四川省宜宾市第一中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题（Word版附解析）

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命题人：唐有鱼 审题人：肖昌龙
满分：150 分 考试时间：120 分钟
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用交集运算求解即可.
【详解】因为集合 ， ，
所以 .
故选：A
2. 若 ，则 的值为（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 0 或 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合中元素与集合的关系求解 的值即可.
【详解】若 ，
则 或 ，解得无解或 ，
综上， 的值为 0.
故选：B.
3. 命题“ ， ”的否定是（ ）
A. ， B. ，
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C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.
【详解】因为命题“ ， ”是全称量词命题，
所以其否定是存在量词命题，即为 ， .
故选：D.
4. 已知 ， ，则 与 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用作差法比较大小即可.
【详解】 ，
故 .
故选：B
5. “ ”是“ ”的（ ）
A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先求解不等式 ，再根据充分条件和必要条件的定义判断“ ”与该不等式解集
的关系.
【详解】因为 ，所以不等式 的解集为 ，
因为当 时，必然满足 ，所以“ ”能推出“ ”，充分性成立；
当 时，满足 ，但不满足 ，所以“ ”不能推出“ ”，必要
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性不成立
故选：A.
6. 已知 ，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由 ，利用基本不等式求解.
【详解】因为 ，当且仅当 ，即 时，
取等号.
所以 的最大值为
故选：C
7. 已知关于 的不等式 的解集为 ，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先讨论二次项系数是否为零，再结合二次函数的性质可解.
【详解】当 时，不等式为 ，解集不为 ；
当 时，不等式为 恒成立，解集为 ；
当 时，由二次函数的性质可得 ，解得 ，
综上 的取值范围为 .
故选：B.
8. 已知关于 x 的不等式 的解集为 ，其中 ，则 的最小值为
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（ ）
A. 4 B. C. 2 D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解集确定 为 的两根，求得 ，可得
，利用均值不等式可求得答案.
【详解】由题意关于 x 的不等式 的解集为 ，其中 ，
可知 ，且 为 的两根，且 ，
即 ，即 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
故选:C.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列关系式中错误的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由集合的包含关系逐项判断即可.
详解】对于 A， ，故 A 错误；
对于 B， 是无理数，故 B 错误；
对于 C，因 ,故 ，故 C 正确；
对于 D，因 ,故 ，故 D 错误.
故选：ABD
10. 下列命题为真命题的是（ ）
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A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则
C. 若 ，则 D. 若 ， ，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及作差法和特殊值法，即可求解．
【详解】对于 A，若 ， ，则 ，则 ，故 A 为真命题；
对于 B，若 ， ，则 ，故 B 为假命题；
对于 C，若 ，则
所以 ，则 ，故 C 为真命题；
对于 D，若 ， ，则 ， ，所以 ，故 D 为真命题.
故选：ACD.
11. 已知 ， ，且 ，则（ ）
A. 的最大值为
B. 的最小值为
C. 的最小值为
D. 的最小值为 16
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用基本不等式有 ，结合换元法解一元二次不等式求 范围，注意
所得范围端点取值判断 A；由已知得 ，利用基本不等式判断 B、C、D，注意最值取值条件.
【详解】因为 ， ，
所以 ，仅当 时，即 等号成立，
令 ，则 ，故 ，
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所以 ，即 ，仅当 时右侧等号成立，
所以 的最大值为 ，A 错误；
由 ，则 ，
所以 ，
仅当 ，即 时等号成立，故 的最小值为 ，B 正确；
由 ，仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为 ，C 正确；
由 ，仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为 16，D 正确.
故选：BCD
三.填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 集合 的真子集的个数为________.
【答案】
【解析】
【分析】解法一: (列举法) 对集合 的真子集一一列举即可得出个数;解法二:(公式法)算出集合 中的
元素个数 ,再用公式 求出真子集个数.
【详解】解:解法一: (列举法)
集合 的真子集为 , , ,共 个.
故答案为:
解法二:(公式法)
集合 中的元素有 个,
则真子集个数为 ,个.
故答案为:
【点睛】本题考查集合的子集个数问题,对于非空集合 中有 个元素,则集合的子集有 个,真子集有
,非空真子集有 个.
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13. 已知“ ，使得 成立”为真命题，则实数 的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】结合二次函数的单调性和存在命题解不等式可得.
【详解】因为 的最大值为 4，
又“ ，使得 成立”为真命题，
所以 ，解得 .
