2025-2026学年福州市第十六中学教育集团八年级上学期期中考试数学试题（含答案）

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（满分：150分 完成时间：120分钟 考试形式：闭卷）
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分；每小题只有一个正确答案）
1. “二十四节气”是中华农耕文明的智慧结晶，下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟记轴对称图形的概念是做题的关键；“如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形”，由此逐项判断即可．
【详解】解：、 不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、 不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、 不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、 是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：．
2. 下列变形是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式乘积的形式，根据因式分解的定义解答即可．
【详解】解：A．，是整式乘法运算，不是因式分解，故选项A不符合题意；
B．，等式右边不是整式乘积的形式，故选项B不符合题意；
C．，从左到右的变形是因式分解，故选项C符合题意；
D. ，等式右边不是整式乘积的形式，故选项D不符合题意．
故选：C．
3. 如图，和相交于点O，，若用“”证明，则还需添加（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：．根据两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，由此即可得到答案．
【详解】证明：在和中，
，
，
用“”证明，则还需添加
故选：
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据幂的运算法则即可求解．
【详解】A.，故错误；
B.，正确；
C. ，故错误；
D. ，故错误；
故选B．
【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键熟知其运算法则．
5. 若，则满足的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了零指数幂，根据零指数幂的定义，底数不为零时，零次幂等于1，因此，成立的条件是 ，即．
【详解】解：∵ 零指数幂的定义：当时，，
∴ 成立的条件是，即。
因此，满足的条件是．
故选：C．
6. 已知，，则的值是（ ）
A. 10B. 8C. 6D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查同底数幂的除法，根据同底数幂的除法，将表示为，然后代入已知值求解．
【详解】解：∵ ，且，，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
7. 如图所示，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．根据线段的垂直平分线的性质得到，，然后根据周长的计算方法可得结论．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，，
∵的周长为，即，
∴，
∴，
即的周长为．
故选：C．
8. 如图，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，面积分别是和，两正方形的面积和，已知，则图中阴影部分面积为（ ）

A. B. 8C. 6D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式在图形面积中的应用．设正方形的边长为，正方形的边长为，可得，，利用完全平方公式即可求解．
【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为，
则：，，
由得：，
解得：，
图中阴影部分面积为：，
故选：C．
9. 若的边a，b满足式子：，则第三边的长可能是（ ）．
A. 2B. 5C. 7D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】根据得到，确定a，b的值，根据三角形三边关系定理计算判断即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴第三边x的取值范围是，
故选B．
【点睛】本题考查了完全平方公式，实数的非负性，三角形的三边关系定理，熟练掌握实数的非负性，完全平方公式是解题的关键．
10. 如图，边长为4的等边，是边的中点，点是线段上的动点，连接，在的右侧作等边，连接，，，给出如下结论：①；②；③；④的周长最小值为6；⑤当周长最小时，；⑥的大小随着点的移动而变化；上述结论中正确的有（ ）个
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】根据三线合一定理即可判断①；证明是线段垂直平分线，得到，再由等边三角形的性质证明，即可判断②③；根据点到直线的距离垂线段最短可知当即D与F重合时，最小，即此时的周长最小，即可判断④；证明，得到即可判断⑥；则即点E在射线（射线）上运动，如图所示，作点A关于直线的对称点M，连接，推出当三点共线，即点E与点重合 时，最小，即的周长最小，证明是等边三角形，推出，即可判断⑤．
【详解】解：∵是等边三角形，F是边中点，
∴，故①正确；
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，故③正确；
∴，故②正确；
∵D在线段上，
∴当即D与F重合时，最小，即此时的周长最小，
∵等边三角形的边长为4，F是边的中点，
∴，
∴的周长的最小值为，故④正确；
∵都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，故⑥错误；
∴，即点E在射线（射线）上运动，
如图所示，作点A关于直线的对称点M，连接，
∴，
∴的周长，
∴当三点共线，即点E与点重合 时，最小，即的周长最小，
∵点A与点M关于对称，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
