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高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第01练数系的扩充和复数的概念(原卷版+解析)
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这是一份高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第01练数系的扩充和复数的概念(原卷版+解析)，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知i为虚数单位，复数，则z的虚部是（ ）
A．B．C．D．
2．复数，则的虚部是（ ）
A．B．C．D．
3．若复数是纯虚数，则实数（ ）
A．或1B．C．D．或1
4．复数，则实数（ ）
A．2B．3C．2或3D．0或2或3
5．的实部与虚部互为相反数，则的取值不可能（ ）
A．B．C．D．
6．若是纯虚数（为虚数单位），则实数x的值为（ ）
A．B．2C．2或D．以上都不对
7．欧拉恒等式：被数学家们惊叹为“上帝创造的等式”.该等式将数学中几个重要的数：自然对数的底数e､圆周率､虚数单位i､自然数1和0完美地结合在一起，它是由欧拉公式：令得到的.设复数，则根据欧拉公式的虚部为( )
A．B．C．D．1
8．复数的知识结构图如图所示，则图中（1）､（2）､（3）处应分别填入的是（ ）
A．正整数假分数纯虚数B．自然数假分数纯虚数
C．正整数小数纯虚数D．自然数小数实数
9．已知，且，则（ ）
A．1B．C．2D．4
10．已知为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数（ ）
A．B．0C．1D．0或－1
11．下列命题正确的是（ ）
A．实数集与复数集的交集是空集
B．任何两个复数都不能比较大小
C．任何复数的平方均非负
D．虚数集与实数集的并集为复数集
12．已知、，，则（ ）
A．B．C．D．
13．设为虚数单位，则复数的虚部是（ ）
A．B．C．1D．
14．已知，若（i为虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．1
15．若复数是纯虚数，则实数a的值为（ ）
A．1或2B．2C．3D．4
16．若复数，（），，则等于（ ）
A．（）B．（）
C．（）D．（）
17．若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（ ）
A．B．0C．1D．2
18．已知（其中为虚数单位），则（ ）
A．B．C．2D．4
19．复数与复数相等，则实数的值为（ ）
A．B．或C．D．
20．以的虚部为实部，以的实部为虚部的复数是（ ）
A．B．C．D．
21．若复数（a，b为实数）则“”是“复数z为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
22．已知复数，，则“”是“为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
23．设（i为虚数单位），则a＝（ ）
A．－1B．0C．1D．1或－1
24．已知，若复数（是虚数单位）是纯虚数，则（ ）
A．0B．1C．D．2
25．已知复数（是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
26．若复数a+(a+1)i是实数，则实数a的值为（ ）
A．1B．0C．1D．
27．若，其中a，，是虚数单位，则（ ）
A．B．C．D．
28．已知，若复数是纯虚数，则（ ）
A．0B．2C．D．
29．.若实数x，y满足，则xy的值是（ ）
A．-2B．2C．1D．-3
30．已知复数为纯虚数，则实数（ ）
A．B．C．2D．4
31．已知，复数（是虚数单位），则“”是“为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
32．已知复数（其中是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数等于（ ）
A．-2B．-3C．2D．3
33．对于复数，下列结论中正确的是（ ）
A．若，则为纯虚数
B．若，则，
C．若，则为实数
D．若，则z不是复数
34．已知，，若（i为虚数单位），则的取值范围是（ ）
A．或B．或C．D．
35．设，则“”是“复数为纯虚数”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
36．设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
37．若复数是纯虚数，则实数（ ）
A．或1B．C．D．或1
二、填空题
38．给出下列命题：①若，且，则是纯虚数；②，为复数，，则；③若，则z一定是纯虚数；④虚数的平方根仍是虚数，其中正确的是______.（填序号）
39．下列命题，是真命题的有___________
①两个复数不能比较大小；
②若x，y∈C，x+yi=1+i的充要条件是x=y=1；
③若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；
④实数集相对复数集的补集是虚数集.
40．下面四个命题：①0比大；②两个复数当且仅当其和为实数时，互为共轭复数；③的充要条件为；④任何纯虚数的平方都是负实数.其中错误命题的序号是________.
41．给出下列命题：①自然数集是非负整数集；②实数集与复数集的交集为实数集；③实数集与虚数集的交集是｛0｝；④纯虚数集与实数集的交集为空集.其中，假命题是________.（填序号）
42．设，复数，若为纯虚数，则_____.
