黑龙江省鸡西市第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题（Word版附解析）

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时间：120分钟 分值：150分
注意事项：
1.本试卷分第I卷和第II卷两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.
3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
4.考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 双曲线的焦点坐标是（ ）
A. (-2，0)，(2，0)B. (0，-2)，(0，2)
C. (-，0)，(，0)D. (0，-)，(0，)
2. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量，则等于（ ）
A. B. C. D.
4. 椭圆的焦点在轴上，焦距为2，则的值等于（ ）
A. 3B. 5C. 8D. 5或3
5. 若双曲线的弦被点平分，则此弦所在的直线方程为（ ）
A B. C. D.
6. 当点在圆上运动时，它与定点相连，则线段PQ的中点的轨迹方程是（ ）
A B.
C D.
7. 数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，函数的最小值是（ ）
A. B. 4C. D.
8. 已知双曲线C：分别为双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点.连接交双曲线C左支于点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线C的离心率是（ ）
A. B. 2C. D. 5
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 任何一条直线都有唯一的斜率B. 直线的倾斜角越大，它的斜率就越大
C. 任何一条直线都有唯一的倾斜角D. 垂直于轴的直线倾斜角为
10. 在下列命题中，错误的有（ ）
A. 若共线，则所在直线平行；
B. 若所在的直线是异面直线，则一定不共面；
C. 若三向量两两共面，则三向量一定也共面；
D. 已知三向量不共面，则空间任意一个向量总可以唯一表示为
11. 动点分别到两定点，连线的斜率的乘积为，设的轨迹为曲线，，分别为曲线的左、右焦点，则下列说法中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 的内切圆的面积的最大值为
C. 到直线的最小距离为
D. 设，则最小值为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知为坐标原点，在椭圆上，则的最大值为___________.
13. 已知为坐标原点，在双曲线的左支上，是该双曲线的左焦点.为的中点，则______.
14. 已知.若存在满足的点使为钝角，则t的取值范围是___________.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 在三角形中，.
（1）求边的中线所在直线的一般式方程；
（2）求边上的高所在直线的点斜式方程.
16. 已知双曲线的离心率，实轴长.
（1）求C的方程；
（2）过C的右焦点且倾斜角为的直线交C于A，B两点，求；
（3）求与C有相同的渐近线且过点1,2的双曲线的标准方程.
17. 如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点.

（1）求证：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）求点到平面的距离.
18. 平面直角坐标系中，点，圆与轴正半轴交于点.
（1）求过点且斜率为的直线被圆截得的弦长；
（2）求过点与圆相切的直线方程；
（3）过点的直线与圆交于不同的两点，判断直线QA，QB的斜率之和是否为定值，若是则求出该定值，若不是则说明理由.
19. 在①，②过，③这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答.
已知椭圆C：的右焦点为，且___________.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过圆D：上任意一点G作椭圆C的两条切线.求证：；
（3）设O为坐标原点，点.直线与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与轴交于点，直线AQ与轴交于点，求证：直线经过定点，并求此定点.