又∵F是边的中点，
∴，
∴，故⑤错误；
∴正确的一共有4个，
故选B．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，轴对称的性质等等，确定点E的运动轨迹是解题的关键．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11. 点关于y轴的对称点的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标，解题的关键是掌握对称点的坐标规律．根据关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．
【详解】解：点关于轴的对称点的坐标是，
故答案为：．
12. 已知是等腰三角形，，，则的度数是________．
【答案】35
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，根据等腰三角形两底角相等，结合内角和为求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：35．
13. 若，则________．
【答案】20
【解析】
【分析】此题考查了完全平方公式，通过展开完全平方公式，比较等式两边对应项的系数，建立方程求解．
【详解】解：左边展开得：，
与右边 比较系数，得：
，
解得，代入得，
因此．
故答案为：20．
14. 已知，那么的值为________．
【答案】9
【解析】
【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．利用指数运算性质，将化为，再结合已知条件求解．
【详解】解：由，得，
因为，
所以，
因此，．
故答案为：9．
15. 如图，在中，的平分线与的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，的周长为11，，的面积是8，则的面积是________．
【答案】19
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．过点O作于M，作于N，于D，连接，根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：如图，过点O作于M，作于N，于D，连接，
∵，的面积是8，
∴，
∵在中，和的平分线相交于点O，
∴，，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴的周长，
∴，
∴的面积．
故答案为：19．
16. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点和一三象限，点为轴正半轴上一点，点位于第一象限内且在直线上，，，过点作直线垂直于轴，点，在直线上(点在点上方)，且，若线段关于直线对称的线段与坐标轴有交点，则点的纵坐标的取值范围是________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标对称、含有度的直角三角形的性质；先作出直线关于直线的对称直线，由直线与直线的夹角是推出直线和直线关于直线对称，然后分类讨论和在直线的上方或下方，画出图形，再进而求解即可．
【详解】解：作直线关于直线的对称直线，
线段在直线上，
线段关于直线对称的线段在直线上，
，直线垂直于轴，
直线与直线所夹的锐角为，所夹的钝角为，
直线与直线关于直线对称，
直线与直线所夹的锐角也是 ，
直线与直线所夹的钝角为 ，
直线和直线关于直线对称，
当、在直线的上方时，
观察发现，当点在轴上时，对应的是点的纵坐标的最小值，此时为等边三角形；
当点在轴上时，对应的是点的纵坐标的最大值，此时为等边三角形，
①当点在轴上时，为等边三角形，根据等边三角形的性质可知，，
，
，，，
，
点的纵坐标的值；
②当点在轴上时，由①可知，点的纵坐标的值比①的结果要大，
点的纵坐标的值，
当、在直线的上方时，点的纵坐标的取值范围是．
同理，当、在直线的下方时，可以求得点的纵坐标的取值范围是．
综上，的范围为或；
故答案为：或
三、解答题（共86分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查整式的混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）利用多项式除单项式法则计算即可；
（2）先利用同底数幂的乘法和幂的乘方计算，再合并同类项即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
18. 分解因式：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．
（1）先提取公因式，再用平方差公式分解；
（2）先提取公因式，再用完全平方公式分解．
【小问1详解】
；
【小问2详解】
．
19. 先化简，再求值：
，其中，．
【答案】，9
【解析】
【分析】本题考查了整式的化简求值，先根据整式的运算法则把所给代数式化简，再把，代入计算即可．
【详解】解：
，
当，时，
原式．
20. 如图在平面直角坐标系内，的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出关于轴的对称图形，并写出的坐标；
（2）请在轴上确定点的位置，使得周长最小．
【答案】（1）作图见解析，
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形变换—轴对称，利用轴对称求线段的最值，解题的关键是掌握轴对称的性质．
（1）分别作出关于轴的对称点，，，然后顺次连接即可画出图形，直接写出点的坐标即可；
（2）根据轴对称找最短路径，在网格中找到点关于轴对称点，再连接，与轴交于，此时最小，则最小，即的周长最小．
【小问1详解】
如图，即为所求，
；
【小问2详解】
如图，点是点关于轴的对称点，连接，与轴交于，点即为所求．
21. 如图，点在边上，，，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据推出，再根据即可证明；
【详解】证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴．
22. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，
（1）作图：作BC边的垂直平分线分别交BC，BD于点E，F（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接CF，若∠A=60°，∠ABD=24°，求∠ACF的度数.