43．设，若复数是纯虚数，则_____________.
44．若复数为纯虚数，则实数的值为___________.
45．已知复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数_______．
46．设复数z=(a2-1)+(a2-3a+2)i，若z2<0，则实数a的值为____.
47．已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，若z1＞z2，则a的取值集合为________.
48．若，，则复数________．
三、解答题
49．当实数m为何值时，复数是下列数?
（1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数.
50．若为实数，求出复数，并判断复数是实数还是虚数，若是虚数，是纯虚数吗？
51．在复平面内，复数 (其中)．
（1）若复数为实数，求的值；
（2）若复数为纯虚数，求的值.
52．已知复数.当实数取什么值时，复数是：
（1）实数；（2）纯虚数；
53．实数m为何值时，复数是：
（1）纯虚数；
（2）等于；
（3）所对应的点在第四象限．
54．已知复数，当实数取什么值时，
（1）复数是零；（2）复数是实数；（3）复数是纯虚数.
55．当实数为何值时，复数（为虚数单位）
实数； （2）纯虚数．
56．当实数为何值时，复数为
(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？
57．求，使复数是（1）实数；（2）纯虚数；（3）零．
.
58．已知A＝{1，2，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1，3}，A∩B＝{3}，求实数a的值．
第1练 数系的扩充和复数的概念
eq \\ac(○,通) eq \\ac(○,关) eq \\ac(○,练)
一、单选题
1．已知i为虚数单位，复数，则z的虚部是（ ）
A．B．C．D．
【解析】复数的虚部为，故选：D
2．复数，则的虚部是（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为复数，则的虚部，故选：C.
3．若复数是纯虚数，则实数（ ）
A．或1B．C．D．或1
【解析】因为复数是纯虚数
所以，解得或，解得且，综上可得.
故选：B
4．复数，则实数（ ）
A．2B．3C．2或3D．0或2或3
【解析】因为为实数，且，
所以，解得，
故选：B．
5．的实部与虚部互为相反数，则的取值不可能（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意得：,
，
解得：或,
,
或或.
故选：B.
6．若是纯虚数（为虚数单位），则实数x的值为（ ）
A．B．2C．2或D．以上都不对
【解析】若是纯虚数，则，解得：，
故选：B．
7．欧拉恒等式：被数学家们惊叹为“上帝创造的等式”.该等式将数学中几个重要的数：自然对数的底数e､圆周率､虚数单位i､自然数1和0完美地结合在一起，它是由欧拉公式：令得到的.设复数，则根据欧拉公式的虚部为( )
A．B．C．D．1
【解析】根据欧拉公式：，
可得，
则复数z的虚部为．
故选：A．
8．复数的知识结构图如图所示，则图中（1）､（2）､（3）处应分别填入的是（ ）
A．正整数假分数纯虚数B．自然数假分数纯虚数
C．正整数小数纯虚数D．自然数小数实数
【解析】整数包括正整数､零､负整数，其中正整数与零合称为自然数，
所以（1）处应填自然数.分数包括真分数和假分数，虚数包括纯虚数与非纯虚数.
故选：B
9．已知，且，则（ ）
A．1B．C．2D．4
【解析】由于，
所以.
故选：C
10．已知为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数（ ）
A．B．0C．1D．0或－1
【解析】因为复数是纯虚数，所以，解得
故选：C
11．下列命题正确的是（ ）
A．实数集与复数集的交集是空集
B．任何两个复数都不能比较大小
C．任何复数的平方均非负
D．虚数集与实数集的并集为复数集
【解析】实数集与复数集的交集是实数集，所以A不正确；
任何两个复数都不能比较大小，不正确，当两个复数是实数时，可以比较大小，所以B不正确；
任何复数的平方均非负，反例，所以C不正确；
虚数集与实数集的并集为复数集，所以D正确
故选：D．
12．已知、，，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为，所以，解得，故.
故选：A.
13．设为虚数单位，则复数的虚部是（ ）
A．B．C．1D．
【解析】的虚部为，故选：A.
14．已知，若（i为虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．1
【解析】因为，
所以，解得.
故选：B.
15．若复数是纯虚数，则实数a的值为（ ）
A．1或2B．2C．3D．4
【解析】复数是纯虚数，解得.
故选：B.
16．若复数，（），，则等于（ ）
A．（）B．（）
C．（）D．（）
【解析】由复数相等的定义可知，
∴，.
∴，k∈Z
故选：D.
