广东省广州市第六中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 与向量 共线的向量是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知直线 的斜率为 ，直线 经过 ， 两点，且直线 与 垂直，则实数 的值为
（ ）
A. B. C. D.
3. 在 四 面 体 中 ， 点 为 线 段 靠 近 的 四 等 分 点 ， 为 的 中 点 ， 若
，则 的值为（ ）
A. B. 1 C. D.
4. “ ”是“圆 （ ）与圆 有两条公切线”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 如图，在直三棱柱 中， ， ，点 是棱 的中点，则平面
与平面 夹角的正弦值为（ ）
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A. B. C. D. 1
6. 已知 ， ， ，经过点 C 作直线 l，若直线 l 与线段 AB 没有公共点，则直线 l 的
倾斜角的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图， 的二面角的棱上有 两点，直线 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于
，已知 ，则 的长为（ ）
A B. 7
C. D. 9
8. 已知椭圆 焦点为 ， ，P 是椭圆 C 上的一点，且 ，若
的外接圆和内切圆的半径分别为 R，r，当 时，椭圆 C 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出选项中，有多项符合题目
要求，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分．
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9. 一条光线从点 射出，射向点 ，经 x 轴反射后过点 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线 AB 斜率是 B.
C. D.
10. 已知双曲线 的离心率为 ， 分别是左、右焦点， 是该双曲线右支上
一点，点 满足 ，则下列结论正确的为（ ）
A. 双曲线的实轴长为 B.
C. 的面积为 D.
11. 如图所示，在棱长为 的正方体 中， 是棱 的中点， 是棱 上的动点（含
端点），下列说法中正确的有（ ）
A. 三棱锥 的体积为定值
B. 设 与 所成的角为 ，则 的最小值为
C. 若 是棱 的中点，则过点 的平面截正方体 所得截面的周长为
D. 若 是棱 的中点，则四面体 的外接球的表面积为
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知双曲线 的渐近线方程为 ，则 _______．
13. 过直线 上任一点P向圆 作两条切线，切点为A，B．则 的最小值为______
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．
14. 在棱长为 6 正方体 中，点 是线段 的中点， 是正方形 （包括边界）
上运动，且满足 ，则 点的轨迹周长为________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 且 .
（1）求角 、 、 的大小；
（2）设函数 ，求函数的单调递减区间，并指出它相邻两对称轴的距离．
16. 已知椭圆 长轴长为 ，离心率为 ，直线 与 轴交于点 ，
与 相交于 、 两点．
（1）求 的标准方程；
（2）若 的斜率为 ，且 ，求 的值．
17. 为了了解某校高二年级学生的体育成绩（满分 分）选取 名学生参加考核，考核成绩的频率分布
直方图如图所示：
（1）为了提升同学们的体育成绩，校方准备招聘高水平的教练进行授课.现采用分层抽样的方法（样本量按
比例分配），从得分在 内的学生中抽取 人，再从中挑出两人进行试课，求至少有一人分数不低于
的概率；
（2）现有体育成绩在 分以上的甲、乙两名同学要参加文旅部门组织的国庆营考试，已知考试分为两轮，
第一轮为笔试，需要考两门学科，每科笔试成绩从高到低依次有 、 、 、 共四个等级，若两科笔试
成绩均为 ，则直接参加国庆营；若一科成绩为 ，另一科成绩不低于 ，则要参加第二轮面试，面试通
过参加国庆营，否则不能参加.若两人考试互不影响，且甲在每科笔试中取得 、 、 、 四个等级的概
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率分别是 、 、 、 ；乙在每科笔试中取得 、 、 、 四个等级的概率分别是 、 、 、 ，
甲、乙面试通过的概率都为 ，求甲、乙能同时参加国庆营的概率．
18. 如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， ， ， ，
， .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）设 .
①若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求线段 的长.
②在线段 上是否存在点 ，使得点 ， ， 在以 为球心的球上？若存在，求线段 的长；若不
存在，说明理由.
19. 已知圆 点 .
（1）过 作圆 的切线，求切线的方程；
（2）过圆 O 上一点 作两条相异直线分别与圆 相交于 ， 两点，且直线 和直线 的倾
斜角互补.求证：直线 的斜率为定值.
（3）已知 ，设 为满足方程 的任意一点，过点 向圆 引切线，切点为 ，试
探究：平面内是否存在一定点 ，使得 为定值?若存在，请求出定点 的坐标，并指出相应的定值；
若不存在，请说明理由.
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