福建省福州第十六中学教育集团2024-2025学年下学期八年级期中考试 数学试题（含解析）

这是一份福建省福州第十六中学教育集团2024-2025学年下学期八年级期中考试 数学试题（含解析），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
(满分:150 分 完成时间:120 分钟 考试形式:闭卷)
学校_____ 班级_____ 姓名_____ 座号_____成绩_____
一、选择题(共 10 小题，每小题只有一个正确答案，每题 4 分，共 40 分)
1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义判断即可．
【详解】解：A、，不是最简二次根式，错误；
B、=2不是最简二次根式，错误；
C、是最简二次根式，正确；
D、不是最简二次根式，错误；
故选C
【点睛】此题考查最简二次根式问题，在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，被开方数不能含有分母；（2）在二次根式的被开方数中不能含有开得尽方的因数或因式．
2. 在平行四边形中，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，先根据平行四边形对边平行推出，再由已知条件得到，则．
【详解】解；∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选；D．
3. 下列各组线段中， 能够组成直角三角形的是（ ）
A. 1，2，3B. 3，4，6C. 5，12，13D. 7，24，26
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，三角形中两条直角边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 根据勾股定理的逆定理进行逐一判断即可．
【详解】解：A、，不能够成直角三角形，故该选项不正确，不符合题意；
B、 ，不能构成直角三角形，故该选项不正确，不符合题意；
C、 ，能构成直角三角形，故该选项正确，符合题意；
D、，不能构成直角三角形，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
4. 如图是甲、乙两位女生次一分钟跳绳成绩的统计图，则（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查折线图及方差，根据折线图可知甲的成绩比较稳定，然后问题可求解．正确理解方差的意义是解题的关键．
【详解】解：由折线图可知：甲的波动比乙小，即甲的成绩比乙的更为稳定，
∴．
故选：B．
5. 已知点 ，点在一次函数 的图象上，则下列正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的图象性质，根据得出随的增大而减小，结合随的增大而减小，则，即可作答．
【详解】解：∵，且，
∴随的增大而减小，
∵点 ，点在一次函数 的图象上，且
∴，
故选：A．
6. 如图，认真观察作图的过程，点表示的实数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了实数和数轴，以及勾股定理，注意原点左边的数是负数．根据勾股定理可求得的长为，再根据点在原点的左侧，从而得出点所表示的数，即可作答．
【详解】解：如图：
由数轴得，
则，
∵点在原点的左侧，
∴点表示的实数是，
故选：B
7. 如图，四边形是菱形，对角线 交于点 是边的中点，过点作，点为垂足，若，则的长为（ ）
A. 2.5B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】由菱形的性质得出，，，根据勾股定理求出，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，证出四边形是矩形，得到即可得出答案．
【详解】解：连接，
四边形是菱形，
，，，
在中，，
又是边的中点，
，
，，，
，，，
四边形为矩形，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上中线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和矩形的性质是解题的关键．
8. 两条直线 与在同一直角坐标系中的图象位置可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一次函数的性质和各个选项中的图象，可以判断哪个选项中的图象符合题意，从而可以解答本题.本题考查是两条直线相交问题，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
【详解】解：A、当，时，一次函数的图象经过第一、二、三象限，的图象经过第一、二、四象限，故该选项不符合题意；
B、当，时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，的图象经过第一、二、三象限，故该选项不符合题意；
C、当，时，一次函数的图象经过第一、二、三象限，的图象经过第一、二、四象限，故该选项符合题意；
D、当，时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，的图象经过第二、三、四象限，故该选项不符合题意；
故选：C
9. 在平面直角坐标系中，两条直线 与 互相平行，如果这两个函数的部分自变量和对应的函数值如下表所示:则 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了两条直线的平行问题：若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同． 由一次函数与的图象互相平行，得出，分别把将代入以及将代入，分别求出，，，即可作答．
【详解】解：∵一次函数与的图象互相平行，
∴，
设，则，．
将代入，得，，
∴；
把代入，得代入，
将代入，
得，
把①代入，得，
∴；
把代入，得，
把代入①，得,
得，
故选B．
10. 物理实验课上，小明做“小球反弹实验”，如图①所示．桌面长为，(小球与木块大小厚度忽略不计)，小球与木块同时从出发向沿直线路径做匀速运动，速度较快的小球到达处的挡板后被弹回 (忽略转向时间)， 并保持原速直线运动，撞击木块后被反弹，再次保持原速向挡板直线运动， 如此反复，直到木块到达，同时停止．设小球的运动时间为，木块与小球之间的距离为，图②是与的函数关系部分图象．以下说法正确的是（ ）
①；
②小球的速度为 ；
③小球第一次返回时，与之间满足 ；
④ 当小球从出发至第一次、相遇过程中，小球与木块距离时，或