17．若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（ ）
A．B．0C．1D．2
【解析】因为复数（为虚数单位）是纯虚数
，解得．
故选：C．
18．已知（其中为虚数单位），则（ ）
A．B．C．2D．4
【解析】
由，可得，解之得
则
故选：D
19．复数与复数相等，则实数的值为（ ）
A．B．或C．D．
【解析】因为复数与复数相等，
所以，
解得．
故选：C
20．以的虚部为实部，以的实部为虚部的复数是（ ）
A．B．C．D．
【解析】的虚部是1，，其实部为，新复数是．
故选：A．
21．若复数（a，b为实数）则“”是“复数z为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
【解析】根据复数的概念，当且时，复数z为纯虚数，
反之，当复数z为纯虚数时，且
所以“”是“复数z为纯虚数”的必要不充分条件
故选：B
22．已知复数，，则“”是“为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】若复数为纯虚数，
则，解得：或，
所以由可得出为纯虚数，
但由为纯虚数，得不出，
所以“”是“为纯虚数”的充分不必要条件，
故选：A.
23．设（i为虚数单位），则a＝（ ）
A．－1B．0C．1D．1或－1
【解析】因为，
所以有 ，即 ，
故选：C.
24．已知，若复数（是虚数单位）是纯虚数，则（ ）
A．0B．1C．D．2
【解析】是纯虚数，则，解得，
故选：C.
25．已知复数（是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】依题意可得，解得.
故选：A.
26．若复数a+(a+1)i是实数，则实数a的值为（ ）
A．1B．0C．1D．
【解析】由题意可得，解得.
故选：C
27．若，其中a，，是虚数单位，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】，
所以，得.
故选：B
28．已知，若复数是纯虚数，则（ ）
A．0B．2C．D．
【解析】因为是纯虚数，所以解得.
故选：D.
29．.若实数x，y满足，则xy的值是（ ）
A．-2B．2C．1D．-3
【解析】依题意，
所以.
故选：C
30．已知复数为纯虚数，则实数（ ）
A．B．C．2D．4
【解析】由复数为纯虚数，所以且，解得.
故选：C.
31．已知，复数（是虚数单位），则“”是“为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】由为纯虚数可得：，即或，则“”是“为纯虚数”的充分不必要条件.
故选：A.
32．已知复数（其中是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数等于（ ）
A．-2B．-3C．2D．3
【解析】因为的实部与虚部相等，
所以，解得，
故选：B
33．对于复数，下列结论中正确的是（ ）
A．若，则为纯虚数
B．若，则，
C．若，则为实数
D．若，则z不是复数
【解析】对A，当时，为实数，故A错；对B，根据对应关系，，，故B错；
对C，若，则为实数，C正确；对D，若，，也是复数，故D错.
故选：C
34．已知，，若（i为虚数单位），则的取值范围是（ ）
A．或B．或C．D．
【解析】由题意，
故为实数
或
故选：A
35．设，则“”是“复数为纯虚数”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】复数为纯虚数，
则，解得：，
所以“”是“复数为纯虚数”的充分而不必要条件.
故选：A.
36．设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】若，则或；
当时，为实数，此时复数不是纯虚数，充分性不成立；
若复数为纯虚数，则且，此时，必要性成立；
“”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件.
故选：B.
37．若复数是纯虚数，则实数（ ）
A．或1B．C．D．或1
【解析】因为复数是纯虚数
所以，解得或，解得且，综上可得.
故选：B
二、填空题
38．给出下列命题：①若，且，则是纯虚数；②，为复数，，则；③若，则z一定是纯虚数；④虚数的平方根仍是虚数，其中正确的是______.（填序号）
【解析】①：当时，，显然不是纯虚数，本命题不正确；
②：当，时，显然，但是不成立，本命题不正确；
③：设，由且，
当时，有，所以，
当时，有，显然不可能成立，因此z一定是纯虚数，所以本命题正确；
④：设，设，如果，
则有且，这与相矛盾，所以假设不成立，故不是实数，是虚数，因此本命题正确，
故答案为：③④
39．下列命题，是真命题的有___________
①两个复数不能比较大小；
②若x，y∈C，x+yi=1+i的充要条件是x=y=1；
③若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；
④实数集相对复数集的补集是虚数集.
