广东省广州市第二中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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命题：张和发 审校：吴文森，黄晓英
2025 年 11 月 12 日
本试卷共 4 页，19 小题，满分 150 分.考试用时 120 分钟
注意事项：
1.答卷前，考生务必用 2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号.用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的
姓名和考生号、座位号填写在答题卡上.
2.答选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相
应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不
按以上要求作答的，答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，只需将答题卡交回.
一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，每小题有且只有一个正确选项.）
1. 已知集合 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由补集和并集运算即可求解.
【详解】因为集合 ， ，所以 .
又因为 ，
所以 ，
故选：B.
2. 已知 ，则“ ”是“ 且 ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
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【答案】B
【解析】
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】解：因为 或 ，所以由 不能推出 且 ，即充分性
不满足；
但由 且 可得 ，即由 且 可推出 ，所以必要性满足；
所以 是 且 的必要不充分条件.
故选：B.
3. 函数 的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性排除 B，C，利用函数的单调性排除 A 即可.
【详解】对于函数 ，定义域为 ，
因为 ，
所以函数 为偶函数，故 B，C 错误，
当 时， ，
又 在 上单调递增， 在 上单调递减，
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故 在 上单调递增，故 A 错误，D 正确．
故选：D．
4. 已知 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用指数函数，对数函数的单调性，直接求解即可.
【详解】由题意，可得 ， ， ，
即 ， ， ，所以 ，故选 C.
【点睛】本题主要考查了指数幂与对数式的比较大小问题，其中熟记指数函数与对数函数的图象与性质是
解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
5. 函数 的单调减区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出函数 的定义域，分离出内层函数 和外层函数 ，并分析内
层函数和外层函数的单调性，利用同增异减法得出函数 的单调减区间.
【详解】由 ，即 ，解得 ，
内层函数为 ，外层函数为 ，
内层函数 的增区间为 ，减区间为 ，外层函数 为增函数，
由复合函数同增异减法可知，函数 的单调减区间是 ，故选 A.
【点睛】本题考查函数单调区间的求解，考查复合函数法求解函数的单调区间，在求解函数的单调区间时，
要注意求出函数的定义域，要在函数定义域内得出单调区间，否则得到的单调区间无意义，考查分析问题
和解决问题的能力，属于中等题.
6. 已知函数 ，则下列判断中正确的是（ ）
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A. 是奇函数且为增函数 B. 是奇函数且为减函数
C. 是偶函数且为增函数 D. 是偶函数且为减函数
【答案】A
【解析】
【分析】先确定函数定义域，再结合函数奇偶性的定义判断其奇偶性，最后结合复合函数的单调性，即可
判断其单调性.
【详解】根据题意，由 ，解得 ，所以 的定义域为 ，关于原点对称，
则 ，所以 奇函数；
由 ，
因为 在 上单调递增， 为增函数，
所以 为增函数.
故选：A
7. 若函数 且 在 上为减函数，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】要使函数 在 上为减函数，须满足分段函数在各段上单调递减，结合端点处需要满足的条件，
列出不等式组，求解即可.
【详解】当 时， 单调递减须满足 ，解得 ，
当 时， 单调递减须满足 ，
且 ；
所以要使函数 在 上为减函数，须满足
第 4页/共 18页
，即 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故选：C
8. 已知 是偶函数，且在 上递减，若 时， 恒成立，则实数 的
取值范围是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用偶函数性质 ，再根据单调性得到 ，
根据绝对值性质，取掉绝对值，分离参数转化为函数恒成立问题，求最值即可.
【详解】因为 是偶函数，所以 ，
所以 在 恒成立
等价于 在 恒成立，
又因为 在 上递减，根据偶函数性质， 在 上递增，
所以 在 恒成立，
因为 ，所以 恒成立，即 ，
所以 ，即 ，设 ， ，
第 5页/共 18页
易知函数 在 单调递减，所以 ，即 ；
设 ， ，易知函数 在 单调递增，
所以 ，即 ，
综上所述：实数 的取值范围是： .
故选：A.
【点睛】对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，
再利用其单调性脱去函数的符号“ ”，转化为解不等式(组)的问题，
若 为偶函数，则 ．
二、多选题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.每小题有多个正确选项，只答对部分选
项得相应部分分，作答中含错误选项的该小题得 0 分.）
9. 下列运算正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据对数的运算依次判断选项即可.
【详解】A 选项， ，故 A 错误；
B 选项， ，故 B 正确；
C 选项， ，故 C 正确；
D 选项， ，故 D 正确.
故选：BCD.