A. ①③B. ②③C. ②④D. ②③④
【答案】D
【解析】
【分析】依据题意，观察函数图象，可得，小球P第一次到达挡板l的时间是，进而可得小球P的速度为，故可判断得解①②；求出速度和，然后计算出点的速度，计算即可得解；利用待定系数法计算可以得解③；依据题意，先求出小球P运动前的函数关系式，然后把代入解析式和计算即可．
本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．
【详解】解：由题意，观察函数图象，可得，小球P第一次到达挡板l的时间是，
故①是不符合题意的；
∴小球P速度为，
故②是符合题意的；
由题意，，
又，
∴，
∴，
答：a值为64，木块Q的运动速度．
由题意，设小球P第一次返回时，，
将，代入
得
解得，
∴．
故③是符合题意的；
由题意，设小球P运动16s前的函数关系式为，
函数过，
∴，
∴，
∴此时函数为，
,又令，
∴，
又当小球运动到后，结合（3）函数关系式为，
∴令，
解得，
综上，当小球P从出发至第一次P、Q相遇时，小球P与木块Q距离为时，或．
故④是符合题意的；
故选：D．
二、填空题(共 6 小题，每题 4 分，共 24 分)
11. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此列式求解即可．
【详解】解：由题意可得：，
解得：，
故答案为：
12. 将直线向上平移3个单位长度后，得到的新直线解析式为_____
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的平移，根据一次函数图象上下平移时解析式的变化规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】将直线向上平移3个单位长度后，得到的新直线解析式为；
故答案为：．
13. 面试时， 小王的基本知识、表达能力、工作态度的得分分别是90分，70分，80分，若依次按的比例确定成绩，则小王的面试成绩是_____分．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了加权平均数，根据加权平均数的公式进行列式计算，即可作答．
【详解】解：∵小王的基本知识、表达能力、工作态度的得分分别是90分，70分，80分，且依次按的比例确定成绩，
∴（分），
故答案为：．
14. 如图，在矩形中，，点E在上，．若平分，则的长为 _____．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，勾股定理，由矩形的性质可得，由角平分线和平行线的性质可证，由勾股定理可求解．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：5．
15. 如图，函数和的图象相交于点，则关于的不等式 的解集为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了两直线交点以及不等式的关系；根据题意得出经过点，且在上，则和交于点，进而结合函数图象，即可求解．
【详解】解：∵函数和的图象相交于点，
∴，
∴
即经过点，且与平行，
又在上，
∴和交于点
根据函数图象可得，时，
∴ 的解集为
故答案为：．
16. 平面直角坐标系上有四个点: ， 则四边形的周长最小为_____．
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意即勾股定理，得出，进而得出直线解析式为，设与轴交于点，则，过点作，则四边形是平行四边形，进而可得四边形的周长为则时，取得最小值，即的长，进而求得的长，即可求解．
【详解】解： ∵
∴，
设直线解析式为，
∴
解得：
∴直线解析式为
设与轴交于点，则
过点作，则四边形是平行四边形，

∵，
∴即
∴,
∴
∴是等腰直角三角形，
四边形的周长为，
∴时，取得最小值，即的长，
∵，
∴，即是等腰直角三角形，
∴
∴四边形的周长最小为为
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形，一次函数的性质，垂线段最短，勾股定理及其逆定理，平行四边形的性质与判定，数形结合是解题的关键．
三、解答题(共 9 题，总分 86 分)
17. 计算:
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，二次根式的乘法运算，二次根式的性质化简，二次根式的加减，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先根据二次根式的性质化简，再进行加减运算，即可作答．
（2）先根据完全平方公式、平方差公式进行展开，再运算加减，即可作答．
【小问1详解】
解：
，
；
【小问2详解】
解：
．
18. 如图，在中，点分别是的中点，延长至点，使，连接．求证：四边形是平行四边形．

【答案】见解析
【解析】
【分析】根据点 ， 分别是边 ， 的中点，可得 是的中位线，根据中位线的性质可得，，因为，所以，，由此即可求证．
【详解】证明：∵在 中，点 ， 分别是边 ， 的中点，
∴ 是的中位线，
∴，，
∵， ， ，共线，
∴，．
∴四边形 是平行四边形．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定，掌握中位线的性质，平行四边形的判定方法是解题的关键．
19. 定义：在边长为1的小正方形方格纸中，把顶点落在方格交点上的线段、三角形、四边形分别称为格点线段、格点三角形、格点四边形，在的正方形网格中，若每一个小正方形的边长均为1，请仅用无刻度直尺按要求画图．
（1）在图①中画一个以为边画一个格点正方形．
（2）在图②中画一个格点平行四边形，使平行四边形面积为6．
（3）在图③中画一个格点菱形，不是正方形（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质画图即可；
（2）根据平行四边形的性质画图即可；
（3）根据菱形的性质画图即可．
【小问1详解】
解：画一个以为边画一个格点正方形，如图所示，
【小问2详解】
解：画一个格点平行四边形．如图所示，
；
【小问3详解】
解：画一个格点菱形，不是正方形，如图所示，

【点睛】本题考查作图−应用与设计作图，菱形的性质，正方形的性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
20. 八年级某班计划购买 、 两种相册共 50 册作为毕业礼品，已知 种相册的单价比 种的多 10 元，买 4 册 种相册与买 5 册 种相册的费用相同．
（1）求 、 两种相册的单价分别是多少元？
（2）由于学生对两类相册喜好不同，经调查得知:购买的 种相册的数量不少于 种相册数量的一半，如何制定购买方案，使得总费用最少?