【解析】对于①，若两个复数为实数，则能比较大小，故①错误；
对于②，当且仅当x，y∈R，x+yi=1+i的充要条件是x=y=1，故②错误；
对于③，当a=0时，0i=0不是纯虚数，故③错误；
对于④，实数集和虚数集构成复数集，所以实数集相对复数集的补集是虚数集，故④正确.
故答案为：④.
40．下面四个命题：①0比大；②两个复数当且仅当其和为实数时，互为共轭复数；③的充要条件为；④任何纯虚数的平方都是负实数.其中错误命题的序号是________.
【解析】①实数与虚数不能比较大小，故错误；
②例如，，是实数，但和不是共轭复数，故错误；
③当，时，，所以时，不一定，故错误；
④若为纯虚数，则，故正确.
故答案为：①②③
41．给出下列命题：①自然数集是非负整数集；②实数集与复数集的交集为实数集；③实数集与虚数集的交集是｛0｝；④纯虚数集与实数集的交集为空集.其中，假命题是________.（填序号）
【解析】①②④显然正确，②中复数包括实数和虚数，③中实数和虚数只能是并列关系，不存在交集，故③实数集与虚数集的交集是空集，故③错.
故答案为：③
42．设，复数，若为纯虚数，则_____.
【解析】复数为纯虚数，
，解得：．
故答案为：．
43．设，若复数是纯虚数，则_____________.
【解析】若复数是纯虚数，则，所以，
故答案为：2.
44．若复数为纯虚数，则实数的值为___________.
【解析】因为复数为纯虚数，
所以，解得.
故答案为：.
45．已知复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数_______．
【解析】因为复数（为虚数单位）为纯虚数
所以，解得
故答案为：
46．设复数z=(a2-1)+(a2-3a+2)i，若z2<0，则实数a的值为____.
【解析】由知一定为纯虚数,
所以得解得
故答案为：
47．已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，若z1＞z2，则a的取值集合为________.
【解析】由z1＞z2，得解得a＝0，
故a的取值集合为{0}.
故答案为：
48．若，，则复数________．
【解析】由 可得，则
所以
故答案为：
三、解答题
49．当实数m为何值时，复数是下列数?
（1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数.
【解析】由题意得：
(1)令，解得或，
故当或时，复数Z是实数．
(2)令，解得且，
故当且时，复数Z是虚数．
(3)令且，解得，
当时，复数Z是纯虚数．
50．若为实数，求出复数，并判断复数是实数还是虚数，若是虚数，是纯虚数吗？
【解析】因为为实数，所以或m=2.
时，，是虚数，且是纯虚数；
时，，是实数.
51．在复平面内，复数 (其中)．
（1）若复数为实数，求的值；
（2）若复数为纯虚数，求的值.
【解析】（1）因为复数为实数，所以，所以或4．
（2）因为复数为纯虚数，所以，所以.
52．已知复数.当实数取什么值时，复数是：
（1）实数；（2）纯虚数；
【解析】1因为复数z为实数，
所以，即或；
2若z为纯虚数，则，解得，
所以时，复数z为纯虚数；
53．实数m为何值时，复数是：
（1）纯虚数；
（2）等于；
（3）所对应的点在第四象限．
【解析】（1）由题意可得，解得.
（2）由复数相等可得，解得.
（3）由复数的几何意义可得，解得.
54．已知复数，当实数取什么值时，
（1）复数是零；（2）复数是实数；（3）复数是纯虚数.
【解析】（1）若复数是零，则，解得，
即当时，复数是零.
（2）若复数是实数，则，解得或，
即当或时，复数是实数.
（3）若复数是纯虚数，则，解得，
即当时，复数是纯虚数.
55．当实数为何值时，复数（为虚数单位）
实数； （2）纯虚数．
【解析】（1）为实数时，
，即．
（2）为纯虚数时，
，即或．
56．当实数为何值时，复数为
(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？
【解析】(1)若复数为实数，则 ，可得，
所以当时，复数表示实数.
(2)若复数为虚数，则，可得且，
所以当且时，复数表示虚数.
(3)若复数为纯虚数，则，解得：．
所以当时，复数为纯虚数.
57．求，使复数是（1）实数；（2）纯虚数；（3）零．
【解析】（1）若为实数，则，，；
（2）若为纯虚数，则，
则或，且，；
（3）若为零，则，
或，.
58．已知A＝{1，2，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1，3}，A∩B＝{3}，求实数a的值．
【解析】因为A＝{1，2，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1，3}，A∩B＝{3}，
所以a2－3a－1＋(a2－5a－6)i＝3(a∈R)，
所以
解得a＝－1.
