福建省福州第十六中学2022—2023学年八年级上学期期末数学试卷

这是一份福建省福州第十六中学2022—2023学年八年级上学期期末数学试卷，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下面是同学们设计的一些美丽有趣的图案，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．将0.000035用科学记数法表示应为（ ）
A．B．C．D．
3．如果在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠7B．x＜7C．x＞7D．x≥7
4．下列运算正确的是（ ）
A．＝±2B．（）2＝4C．＝﹣4D．（﹣）2＝﹣4
5．下列各式中，是最简二次根式的是( )
A．B．C．D．
6．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．当∠ABC=90°时，它是矩形B．当AB=BC时，它是菱形
C．当AC⊥BD时，它是菱形D．当AC=BD时，它是正方形
7．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，是AB的中点，连接，若cm，则的长为（ ）
A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm
8．如图，矩形中，对角线交于点O，若，，则长为（ ）
A．B．4C．3D．5
9．如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（ ）
A．4B．3C．2D．5
10．在平面直角坐标系中，点，，，，若的对称轴是直线，且，则的值为（ ）
A．15或21B．9或11C．15或20D．15或19
二、填空题
11．若分式的值为0，则x的值是_____．
12．计算的结果是_____．
13．计算(-2)(+2)的结果是______．
14．如图，在四边形中，，为对角线的中点，连接，，，若，则___________．
15．如图，在中，，平分，交于点，且．若，则___________．
16．如图，，点，在射线上（都不与点重合），且，点在射线上，若为等腰直角三角形，则的长为___________．
三、解答题
17．计算：
(1)．
(2)．
18．（1）分解因式：；
（2）解方程：．
19．先化简，然后从﹣1，0，2中选一个合适的x的值，代入求值．
20．如图，在平行四边形中，点E，F分别在边上，，求证：．
21．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2，CD＝3，AD＝5．
（1）求证：AC⊥CD；
（2）求四边形ABCD的面积．
22．阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．
下面是小涵同学用换元法对多项式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9进行因式分解的过程．
解：设x2﹣4x＝y
原式＝（y+1）（y+7）+9（第一步）
＝y2+8y+16（第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
请根据上述材料回答下列问题：
（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 ；
A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法
（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果： ；
（3）请你用换元法对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解．
23．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°. 过点A作直线AP，点C关于直线AP的对称点为点D，连接BD，CD，直线BD交直线AP于点E．
（1）依题意补全图1；
（2）在图1中，若∠PAC=30°，求∠ABD的度数；
（3）若直线AP旋转到如图2所示的位置，请用等式表示线段EB，ED，BC之间的数量关系，并证明．
参考答案：
1．A
【分析】根据轴对称的定义，结合所给图形进行判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、不是轴对称图形；
D、不是轴对称图形；
故选A．
【点睛】本题考查轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．C
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.000035＝，
故选C．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．D
【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【详解】解：∵ 在实数范围内有意义，
∴x-7≥0，
解得：x≥7．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题的关键．
4．B
【分析】根据算式平方根的定义和二次根式的性质逐一化简即可得解．
【详解】解：A、＝2，此选项错误；
B、（）2＝4，此选项正确；
C、＝4，此选项错误；
D、（﹣）2=4，此选项错误；
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质．
5．B
【分析】判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法，是逐个检查定义中的两个条件①被开方数不含分母②被开方数不含能开的尽方的因数或因式，据此可解答.
【详解】A、被开方数含分母，错误.
B、满足条件，正确.
C、被开方数含能开的尽方的因数或因式，错误.
D、被开方数含能开的尽方的因数或因——错误.
所以选：B.
【点睛】本题考查最简二次根式的定义，掌握相关知识是解题关键.
6．D
【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定逐个判断即可．
【详解】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，不一定是正方形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了对矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定的应用，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键．
7．B
【分析】根据平行四边形的性质可得点O为AC的中点，从而得到OE是△ABD的中位线，即可求解．
【详解】解：在平行四边形中，对角线，相交于点，
∴点O为AC的中点，
∵是AB的中点，cm，
∴AD=2OE=6cm．
故选：B
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的中位线定理，熟练掌握平行四边形的性质，三角形的中位线定理是解题的关键．
8．B
【分析】根据矩形对角线先等且互相平分的性质，可证明为等边三角形，即可求解．
【详解】解：∵四边形为矩形，，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握矩形的对角线相等且平分．
9．A
【分析】设BN=x，则由折叠的性质可得DN=AN=9-x，根据中点的定义可得BD=3，在Rt△BND中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．
【详解】解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9-x，