10. 已知实数 a，b 满足等式 ，则下列可能成立的关系式为（ ）
第 6页/共 18页
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】先由等式 ，得出 ；对于选项 A 和 B，分析 的情形即可；对于选项
C，分析 的情形即可；对于选项 D，分析 的情形即可.
【详解】因为 ，所以 ．
对于选项 A 和 B，当 时， ，只能 ，选项 A 不成立，选项 B 正确；
对于选项 C，当 时， ，只能 ，选项 C 正确；
对于选项 D，当 时，且 ，只能 ，等式 成立，选项 D 正确；
故选：BCD．
11. 已知正数 ， 满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由已知条件结合基本不等式及“1”的妙用求解判断 ACD，举出反例说明判断 B.
【详解】对于 A 选项，因为正数 ， 满足 ，且 ，当且仅当 即
， 时，等号成立，所以 ，故选项 A 正确；
对于 B 选项，当 ， 时， ，故选项 B 错误；
对于 C 选项，因为 ，所以 ，
故选项 C 正确；
对于 D 选项，因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，
第 7页/共 18页
因为 ，当且仅当 ，即 ，即 ，
时，等号成立.
所以 ，所以选项 D 正确.
故选：ACD.
三、填空题（每小题 5 分，共 15 分，把正确答案填写在答卷相应位置上.）
12. 设 ，若函数 在 上的最大值是 ，则 在 上的最小值是______.
【答案】 ##0.75
【解析】
【分析】令 ，利用二次函数性质先求 b，然后可解.
【详解】
令 ，则
因 ，所以 ，
所以当 时函数有最大值，故 ，解得 ，
当 时，函数有最小值 .
故答案为：
13. 是定义在 上的奇函数，且当 时， ．若 在 上有最大值，
则实数 的取值范围为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性的性质求出 的解析式，作出函数的图象，数形结合可得结果.
【详解】∵ 是定义在 上的奇函数，∴ ，
∴ ，得 ，
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若 ，则 ，则 ，
所以
作出函数 的图象，如图所示．
当 时， ，
由图知 在区间 上有最大值 ，满足题意；
当 时， ，由图知 在区间 上无最大值，不满足题意；
当 时，由图知 在区间 上有最大值 ，满足题意．
综上，实数 的取值范围为 ．
14. 记函数 ，已知 ，
，且 ， 有解，则 的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意得到当 时， ，
所以需 ，使得 ，需 ， ，利用二次函数的性质研究 的最小
值，得到取值范围.
【详解】解： ，
， ，则需且只需 ，
因为 ， ，所以需且只需 ，
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需且只需 ， ，
是开口向下的二次函数，对称轴为
法一：所以
或
即 或
解得 或
所以
法二： ， ，
所以 或 解得 ，
则 的取值范围是 .
四、解答题（第 15 题 13 分，第 16 题 15 分，第 17 题 15 分，第 18 题 17 分，第 19 题 17 分，
共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 如图所示，学校要围建一个面积为 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙时需
要维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为 的出入口，已知旧墙的维修费用
为 56ꢀ元 ，新墙的造价为 200 元 ，设利用旧墙的长度为 （单位： ），修建此矩形场地的总费用为
（单位：元）.
（1）求 关于 的函数表达式；
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（2）当 时，求总费用 ；
（3）试确定 的值，使修建此矩形场地的总费用最小，并求出最小总费用.
【答案】（1）
（2）
（3） ，最小总费用是 12200 元
【解析】
【分析】（1）总费用包括维修费用和新墙费用，旧墙长度为 ，新墙长度为 ，乘单价后
相加得到总费用 ；
（2）将 代入，得到 的值；
（3）由基本不等式求得最值.
【小问 1 详解】
设利用旧墙的长度为 ，则另一边长为 ，
所以新墙总长度为 ，
则
，
故 .
【小问 2 详解】
由（1）知， ，
所以当 时， .
小问 3 详解】
因为 ，所以 ，由基本不等式有 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
第 11页/共 18页
故当利用旧墙的长度为 时，修建此矩形场地的总费用最小，最小总费用是 12200 元.
16. 已知集合 ， .
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）当 时，先求出集合 的范围，再结合集合的交集和补集运算，即可求解；
（2）由 得 ，通过对 的取值进行讨论，求得集合 ，再结合集合 的关系列出相应
的不等式，求解即可.
【小问 1 详解】
由已知，集合 ，所以 ，即 ，
解得 ，故 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
解得 ，故 ，所有 ，
；
【小问 2 详解】
因为 ，所以 ，
由（1）知 ，
又集合 ，即 ，
可得 ，
①当 时，不等式 的解集为空集，即 ，符合条件；
②当 时，有 ，
所以不等式 的解为 ，即 ，
第 12页/共 18页
又 ，所以 ，解得 ，
又因为 ，所以 ，
③当 时，有 ，
所以不等式 的解为 ，即 ，
又 ，所以 ，解得 ，
又因为 ，所以 ，
综上所述，实数 的取值范围为 .