一、单选题
1．已知i为虚数单位，复数，则z的虚部是（ ）
A．B．C．D．
2．复数，则的虚部是（ ）
A．B．C．D．
3．若复数是纯虚数，则实数（ ）
A．或1B．C．D．或1
4．复数，则实数（ ）
A．2B．3C．2或3D．0或2或3
5．的实部与虚部互为相反数，则的取值不可能（ ）
A．B．C．D．
6．若是纯虚数（为虚数单位），则实数x的值为（ ）
A．B．2C．2或D．以上都不对
7．欧拉恒等式：被数学家们惊叹为“上帝创造的等式”.该等式将数学中几个重要的数：自然对数的底数e､圆周率､虚数单位i､自然数1和0完美地结合在一起，它是由欧拉公式：令得到的.设复数，则根据欧拉公式的虚部为( )
A．B．C．D．1
8．复数的知识结构图如图所示，则图中（1）､（2）､（3）处应分别填入的是（ ）
A．正整数假分数纯虚数B．自然数假分数纯虚数
C．正整数小数纯虚数D．自然数小数实数
9．已知，且，则（ ）
A．1B．C．2D．4
10．已知为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数（ ）
A．B．0C．1D．0或－1
11．下列命题正确的是（ ）
A．实数集与复数集的交集是空集
B．任何两个复数都不能比较大小
C．任何复数的平方均非负
D．虚数集与实数集的并集为复数集
12．已知、，，则（ ）
A．B．C．D．
13．设为虚数单位，则复数的虚部是（ ）
A．B．C．1D．
14．已知，若（i为虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．1
15．若复数是纯虚数，则实数a的值为（ ）
A．1或2B．2C．3D．4
16．若复数，（），，则等于（ ）
A．（）B．（）
C．（）D．（）
17．若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（ ）
A．B．0C．1D．2
18．已知（其中为虚数单位），则（ ）
A．B．C．2D．4
19．复数与复数相等，则实数的值为（ ）
A．B．或C．D．
20．以的虚部为实部，以的实部为虚部的复数是（ ）
A．B．C．D．
21．若复数（a，b为实数）则“”是“复数z为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
22．已知复数，，则“”是“为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
23．设（i为虚数单位），则a＝（ ）
A．－1B．0C．1D．1或－1
24．已知，若复数（是虚数单位）是纯虚数，则（ ）
A．0B．1C．D．2
25．已知复数（是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
26．若复数a+(a+1)i是实数，则实数a的值为（ ）
A．1B．0C．1D．
27．若，其中a，，是虚数单位，则（ ）
A．B．C．D．
28．已知，若复数是纯虚数，则（ ）
A．0B．2C．D．
29．.若实数x，y满足，则xy的值是（ ）
A．-2B．2C．1D．-3
30．已知复数为纯虚数，则实数（ ）
A．B．C．2D．4
31．已知，复数（是虚数单位），则“”是“为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
32．已知复数（其中是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数等于（ ）
A．-2B．-3C．2D．3
33．对于复数，下列结论中正确的是（ ）
A．若，则为纯虚数
B．若，则，
C．若，则为实数
D．若，则z不是复数
34．已知，，若（i为虚数单位），则的取值范围是（ ）
A．或B．或C．D．
35．设，则“”是“复数为纯虚数”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
36．设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
37．若复数是纯虚数，则实数（ ）
A．或1B．C．D．或1
二、填空题
38．给出下列命题：①若，且，则是纯虚数；②，为复数，，则；③若，则z一定是纯虚数；④虚数的平方根仍是虚数，其中正确的是______.（填序号）
39．下列命题，是真命题的有___________
①两个复数不能比较大小；
②若x，y∈C，x+yi=1+i的充要条件是x=y=1；
③若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；
④实数集相对复数集的补集是虚数集.
40．下面四个命题：①0比大；②两个复数当且仅当其和为实数时，互为共轭复数；③的充要条件为；④任何纯虚数的平方都是负实数.其中错误命题的序号是________.
41．给出下列命题：①自然数集是非负整数集；②实数集与复数集的交集为实数集；③实数集与虚数集的交集是｛0｝；④纯虚数集与实数集的交集为空集.其中，假命题是________.（填序号）
42．设，复数，若为纯虚数，则_____.
43．设，若复数是纯虚数，则_____________.
44．若复数为纯虚数，则实数的值为___________.