∵D是BC的中点，
∴BD=3，
在Rt△NBD中，x2+32=（9-x）2，
解得x=4．
即BN=4．
故选A．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强．
10．A
【分析】由题意可得点A在y轴正半轴上，点B在第一象限，点C在x轴上，由的对称轴是直线，可得平分，求出，由两点距离公式以及求出或9，即可求出答案．
【详解】∵点，，，，
∴点A在y轴正半轴上，点B在第一象限，点C在x轴上，
∴，
∵的对称轴是直线，
∴平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴或9，
∴或21．
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，熟练运用两点间距离公式是解题关键．
11．4
【分析】根据分式的值为零的条件即可求出答案．
【详解】由题意可知：，解得：x=4．
故答案为4．
【点睛】本题考查了分式的值为零，解题的关键是熟练运用分式的值为零的条件，本题属于基础题型．
12．2
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【详解】原式=2．
故答案为2．
【点睛】本题考查了分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
13．-1
【分析】由于式子复合平方差公式的特点,则由平方差公式展开可得( )-2即可解答．
【详解】由平方差公式,得( )-2
由二次根式的性质,得3-2
计算,得-1
故答案为-1．
【点睛】此题考查平方差公式的性质，解题关键在于利用平方差公式的性质进行计算．
14．
【分析】根据已知条件可以判断，根据三角形外角定理可得到：，同理，
，在等腰三角形中，已知顶角，即可求出底角的度数．
【详解】∵，
∴，
∴，,
在中，，
同理可得到：，
，
在等腰三角形中，；
故答案是．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线定理和三角形外角定理的运用，掌握基本定理是解题的关键．
15．12
【分析】根据平分，得出，根据，得出，从而得出，根据，得出，根据含角的直角三角形的性质，得出，即可得出答案．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握性质，求出．
16．6或3
【分析】分三种情况①如图1，当，，②如图2，当，时，过作于，③如图3，当，，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：若为等腰直角三角形，
①如图1，当，，
，
；
②如图2，当，时，
过作于，
则，
，
，
③如图3，当，，
，
；
综上所述，的长为6或3，
故答案为：6或3．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，含直角三角形的性质，分类思想的运用是解题的关键．
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据二次根式混合运算法则进行计算即可；
（2）根据二次根式性质，负整数指数幂和零指数幂运算法则进行化简，然后再计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了二次根式混合运算和实数混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式性质，负整数指数幂和零指数幂运算法则，准确计算．
18．（1）
（2）
【分析】（1）先提公因式m，再用平方差公式分解因式即可；
（2）先去分母，化成整式方程求解，再检验即可求解．
【详解】解：（1）原式
；
（2）方程两边同时乘以，得
，
解得：，
检验：把代入，得，
是原分式方程的解．
【点睛】本题考查因式分解，解分式方程，熟练掌握综合运用提公因式法与公式法分解因式，解分式方程是解题的关键，注意解分式方程要检验根．
19．-.
【分析】先把分式除法转换成乘法进行约分化简，然后再找出分式的最小公分母通分进行化简求值，在代入求值时要保证每一个分式的分母不能为0
【详解】解：原式= -
= -
=
=
=- .
当x=-1或者x=0时分式没有意义
所以选择当x=2时，原式=.
【点睛】分式的化简求值是此题的考点，需要特别注意的是分式的分母不能为0．
20．见解析
【分析】根据平行四边形的性质可得再结合可得，然后再证四边形是平行四边形，最后根据平行四边形的性质即可证明结论．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，根据题意证得四边形是平行四边形是解答本题的关键．
21．（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）根据直角三角形的性质得到AC=2AB=4，根据跟勾股定理的逆定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到BC，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=30°，AB=2，∴AC=2AB=4．在△ACD中，AC=4，CD=3，AD=5．
∵42+32=52，即AC2+CD2=AD2，∴∠ACD=90°，∴AC⊥CD；
（2）在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2，AC=4，∴BC，∴Rt△ABC的面积为AB•BC2×2．
又∵Rt△ACD的面积为AC•CD4×3=6，∴四边形ABCD的面积为：26．
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
22．（1）C；（2）（x﹣2）4；（3）（x+1）4．
【分析】（1）根据完全平方公式进行分解因式；
（2）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止；
（3）根据材料，用换元法进行分解因式．
【详解】（1）故选C；
（2）（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9，设x2﹣4x=y，则：
原式=（y+1）（y+7）+9=y2+8y+16=（y+4）2=（x2﹣4x+4）2=（x﹣2）4．
故答案为（x﹣2）4；
（3）设x2+2x=y，原式=y（y+2）+1=y2+2y+1=（y+1）2=（x2+2x+1）2=（x+1）4．
【点睛】本题考查了因式分解﹣换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键．
23．(1)见解析;(2) 15°;(3)见解析.
【分析】（1）根据题意补全图形
（2）由轴对称图形的性质可得AD=AC，∠PAD=∠PAC=30°，由题意AB=AC所以AB=AD，三角形ABD是等腰三角形，又知道∠BAC=90°继而可以求出∠ABD
（3）由轴对称图形的性质和四边形的内角和可求出∠BEC=90°，有根据勾股定理可知三边的关系并给出证明．
【详解】解：（1）补全图形如下图:
（2）连接AD.
由轴对称的性质可得：∠PAD=∠PAC=30°，AD=AC.
∵AB=AC,
∴AD=AB.
∵∠BAC=90°,
∴∠BAD=150°.
∴∠ABE=15°.
（3）补全图形，连接CE，AD.
由轴对称的性质可得：CE=DE，AD=AC，
∠ACE=∠ADE.
∵AB=AC，
∴AD=AB.
∴∠ADB=∠ABD.
∴∠ACE=∠ABD.
∵∠ABD+∠ABE=180°，
∴∠ACE+∠ABE=180°.
在四边形ABEC中，
∵∠BAC+∠ABE+∠BEC+∠ACE=360°，
又∵∠BAC=90°，
∴∠BEC =90°.
∴BE2+CE2=BC2.
∴EB2+ED2=BC2.
【点睛】此题综合性比较强，解决此题的关键根据题意补全图形进行分析解答，利用轴对称图形、等腰三角形的性质以及勾股定理来解决问题．