【答案】（1）A种相册的单价为50元，B种相册的单价为40元．
（2）购买17册A种相册，33册B种相册，总费用最少
【解析】
【分析】（1）设A种相册的单价为m元，B种相册的单价为n元，根据“A种相册的单价比B种的多10元，买4册A种相册与买5册B种相册的费用相同”，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据“购买的A种相册的数量要少于B种相册数量的一半”，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数即可，再利用一次函数的性质解答即可；
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；再列总费用关于x的一次函数，利用一次函数的性质解决问题．
【小问1详解】
解：设A种相册的单价为m元，B种相册的单价为n元，
依题意，得，
解得：．
答：A种相册的单价为50元，B种相册的单价为40元．
【小问2详解】
解：设购买A种相册x册，则购买B种相册册，
依题意，得：，
解得：．
设购买总费用为y元，
则
∵，
∴随的减小而减小，
∵且为正整数，
∴当时，（册）
∴购买17册A种相册，33册B种相册，总费用最少．
21. 某校对八、九年级学生进行了“数学计算”竞赛(百分制)，从中分别随机抽取了10名学生的竞赛成绩，整理、分析如下：共分成四组：，，．
其中八年级10名学生的成绩是：96，80，96，90，100，86，96，82，90，84；九年级学生的成绩在组中的数据是：90，91，92．
根据以上信息， 解答下列问题:
（1）直接写出上述 的值： _____， _____， _____；
（2）若该校九年级共500人参加了此次竞赛活动，估计竞赛成绩优秀的九年级学生有多少人?
【答案】（1）40，96，91.5
（2）350人
【解析】
【分析】（1）用1分别减去其它三组所占百分比即可得出a的值，根据众数和中位数的定义即可得出b、c的值；
（2）利用样本估计总体即可．
本题考查了方差，众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义和方差的意义是解题的关键．
【小问1详解】
解：由题意可知，
故；
∵八年级抽取的学生竞赛成绩出现最多的是96分，
故众数；
则九年级10名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为91、92，
故中位数为；
故答案为：40，96，91.5；
【小问2详解】
解：（人），
答：估计竞赛成绩优秀的九年级学生大有350人．
22. 已知，点、点分别在边、上，将矩形纸片沿着折叠，使得 点与点重合．
（1）用圆规和无刻度的直尺作出折痕；
（2）分别连接，若，求四边形的面积．
【答案】（1）见详解 （2）24
【解析】
【分析】（1）作线段的垂直平分线，交于点E，交于点F，则即为所求．
（2）设交于点O，得，，结合矩形的性质、菱形的判定可得四边形为菱形，则， ，则，可得四边形的面积为．
【小问1详解】
解：如图，作线段的垂直平分线，交于点E，交于点F，则即为所求：
【小问2详解】
解：设交于点O，
由（1）可得，，．
∵四边形为矩形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形，
∴
∴
∴，
∴四边形AFCE的面积为．
【点睛】本题考查作图—复杂作图、勾股定理、菱形的判定与性质、矩形的性质、翻折变换（折叠问题），解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23. 已知一次函数 和 （是常数，）， 我们称 是的迭代函数，如函数 的迭代函数是 ，即 ; 当 时，函数 的图象与它的迭代函数 的图象交于点 ， 我们称点 是这个函数的迭代点．
（1）填空:函数 的迭代函数是_____，这个函数迭代点 的坐标为_____．
（2）对于任意(，是常数，)的迭代函数，若、是其迭代函数图象上两个不重合的点，求证：当时，总有．
（3）若点的坐标为，请写出的数量关系，并证明．
【答案】（1），
（2）见详解 （3），证明见详解
【解析】
【分析】（1）根据题意即可写出函数的迭代函数，再与函数联列，求解即可得到迭代点的坐标；
（2）根据题意写出的迭代函数，根据，即可证明y随x的增大而增大；
（3）联列函数和它的迭代函数，即可求出点P，故若点P的坐标为时，则有．
本题考查了一次函数的性质，两条直线相交或平行问题，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【小问1详解】
解：由题意可得函数的迭代函数为，
即，
联列可得，
解得，
∴函数迭代点的坐标为；
故答案为：，；
【小问2详解】
证明：由题意可得函数的迭代函数为（是常数，），
即，
∵，
∴，
∴在函数中，y随x的增大而增大，
∵、是其迭代函数图象上两个不重合的点，
∴当时，总有；
【小问3详解】
解：．证明如下：
由题意可得：函数的图象与它的迭代函数的图象交于点P，
联列可得：，
解得：，
即点P坐标为，
∴若点P的坐标为时，则m，n的数量关系为．
24. 【问题呈现】 小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题: 如图①，在等边 中， ， 点 分别在边 上，且 ，试探究线段 长度的最小值．
【问题分析】
小明通过构造平行四边形， 将双动点问题转化为单动点问题， 再通过定角发现这个动点的运动路径是一条直线， 进而解决上述几何问题．