故答案为： .
14. 已知 或 ， ，若 ，则 m 的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】求出 ，由 建立不等式即可得解.
【详解】由 或 ，可得 ，
因为 ， ，
所以 且 ，
解得 ，
故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出适当的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知全集 ， ， .
（1）求 ， ；
（2）若实数 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
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【分析】（1）根据并集、补集、交集的定义计算可得；
（2）依题意可得 ，等价转化为一元二次不等式，解得即可.
【小问 1 详解】
因为全集 ， ， ，
所以 ， ，
所以 .
【小问 2 详解】
因为 ，又 ，
所以 ，等价于 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
16. 已知集合 ， .
（1）若 ，求实数 的值；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）根据集合的并集结果列不等式求解实数 的值；
（2）由 可得 ，讨论 ， 时，列不等式求解实数 的取值范围即可.
【小问 1 详解】
集合 或 ，
又 ，
若 ，则 ，解得 ；
【小问 2 详解】
若 ，则 ，
当 时，则 ，所以 ；
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当 时，若 ，则 或 ，解得 或 ；
综上，实数 的取值范围为 或 .
17. 已知关于 的不等式 的解集为 ．
（1）求不等式 的解集：
（2）当 ， ，且满足 时，有 恒成立，求 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据不等式 的解集为 或 得到 1 和 是方程
的两个实数拫且 ，然后列方程得到 ，最后解不等式即可；
（2）利用基本不等式得到 ，然后根据 恒成立得到 ，
最后解不等式即可.
【小问 1 详解】
因为不等式 的解集为 或 ，
所以 1 和 是方程 的两个实数拫且 ．
所以 ，解得 或 （舍）．
所以 等价为 ，也能是 ，
解得不等式的解集为 ．
【小问 2 详解】
由（1）知 ，于是有 ，
故 ，
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当且仅当 ， 时，即 时，等号成立．
依题意有 ，即 ，得 ，
．
所以 的取值范围为 ．
18. 天气转冷，宁波某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动.根据前期调研，获得该产品的销售量 万
件与投入的促销费用 万元 满足关系式 （ 为常数），而如果不搞促销活动，该产品的
销售量为 4 万件.已知该产品每一万件需要投入成本 20 万元，厂家将每件产品的销售价格定为 元，
设该产品的利润为 万元.（注：利润 销售收入 投入成本 促销费用）
（1）求出 值，并将 表示为 的函数；
（2）促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？
【答案】（1） ，
（2）当促销费用为 7 万元时，该产品的利润最大，最大利润为 123 万元
【解析】
【分析】（1）先由已知条件求出待定系数 ，写出促销费用关系式，计算销售收入、投入成本，再表达利
润即可；
（2）将函数关系式作配凑变形，利用基本不等式求最值.
【小问 1 详解】
由题知， 时， ，
于是， ，解得 .
所以， .根据题意，
即
所以
【小问 2 详解】
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当且仅当 ，即 时，等号成立.
所以当促销费用为 7 万元时，该产品的利润最大，最大利润为 123 万元.
19. 已知关于 的二次函数 .
（1）若 的解集为 ，求实数 ， 的值；
（2）若实数 ， 满足 ，求关于 的不等式 的解集；
（3）若存在两个不相等的正实数 ， 使得 ，且满足 ，求 的最小值.
【答案】（1） ，
（2）答案见解析 （3）10
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式的解集与系数的关系求解即可；
（2）化简可得 ，再以 0，1 为分界点讨论 a 的范围，求解不等式即可
（3）由韦达定理及判别式得到 和 ，再结合基本不等式即可求解.
【小问 1 详解】
∵ 的解集为 ，
∴ 与 1 是方程 的两个实数根，
由韦达定理可知： ，
解得 ， .
【小问 2 详解】
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∵ ，则不等式 化为： ，
因式分解为： ，( ).
当 时，化为 ，则解集为 ；
当 时， ，解得 ，不等式的解集为 ；
当 时， ，解得 ，不等式的解集为 ；
当 时， ，解得 或 ，不等式的解集为 .
综上，当 时，解集 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 .
【小问 3 详解】
因为二次函数有两个不相等的正实数零点 ，
所以 ，又 ，
可得 ，
也即 ，即 ，结合 ，
可得 ，解得 ，
所以 ，
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当且仅当 即 时取等号，
所以 的最小值为 10.
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