广东省广州第六中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

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注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知全集，集合,集合，那么=（ ）
A.∅B.C.D.
2.已知为虚数单位，若是纯虚数，则实数的值为（ ）
A.B.C.2D.
3．“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4.若直线l：ax+by＝1（a＞0，b＞0）平分圆x2+y2−x−2y＝0，则的最小值为（ ）
A.B.2C.D.
5.已知，则（ ）
A. B.C.D.
6．已知函数，且满足，则实数的取值范围是（ ）
A. B． C． D．
7.在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
8.是定义在上周期为4的函数，且，则下列说法中不正确的是（ ）
A.的值域为
B.当时，
C.图象的对称轴为直线
D.方程恰有5个实数解
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9.下列命题是真命题的有（ ）
A.直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直
B.直线的方向向量为，平面的法向量为，则
C.平面，的法向量分别为，，则
D.平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则
10.如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ）
A.直线平面
B.三棱锥的体积为定值
C.异面直线与所成角的取值范围是
D.直线与平面所成角的正弦值的最大值为
11.中国结是一种手工编制工艺品，它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其中的数字“8”对应着数学曲线中的双纽线.在平面上，把与定点，距离之积等于的动点的轨迹称为双纽线.若是该双纽线上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A.的最大值是
B.点的横坐标的取值范围是
C.△PMN面积的最大值为
D.的取值范围是
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12.第33届夏季奥林匹克运动会女子10米跳台跳水决赛中，全红禅以425.60分的高分拿下冠军.下面统计某社团一位运动员10次跳台跳水的训练成绩：68，80，74，63，66，84，78，66，70，76，则这组数据的60%分位数为 .
13．已知点关于直线的对称点为，经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为 .
14.古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点，为直线上的动点，为圆上的动点，则的最小值为 .
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．(13分）设三角形的内角、、的对边分别为、、且．
(1)求角的大小；
(2)若，边上的高为，求三角形的周长．
16．（15分）已知圆M：，点P是直线l：上的一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．
(1)当切线PA的长度为时，求点P的坐标；
(2)求线段AB长度的最小值．
17．（15分）“中式八球”是受群众欢迎的台球运动项目之一.在一场“中式八球”邀请赛中，甲、乙、丙、丁4人角逐最后的冠军，本次邀请赛采取“双败淘汰制”.具体赛制如下：
首先，4人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；
接下来，“胜区”的2人对阵，胜者进入最后的决赛，“败区”的2人对阵，败者直接淘汰出局，获得第四名；
紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获得第三名；最后，剩下的2人进行最后的冠亚军决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名.
现假定甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为，且不同对阵的结果相互独立.
(1)经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁.若.
（I）求甲连胜三场获得冠军的概率；
（Ⅱ）求甲在“双败淘汰制”下获得冠军的概率；
除“双败淘汰制”外，“中式八球”也经常采用传统的“单败淘汰制”；抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军.问当p满足什么条件时，“双败淘汰制”比“单败淘汰制”更利于甲在此次邀请赛中夺冠?
18．（17分）如图，在四棱锥中，底面是由等边三角形和等腰三角形构成，其中为棱上一点，平面．
(1)求的值；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
19．（17分）已知函数，.
(1)求函数的最大值；
(2)设不等式的解集为，若对任意，存在，使得，求实数的值.