45．已知复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数_______．
46．设复数z=(a2-1)+(a2-3a+2)i，若z2<0，则实数a的值为____.
47．已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，若z1＞z2，则a的取值集合为________.
48．若，，则复数________．
三、解答题
49．当实数m为何值时，复数是下列数?
（1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数.
50．若为实数，求出复数，并判断复数是实数还是虚数，若是虚数，是纯虚数吗？
51．在复平面内，复数 (其中)．
（1）若复数为实数，求的值；
（2）若复数为纯虚数，求的值.
52．已知复数.当实数取什么值时，复数是：
（1）实数；（2）纯虚数；
53．实数m为何值时，复数是：
（1）纯虚数；
（2）等于；
（3）所对应的点在第四象限．
54．已知复数，当实数取什么值时，
（1）复数是零；（2）复数是实数；（3）复数是纯虚数.
55．当实数为何值时，复数（为虚数单位）
实数； （2）纯虚数．
56．当实数为何值时，复数为
(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？
57．求，使复数是（1）实数；（2）纯虚数；（3）零．
.
58．已知A＝{1，2，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1，3}，A∩B＝{3}，求实数a的值．
第1练 数系的扩充和复数的概念
eq \\ac(○,通) eq \\ac(○,关) eq \\ac(○,练)
一、单选题
1．已知i为虚数单位，复数，则z的虚部是（ ）
A．B．C．D．
【解析】复数的虚部为，故选：D
2．复数，则的虚部是（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为复数，则的虚部，故选：C.
3．若复数是纯虚数，则实数（ ）
A．或1B．C．D．或1
【解析】因为复数是纯虚数
所以，解得或，解得且，综上可得.
故选：B
4．复数，则实数（ ）
A．2B．3C．2或3D．0或2或3
【解析】因为为实数，且，
所以，解得，
故选：B．
5．的实部与虚部互为相反数，则的取值不可能（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意得：,
，
解得：或,
,
或或.
故选：B.
6．若是纯虚数（为虚数单位），则实数x的值为（ ）
A．B．2C．2或D．以上都不对
【解析】若是纯虚数，则，解得：，
故选：B．
7．欧拉恒等式：被数学家们惊叹为“上帝创造的等式”.该等式将数学中几个重要的数：自然对数的底数e､圆周率､虚数单位i､自然数1和0完美地结合在一起，它是由欧拉公式：令得到的.设复数，则根据欧拉公式的虚部为( )
A．B．C．D．1
【解析】根据欧拉公式：，
可得，
则复数z的虚部为．
故选：A．
8．复数的知识结构图如图所示，则图中（1）､（2）､（3）处应分别填入的是（ ）
A．正整数假分数纯虚数B．自然数假分数纯虚数
C．正整数小数纯虚数D．自然数小数实数
【解析】整数包括正整数､零､负整数，其中正整数与零合称为自然数，
所以（1）处应填自然数.分数包括真分数和假分数，虚数包括纯虚数与非纯虚数.
故选：B
9．已知，且，则（ ）
A．1B．C．2D．4
【解析】由于，
所以.
故选：C
10．已知为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数（ ）
A．B．0C．1D．0或－1
【解析】因为复数是纯虚数，所以，解得
故选：C
11．下列命题正确的是（ ）
A．实数集与复数集的交集是空集
B．任何两个复数都不能比较大小
C．任何复数的平方均非负
D．虚数集与实数集的并集为复数集
【解析】实数集与复数集的交集是实数集，所以A不正确；
任何两个复数都不能比较大小，不正确，当两个复数是实数时，可以比较大小，所以B不正确；
任何复数的平方均非负，反例，所以C不正确；
虚数集与实数集的并集为复数集，所以D正确
故选：D．
12．已知、，，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为，所以，解得，故.
故选：A.
13．设为虚数单位，则复数的虚部是（ ）
A．B．C．1D．
【解析】的虚部为，故选：A.
14．已知，若（i为虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．1
【解析】因为，
所以，解得.
故选：B.
15．若复数是纯虚数，则实数a的值为（ ）
A．1或2B．2C．3D．4
【解析】复数是纯虚数，解得.
故选：B.
16．若复数，（），，则等于（ ）
A．（）B．（）
C．（）D．（）
【解析】由复数相等的定义可知，
∴，.
∴，k∈Z
故选：D.
