，主要是用导数研究函数的单调性一，求得最值，如（含有参数）恒成立，一种直接求出的最小值，由最小值不小于0得参数范围；第二种方法是分离参数为，求出的最大值，然后由得范围．