【答案】（1）见解析（2）48°
【解析】
【详解】试题分析：（1）按照尺规作图的基本作图的步骤作图即可；（2）根据BD平分∠ABC，可得∠FBC=24°，根据EF垂直平分BC，可得出∠FCB=∠FBC=24°，然后利用三角形外角的性质和三角形的内角和可求出∠ACF的度数.
试题解析：（1）如图：
（2）∵BD平分∠ABC，∠ABD=24°，
∴∠FBC=24°
∵EF垂直平分BC，
∴BF=CF
∴∠FCB=∠FBC="24°"
在△FDC中，∠FDC=∠A+∠ABD="60°+24°=84°"
∠DFC=∠FCB+∠FBC="24°+24°=48°"
∴∠ACF="180°-84°-48°=48°"
考点：1.尺规作图2.线段垂直平分线的性质3.角的计算.
23. 我国南宋数学家杨辉在其所著的《详解九章算术》一书中，给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律，具体如图所示．
（1）观察图中的规律，填空：“★”表示的数是________，________；
（2）计算：．
（3）此规律还可以解决实际问题：今天是星期一，再过7天还是星期一，那么再过天是星期几？直接写出答案．
【答案】（1）6，
（2）1 （3）星期三
【解析】
【分析】本题考查数字类规律探究．根据题干给定的图形和等式，得到，是解题的关键．
（1）根据前4个算式的特征写出的展开式即可；
（2）令，利用求解即可；
（3）由可得出再过天是星期三．
【小问1详解】
解：由图可知：每一行第一个数字和最后一个数字均为1，从第三行开始，第二个数为前一行第一个数字和第二个数字之和，第三个数字是前一行的第二个数字和第三个数字之和，依次类推……
∴，
∴“★”表示的数是6，
故答案为：6， ；
【小问2详解】
令，
∵，
∴；
【小问3详解】
∵，
，
，
，
∴，
∵
是7的倍数，
∵，
∴再过天星期三．
24. 借助图形可以帮助我们直观的发现数量之间的关系，而“数”又可以帮助我们更好的探究图形的特点．这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．请你根据已有的知识经验，解决以下问题：
【自主探究】
（1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：________；
（2）图2是由两个边长分别为，，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由；
【迁移应用】根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题：
（3）如图3，五边形中，，垂足为，，，，周长为2，四边形为长方形，求四边形的面积．
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）2
【解析】
【分析】本题考查的是因式分解的应用和完全平方公式的几何背景，熟练掌握上述知识点是解题的关键．
（1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：；
（2）图2中图形的面积 ，即可变形为；
（3）根据，，周长为2，可得：，在中，由勾股定理得，整理得，根据，，可知长方形的面积为：，即可得解．
【详解】解：（1）图1中阴影部分的面积可以表示为两个阴影部分的正方形的面积相加，也可表示为大正方形的面积减去两个长方形的面积，即，
故答案为：；
（2）发现：，理由如下：
∵图2中图形的面积：，
∴，
∴，
∴；
（3）∵，，周长为2，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，
∴长方形的面积为：．
25. 如图，在三角形中，，，点，分别在坐标轴上．
（1）如图①，若点C的横坐标为，点B的坐标为______；
（2）如图②，若x轴恰好平分，交x轴于点M，过点C作垂直x轴于D点，试猜想线段与的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，，，连接交y轴于P点，点B在y轴的正半轴上运动时，与的面积比是否变化？若不变，直接写出其值，若变化，直接写出取值范围．
【答案】（1）；
（2），理由见解析；
（3）不会变化，．
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
（1）过点作轴于，由可证，可得，可求解；
（2）延长，交于点，由可证，可得，由可证，可得，可得结论；
（3）作轴于，由可证，可得，，由可证，可得，可得，由三角形面积公式可求解．
【小问1详解】
解：如图①，过点作轴于，
点的横坐标为，
在和中，
，
故答案为：；
【小问2详解】
，
如图②，延长，交于点，
平分，
，
在和中，
，
，
，
，
，
在和中，
，
；
【小问3详解】
与的面积比不会变化，
理由∶如图③，作轴于，
，
在和中，
，
在和中，
，
．