17．若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（ ）
A．B．0C．1D．2
【解析】因为复数（为虚数单位）是纯虚数
，解得．
故选：C．
18．已知（其中为虚数单位），则（ ）
A．B．C．2D．4
【解析】
由，可得，解之得
则
故选：D
19．复数与复数相等，则实数的值为（ ）
A．B．或C．D．
【解析】因为复数与复数相等，
所以，
解得．
故选：C
20．以的虚部为实部，以的实部为虚部的复数是（ ）
A．B．C．D．
【解析】的虚部是1，，其实部为，新复数是．
故选：A．
21．若复数（a，b为实数）则“”是“复数z为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
【解析】根据复数的概念，当且时，复数z为纯虚数，
反之，当复数z为纯虚数时，且
所以“”是“复数z为纯虚数”的必要不充分条件
故选：B
22．已知复数，，则“”是“为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】若复数为纯虚数，
则，解得：或，
所以由可得出为纯虚数，
但由为纯虚数，得不出，
所以“”是“为纯虚数”的充分不必要条件，
故选：A.
23．设（i为虚数单位），则a＝（ ）
A．－1B．0C．1D．1或－1
【解析】因为，
所以有 ，即 ，
故选：C.
24．已知，若复数（是虚数单位）是纯虚数，则（ ）
A．0B．1C．D．2
【解析】是纯虚数，则，解得，
故选：C.
25．已知复数（是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】依题意可得，解得.
故选：A.
26．若复数a+(a+1)i是实数，则实数a的值为（ ）
A．1B．0C．1D．
【解析】由题意可得，解得.
故选：C
27．若，其中a，，是虚数单位，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】，
所以，得.
故选：B
28．已知，若复数是纯虚数，则（ ）
A．0B．2C．D．
【解析】因为是纯虚数，所以解得.
故选：D.
29．.若实数x，y满足，则xy的值是（ ）
A．-2B．2C．1D．-3
【解析】依题意，
所以.
故选：C
30．已知复数为纯虚数，则实数（ ）
A．B．C．2D．4
【解析】由复数为纯虚数，所以且，解得.
故选：C.
31．已知，复数（是虚数单位），则“”是“为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】由为纯虚数可得：，即或，则“”是“为纯虚数”的充分不必要条件.
故选：A.
32．已知复数（其中是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数等于（ ）
A．-2B．-3C．2D．3
【解析】因为的实部与虚部相等，
所以，解得，
故选：B
33．对于复数，下列结论中正确的是（ ）
A．若，则为纯虚数
B．若，则，
C．若，则为实数
D．若，则z不是复数
【解析】对A，当时，为实数，故A错；对B，根据对应关系，，，故B错；
对C，若，则为实数，C正确；对D，若，，也是复数，故D错.
故选：C
34．已知，，若（i为虚数单位），则的取值范围是（ ）
A．或B．或C．D．
【解析】由题意，
故为实数
或
故选：A
35．设，则“”是“复数为纯虚数”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】复数为纯虚数，
则，解得：，
所以“”是“复数为纯虚数”的充分而不必要条件.
故选：A.
36．设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】若，则或；
当时，为实数，此时复数不是纯虚数，充分性不成立；
若复数为纯虚数，则且，此时，必要性成立；
“”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件.
故选：B.
37．若复数是纯虚数，则实数（ ）
A．或1B．C．D．或1
【解析】因为复数是纯虚数
所以，解得或，解得且，综上可得.
故选：B
二、填空题
38．给出下列命题：①若，且，则是纯虚数；②，为复数，，则；③若，则z一定是纯虚数；④虚数的平方根仍是虚数，其中正确的是______.（填序号）
【解析】①：当时，，显然不是纯虚数，本命题不正确；
②：当，时，显然，但是不成立，本命题不正确；
③：设，由且，
当时，有，所以，
当时，有，显然不可能成立，因此z一定是纯虚数，所以本命题正确；
④：设，设，如果，
则有且，这与相矛盾，所以假设不成立，故不是实数，是虚数，因此本命题正确，
故答案为：③④
39．下列命题，是真命题的有___________
①两个复数不能比较大小；
②若x，y∈C，x+yi=1+i的充要条件是x=y=1；
③若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；
④实数集相对复数集的补集是虚数集.
【解析】对于①，若两个复数为实数，则能比较大小，故①错误；
对于②，当且仅当x，y∈R，x+yi=1+i的充要条件是x=y=1，故②错误；
对于③，当a=0时，0i=0不是纯虚数，故③错误；
对于④，实数集和虚数集构成复数集，所以实数集相对复数集的补集是虚数集，故④正确.