17. 设函数 ，其中 ．
（1）若 ，求函数 在区间 上的值域；
（2）若函数 在区间 的最大值为 M，最小值为 N，有 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用二次函数的区间单调性可求函数在区间 上的最值，进而确定值域；
（2）由已知 ，其开口向上且对称轴为 ，讨论对称轴与区间 的位置关系确定
最值，结合不等式求参数范围.
【小问 1 详解】
由题设 ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，由 ，
故上函数 在区间 上的值域为 ；
【小问 2 详解】
由 ，其开口向上且对称轴为 ，
第 13页/共 18页
当 时， 在 上单调递增，可得 ，
，由 ，所以 ，解得 ，不符合前提；
当 时， ， ，
由 ，可得 ，所以 ，
解得 ，此时 ；
当 时， ， ，由 ，
可得 ，解得 ，此时 ；
当 时， ， ，
由 ，可得 ，解得 ，不符合前提；
综上， .
18. 已知函数 是定义在 上的奇函数．
（1）求 的值，并用定义证明 的单调性：
（2）若 时，不等式 有解，求实数 的取值范围．
（3）若对任意的 时，不等式 恒成立，求正实数 的取值范围．
【答案】（1） ，证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由奇函数的性质 求得解析式，然后根据单调性的定义证明单调性；
（2）利用奇偶性与单调性转化问题为 在 上有解，分离参数为 ，
有解，再转化为求 ， 的最大值；
（3）问题转化为 ，再解一元二次不等式即可．
【小问 1 详解】
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因为函数 是定义在 R 上的奇函数，所以 ，
即 ，解得 ，所以 ，
即 ，则 ，符合题意，
令 ，则 = ，
因为 所以 ，则 ，因为 ，所以 ，
所以 在 R 上单调递增.
【小问 2 详解】
因为 在定义域上单调递增，又 是定义在 R 上的奇函数，
所以 在 有解，
等价于 在 上有解，
即 在 上有解，即 ， 有解，
令 ， ，因为 在[2，3]上单调递减，
所以 ，所以 .
【小问 3 详解】
若对任意的 时，不等式 恒成立，
则有 恒成立，
因为 在 R 上单调递增，
当 时， ，所以 ，
所以 ，所以 恒成立，
当 时，有 ，化简得 ，解得 或 ，
综上得 的取值范围是 .
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【点睛】方法点睛：利用单调性与奇偶性解不等式，如 是奇函数且是增函数，不等式
，先化为 ，由奇函数性质得 ，再由增函数性质化为
，然后再求解．如果 是偶函数，则不等式 化为 ，然后由函数
在 上单调性变形可得，其它形式不等式类似变形．
19. 函数 定义域为 ，若存在正实数 ，对任意的 ，总有 ，则称函数
具有性质 .
（1）分别判断函数 与 是否具有性质 ，并说明理由；
（2）已知 为二次函数，若存在正实数 ，使得函数 具有性质 .求证： 是
偶函数；
（3）已知 为给定的正实数，若函数 具有性质 ，求 的取值范围.
【答案】（1） 具有性质 ， 不具有性质 ，理由见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据性质 的定义对函数 与函数 进行判断，从而确定正确答案.
（2）性质 的定义列不等式，求得 ，进而判断出 是偶函数.
（3）性质 的定义列不等式，结合对数函数、指数函数的知识求得 的取值范围.
【小问 1 详解】
对任意 ，得 ，
所以 具有性质 ；
对任意 ，得 .
易得只需取 ，则 ，
所以 不具有性质
【小问 2 详解】
设二次函数 满足性质 .
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则对任意 ，
满足 .
若 ，取 ， ，矛盾.
所以 ，此时 ，
满足 ，即 为偶函数
【小问 3 详解】
由于 ，函数 的定义域为 R.
易得 .
若函数 具有性质 ，则对于任意实数 ，
有
，即 .
即 .
由于函数 在 上严格递增，得 .
即 .
当 时，得 ，对任意实数 恒成立.
当 时，易得 ，由 ，得 ，
得 ，得 .
由题意得 对任意实数 恒成立，
第 17页/共 18页
所以 ，即
当 时，易得 ，由 ，得 ，
得 ，得 .
由题意得 对任意实数 恒成立，
所以 ，即
综上所述， 的取值范围为 .
【点睛】求解新定义函数类型的题目，关键点是理解和运用新定义，将新定义的知识，转化为学过的知识
来进行求解.求解含参数的不等式问题，需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.
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