【问题解决】
如图②，过点 、 分别作 、 的平行线，并交于点 ，作射线 ． 在【问题呈现】的条件下，完成下列问题:
（1）求 的度数．
（2）线段 长度的最小值为_____．
【方法应用】
某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理， 如图③． 小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图 ④， 是等腰三角形，四边形 是矩形， 米， ． 是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点 在 上，点 在 上． 在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持 ． 钢丝绳 长度的最小值为多少米?
【答案】问题解决：（1）；（2）；方法应用：线段长度的最小值为米
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质以及等边三角形的性质可证明；
（2）根据垂线段最短求出最小值；
（3）过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，连接，求出，进而得，利用垂线段最短求出即可．
【详解】解：（1）证明：过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，
四边形是平行四边形，
；
在等边中，，
；
故答案为：．
（2）由（1）可知：点P在上运动，根据垂线段最短，当时，最小，此时最小，
在中，
，
线段长度的最小值为；
方法应用：过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，连接，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
当时，最小，此时最小，
作于点R，
在中，
，
在中，
，
线段长度的最小值为米．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质，垂线段最短及矩形性质，熟练掌握相关性质是解题关键．
25. 如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点．
（1）求直线的解析式；
（2）若点在直线上，使，求点的坐标;
（3）点是直线上一动点，点是直线上一动点，点是坐标平面内一点，若以点为顶点的四边形为正方形，且是正方形的边，若存在，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）
（2）或．
（3）点的坐标为或或或．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法即可求得直线的解析式；
（2）过点作轴交于点，设，则，根据建立方程求解即可得出答案；
（3）设，，分四种情况：当四边形是正方形时，如图，过点作轴，过点作轴于点，交于点，可证，可得，，建立方程组求解即可得出答案；当四边形是正方形时，如图，过点作轴于点，过点作轴于点，可证得，得出，，再建立方程组求解即可得出答案；当四边形是正方形时，如图，过点作轴于点，过点作轴于点，可证得，得出，，建立方程组求解即可得出答案；当四边形是正方形时，如图，过点作轴，过点作轴于点，交于，可证得，得出，，再建立方程组求解即可得出答案．
小问1详解】
解：∵直线：经过点，
，
，
设直线的解析式为，把，代入，
得： ，解得：，
直线的解析式为．
【小问2详解】
解：如图，过点作轴交于点，连接，设，则，
∵与轴交于点，
当时，，则，
又∵，
∴，
，
∴在点的上方，
∴，
，
，解得：或，
当时，；
当时，
点的坐标为或．
【小问3详解】
解：设，，
当四边形是正方形时，如图，过点作轴，过点作轴于点，交于点，，
则，，，，，
四边形是正方形，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
解得：
点的坐标为；
当四边形是正方形时，如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
则，，，，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
解得：，
点的坐标为；
当四边形是正方形时，如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
则，，，，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
解得：，
点的坐标为；
当四边形是正方形时，如图，过点作轴，过点作轴于点，交于，
则，，，，，
，
，，
，
，
，
，，
，
解得：，
点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或或或．
【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了用待定系数法求一次函数解析式、三角形面积、全等三角形的判定和性质、正方形的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题关键．
0
3
0
2
7
样本学生竞赛成绩统计表
年级
平均数
中位数
众数
方差
八年级
90
90
42.4
九年级
90
100
37.8