故答案为：④.
40．下面四个命题：①0比大；②两个复数当且仅当其和为实数时，互为共轭复数；③的充要条件为；④任何纯虚数的平方都是负实数.其中错误命题的序号是________.
【解析】①实数与虚数不能比较大小，故错误；
②例如，，是实数，但和不是共轭复数，故错误；
③当，时，，所以时，不一定，故错误；
④若为纯虚数，则，故正确.
故答案为：①②③
41．给出下列命题：①自然数集是非负整数集；②实数集与复数集的交集为实数集；③实数集与虚数集的交集是｛0｝；④纯虚数集与实数集的交集为空集.其中，假命题是________.（填序号）
【解析】①②④显然正确，②中复数包括实数和虚数，③中实数和虚数只能是并列关系，不存在交集，故③实数集与虚数集的交集是空集，故③错.
故答案为：③
42．设，复数，若为纯虚数，则_____.
【解析】复数为纯虚数，
，解得：．
故答案为：．
43．设，若复数是纯虚数，则_____________.
【解析】若复数是纯虚数，则，所以，
故答案为：2.
44．若复数为纯虚数，则实数的值为___________.
【解析】因为复数为纯虚数，
所以，解得.
故答案为：.
45．已知复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数_______．
【解析】因为复数（为虚数单位）为纯虚数
所以，解得
故答案为：
46．设复数z=(a2-1)+(a2-3a+2)i，若z2<0，则实数a的值为____.
【解析】由知一定为纯虚数,
所以得解得
故答案为：
47．已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，若z1＞z2，则a的取值集合为________.
【解析】由z1＞z2，得解得a＝0，
故a的取值集合为{0}.
故答案为：
48．若，，则复数________．
【解析】由 可得，则
所以
故答案为：
三、解答题
49．当实数m为何值时，复数是下列数?
（1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数.
【解析】由题意得：
(1)令，解得或，
故当或时，复数Z是实数．
(2)令，解得且，
故当且时，复数Z是虚数．
(3)令且，解得，
当时，复数Z是纯虚数．
50．若为实数，求出复数，并判断复数是实数还是虚数，若是虚数，是纯虚数吗？
【解析】因为为实数，所以或m=2.
时，，是虚数，且是纯虚数；
时，，是实数.
51．在复平面内，复数 (其中)．
（1）若复数为实数，求的值；
（2）若复数为纯虚数，求的值.
【解析】（1）因为复数为实数，所以，所以或4．
（2）因为复数为纯虚数，所以，所以.
52．已知复数.当实数取什么值时，复数是：
（1）实数；（2）纯虚数；
【解析】1因为复数z为实数，
所以，即或；
2若z为纯虚数，则，解得，
所以时，复数z为纯虚数；
53．实数m为何值时，复数是：
（1）纯虚数；
（2）等于；
（3）所对应的点在第四象限．
【解析】（1）由题意可得，解得.
（2）由复数相等可得，解得.
（3）由复数的几何意义可得，解得.
54．已知复数，当实数取什么值时，
（1）复数是零；（2）复数是实数；（3）复数是纯虚数.
【解析】（1）若复数是零，则，解得，
即当时，复数是零.
（2）若复数是实数，则，解得或，
即当或时，复数是实数.
（3）若复数是纯虚数，则，解得，
即当时，复数是纯虚数.
55．当实数为何值时，复数（为虚数单位）
实数； （2）纯虚数．
【解析】（1）为实数时，
，即．
（2）为纯虚数时，
，即或．
56．当实数为何值时，复数为
(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？
【解析】(1)若复数为实数，则 ，可得，
所以当时，复数表示实数.
(2)若复数为虚数，则，可得且，
所以当且时，复数表示虚数.
(3)若复数为纯虚数，则，解得：．
所以当时，复数为纯虚数.
57．求，使复数是（1）实数；（2）纯虚数；（3）零．
【解析】（1）若为实数，则，，；
（2）若为纯虚数，则，
则或，且，；
（3）若为零，则，
或，.
58．已知A＝{1，2，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1，3}，A∩B＝{3}，求实数a的值．
【解析】因为A＝{1，2，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1，3}，A∩B＝{3}，
所以a2－3a－1＋(a2－5a－6)i＝3(a∈R)，
所以
解得a＝－1.
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